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Theorem dvfsumlem1 19863
Description: Lemma for dvfsumrlim 19868. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsum.h  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
dvfsumlem1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem1.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem1.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem1.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsumlem1.6  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem1  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    H( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem1
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10928 . . . . . . . . . 10  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3338 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
53, 4sseldi 3306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
73, 6sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
87flcld 11162 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  ZZ )
9 reflcl 11160 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
107, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
11 flle 11163 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  <_  X )
127, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  X )
13 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
1410, 7, 5, 12, 13letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  Y )
15 flbi 11178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( |_ `  X )  e.  ZZ )  -> 
( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X )  <-> 
( ( |_ `  X )  <_  Y  /\  Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) ) )
1615baibd 876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  RR  /\  ( |_ `  X
)  e.  ZZ )  /\  ( |_ `  X )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X
)  <->  Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
175, 8, 14, 16syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X )  <-> 
Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
1817biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X ) )
1918oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  X ) ) )
2019oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
2118oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( M ... ( |_ `  Y
) )  =  ( M ... ( |_
`  X ) ) )
2221sumeq1d 12450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
2322oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
2420, 23oveq12d 6058 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
25 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  Y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 ) )
267adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  X  e.  RR )
2726flcld 11162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  X )  e.  ZZ )
2827peano2zd 10334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  ZZ )
2925, 28eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  Y  e.  ZZ )
30 flid 11171 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( |_ `  Y )  =  Y )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  Y )
3231, 25eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
3332oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  =  ( Y  -  (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
3433oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) )
355recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3610recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  CC )
3735, 36subcld 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
38 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3938a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
403a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
41 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
42 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
43 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
4440, 41, 42, 43dvmptrecl 19861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
4544recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  CC )
4645ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  CC )
47 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ B
4847nfel1 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC
49 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  [_ Y  /  x ]_ B )
5049eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC ) )
5148, 50rspc 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  CC  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
)
524, 46, 51sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
5337, 39, 52subdird 9446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) ) )
5435, 36, 39subsub4d 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  =  ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
5554oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5652mulid2d 9062 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
5756oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5853, 55, 573eqtr3d 2444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5958adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
6034, 59eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B
) )
61 dvfsum.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
628peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ )
6361zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
64 peano2rem 9323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
66 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
67 dvfsum.md . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
68 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7063, 69, 66lesubaddd 9579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  D  <->  M  <_  ( D  + 
1 ) ) )
7167, 70mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  D )
72 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
7365, 66, 7, 71, 72letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  X )
74 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
7561, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
76 flge 11169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  1 )  <_  X 
<->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) ) )
777, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  X  <->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) ) )
7873, 77mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) )
7963, 69, 10lesubaddd 9579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  ( |_ `  X )  <->  M  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
8078, 79mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
81 eluz2 10450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
8261, 62, 80, 81syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
83 dvfsum.b2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
8483recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
8584ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  CC )
86 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
87 dvfsum.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8886, 87syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  k  e.  Z )
89 dvfsum.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
9089eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
9190rspccva 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  CC  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  CC )
9285, 88, 91syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )  ->  C  e.  CC )
93 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e. 
_V
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  _V )
95 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  (
x  =  k  <->  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
9695biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  ( ( |_ `  X )  +  1 )  /\  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  x  =  k )
9796, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  ( ( |_ `  X )  +  1 )  /\  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  B  =  C )
9894, 97csbied 3253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B  =  C )
9998eqcomd 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  C  =  [_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
10082, 92, 99fsumm1 12492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 ) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
101 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  X
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  X ) )
10236, 38, 101sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  X ) )
103102oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( ( |_ `  X )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
104103sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  -  1 ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
105104oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  -  1 ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
106100, 105eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
107106adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) C  =  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) )
10832oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  =  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
109108sumeq1d 12450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) C )
11025csbeq1d 3217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
111110oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) )
112107, 109, 1113eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
113112oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
114 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
115 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
116115, 87syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
11785, 116, 91syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  CC )
118114, 117fsumcl 12482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
11941recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
120119ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  CC )
121 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
122121nfel1 2550 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC
123 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
124123eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC ) )
125122, 124rspc 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  CC  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
)
1264, 120, 125sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
127118, 52, 126addsubd 9388 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
128127adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
129113, 128eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
13060, 129oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
13137, 52mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
132131adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
13352adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
134118, 126subcld 9367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
135134adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
136132, 133, 135nppcan3d 9394 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
137130, 136eqtrd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
138 dvfsumlem1.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
139 peano2re 9195 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  X )  e.  RR  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  RR )
14010, 139syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR )
1415, 140leloed 9172 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  <_  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <-> 
( Y  <  (
( |_ `  X
)  +  1 )  \/  Y  =  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) ) )
142138, 141mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  <  (
( |_ `  X
)  +  1 )  \/  Y  =  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
14324, 137, 142mpjaodan 762 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
144 ovex 6065 . . 3  |-  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  _V
145 nfcv 2540 . . . 4  |-  F/_ x Y
146 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x
( Y  -  ( |_ `  Y ) )
147 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x  x.
148146, 147, 47nfov 6063 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )
149 nfcv 2540 . . . . 5  |-  F/_ x  +
150 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
151 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x  -
152150, 151, 121nfov 6063 . . . . 5  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
153148, 149, 152nfov 6063 . . . 4  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
154 id 20 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
155 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
156154, 155oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
157156, 49oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
158155oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
159158sumeq1d 12450 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
160159, 123oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
161157, 160oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
162 dvfsum.h . . . 4  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
163145, 153, 161, 162fvmptf 5780 . . 3  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  _V )  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
1644, 144, 163sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
165131, 126, 118subadd23d 9389 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
166143, 164, 1653eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   (,)cioo 10872   ...cfz 10999   |_cfl 11156   sum_csu 12434    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  19864
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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