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Theorem dvfsumlem1 19588
Description: Lemma for dvfsumrlim 19593. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsum.h  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
dvfsumlem1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem1.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem1.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem1.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsumlem1.6  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem1  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    H( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem1
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10865 . . . . . . . . . 10  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3294 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
53, 4sseldi 3264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
73, 6sseldi 3264 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
87flcld 11094 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  ZZ )
9 reflcl 11092 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
107, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
11 flle 11095 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  <_  X )
127, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  X )
13 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
1410, 7, 5, 12, 13letrd 9120 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  Y )
15 flbi 11110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( |_ `  X )  e.  ZZ )  -> 
( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X )  <-> 
( ( |_ `  X )  <_  Y  /\  Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) ) )
1615baibd 875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  RR  /\  ( |_ `  X
)  e.  ZZ )  /\  ( |_ `  X )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X
)  <->  Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
175, 8, 14, 16syl21anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X )  <-> 
Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
1817biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X ) )
1918oveq2d 5997 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  X ) ) )
2019oveq1d 5996 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
2118oveq2d 5997 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( M ... ( |_ `  Y
) )  =  ( M ... ( |_
`  X ) ) )
2221sumeq1d 12382 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
2322oveq1d 5996 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
2420, 23oveq12d 5999 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
25 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  Y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 ) )
267adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  X  e.  RR )
2726flcld 11094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  X )  e.  ZZ )
2827peano2zd 10271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  ZZ )
2925, 28eqeltrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  Y  e.  ZZ )
30 flid 11103 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( |_ `  Y )  =  Y )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  Y )
3231, 25eqtrd 2398 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
3332oveq2d 5997 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  =  ( Y  -  (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
3433oveq1d 5996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) )
355recnd 9008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3610recnd 9008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  CC )
3735, 36subcld 9304 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
38 ax-1cn 8942 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3938a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
403a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
41 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
42 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
43 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
4440, 41, 42, 43dvmptrecl 19586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
4544recnd 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  CC )
4645ralrimiva 2711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  CC )
47 nfcsb1v 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ B
4847nfel1 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC
49 csbeq1a 3175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  [_ Y  /  x ]_ B )
5049eleq1d 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC ) )
5148, 50rspc 2963 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  CC  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
)
524, 46, 51sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
5337, 39, 52subdird 9383 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) ) )
5435, 36, 39subsub4d 9335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  =  ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
5554oveq1d 5996 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5652mulid2d 9000 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
5756oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5853, 55, 573eqtr3d 2406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5958adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
6034, 59eqtrd 2398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B
) )
61 dvfsum.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
628peano2zd 10271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ )
6361zred 10268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
64 peano2rem 9260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
66 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
67 dvfsum.md . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
68 1re 8984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
6968a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7063, 69, 66lesubaddd 9516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  D  <->  M  <_  ( D  + 
1 ) ) )
7167, 70mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  D )
72 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
7365, 66, 7, 71, 72letrd 9120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  X )
74 peano2zm 10213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
7561, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
76 flge 11101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  1 )  <_  X 
<->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) ) )
777, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  X  <->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) ) )
7873, 77mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) )
7963, 69, 10lesubaddd 9516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  ( |_ `  X )  <->  M  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
8078, 79mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
81 eluz2 10387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
8261, 62, 80, 81syl3anbrc 1137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
83 dvfsum.b2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
8483recnd 9008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
8584ralrimiva 2711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  CC )
86 elfzuz 10947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
87 dvfsum.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8886, 87syl6eleqr 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  k  e.  Z )
89 dvfsum.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
9089eleq1d 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
9190rspccva 2968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  CC  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  CC )
9285, 88, 91syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )  ->  C  e.  CC )
93 ovex 6006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e. 
_V
9493a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  _V )
95 eqeq2 2375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  (
x  =  k  <->  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
9695biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  ( ( |_ `  X )  +  1 )  /\  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  x  =  k )
9796, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  ( ( |_ `  X )  +  1 )  /\  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  B  =  C )
9894, 97csbied 3209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B  =  C )
9998eqcomd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  C  =  [_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
10082, 92, 99fsumm1 12424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 ) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
101 pncan 9204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  X
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  X ) )
10236, 38, 101sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  X ) )
103102oveq2d 5997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( ( |_ `  X )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
104103sumeq1d 12382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  -  1 ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
105104oveq1d 5996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  -  1 ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
106100, 105eqtrd 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
107106adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) C  =  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) )
10832oveq2d 5997 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  =  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
109108sumeq1d 12382 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) C )
11025csbeq1d 3173 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
111110oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) )
112107, 109, 1113eqtr4d 2408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
113112oveq1d 5996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
114 fzfid 11199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
115 elfzuz 10947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
116115, 87syl6eleqr 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
11785, 116, 91syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  CC )
118114, 117fsumcl 12414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
11941recnd 9008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
120119ralrimiva 2711 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  CC )
121 nfcsb1v 3199 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
122121nfel1 2512 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC
123 csbeq1a 3175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
124123eleq1d 2432 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC ) )
125122, 124rspc 2963 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  CC  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
)
1264, 120, 125sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
127118, 52, 126addsubd 9325 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
128127adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
129113, 128eqtrd 2398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
13060, 129oveq12d 5999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
13137, 52mulcld 9002 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
132131adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
13352adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
134118, 126subcld 9304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
135134adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
136132, 133, 135nppcan3d 9331 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
137130, 136eqtrd 2398 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
138 dvfsumlem1.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
139 peano2re 9132 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  X )  e.  RR  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  RR )
14010, 139syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR )
1415, 140leloed 9109 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  <_  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <-> 
( Y  <  (
( |_ `  X
)  +  1 )  \/  Y  =  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) ) )
142138, 141mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  <  (
( |_ `  X
)  +  1 )  \/  Y  =  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
14324, 137, 142mpjaodan 761 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
144 ovex 6006 . . 3  |-  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  _V
145 nfcv 2502 . . . 4  |-  F/_ x Y
146 nfcv 2502 . . . . . 6  |-  F/_ x
( Y  -  ( |_ `  Y ) )
147 nfcv 2502 . . . . . 6  |-  F/_ x  x.
148146, 147, 47nfov 6004 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )
149 nfcv 2502 . . . . 5  |-  F/_ x  +
150 nfcv 2502 . . . . . 6  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
151 nfcv 2502 . . . . . 6  |-  F/_ x  -
152150, 151, 121nfov 6004 . . . . 5  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
153148, 149, 152nfov 6004 . . . 4  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
154 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
155 fveq2 5632 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
156154, 155oveq12d 5999 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
157156, 49oveq12d 5999 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
158155oveq2d 5997 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
159158sumeq1d 12382 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
160159, 123oveq12d 5999 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
161157, 160oveq12d 5999 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
162 dvfsum.h . . . 4  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
163145, 153, 161, 162fvmptf 5723 . . 3  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  _V )  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
1644, 144, 163sylancl 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
165131, 126, 118subadd23d 9326 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
166143, 164, 1653eqtr4d 2408 1  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   _Vcvv 2873   [_csb 3167    C_ wss 3238   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   RRcr 8883   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889    +oocpnf 9011   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381   (,)cioo 10809   ...cfz 10935   |_cfl 11088   sum_csu 12366    _D cdv 19428
This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  19589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-cncf 18596  df-limc 19431  df-dv 19432
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