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Theorem dvfsumlem2 19916
Description: Lemma for dvfsumrlim 19920. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsum.h  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
dvfsumlem1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem1.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem1.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem1.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsumlem1.6  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem2  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    H( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10977 . . . . . . . . 9  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3380 . . . . . . . 8  |-  S  C_  RR
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
53, 4sseldi 3348 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
76, 1syl6eleq 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( T (,)  +oo ) )
8 dvfsum.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
98rexrd 9139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
10 elioopnf 11003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( X  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  < 
X ) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) ) )
127, 11mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  T  <  X ) )
1312simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
14 reflcl 11210 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
165, 15resubcld 9470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
1713rexrd 9139 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
185rexrd 9139 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
19 dvfsumlem1.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
20 ubicc2 11019 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
22 pnfxr 10718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +oo  e.  RR*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  +oo  e.  RR* )
2412simprd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  <  X )
25 ltpnf 10726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  RR  ->  Y  <  +oo )
265, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  <  +oo )
27 iccssioo 10984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  ( T  <  X  /\  Y  <  +oo ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  ( T (,)  +oo ) )
289, 23, 24, 26, 27syl22anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  ( T (,)  +oo ) )
2928, 1syl6sseqr 3397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  S )
3029sselda 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  S )
313a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
32 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
33 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
34 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 19913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
36 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( x  e.  S  |->  B )
3735, 36fmptd 5896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> RR )
38 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y B
39 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
40 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
4138, 39, 40cbvmpt 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ B )
4241fmpt 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> RR )
4337, 42sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4443r19.21bi 2806 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4530, 44syldan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
4645ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ y  /  x ]_ B  e.  RR )
47 csbeq1 3256 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
4847eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
4948rspcv 3050 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR ) )
5021, 46, 49sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
5116, 50remulcld 9121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
52 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  A )  =  ( x  e.  S  |->  A )
5332, 52fmptd 5896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR )
54 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y A
55 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
56 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
5754, 55, 56cbvmpt 4302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  A )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )
5857fmpt 5893 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR )
5953, 58sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6059r19.21bi 2806 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6130, 60syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
6261ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ y  /  x ]_ A  e.  RR )
63 csbeq1 3256 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ Y  /  x ]_ A )
6463eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
6564rspcv 3050 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
6621, 62, 65sylc 59 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
6751, 66resubcld 9470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
6813, 15resubcld 9470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
69 lbicc2 11018 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( X [,] Y
) )
7017, 18, 19, 69syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( X [,] Y ) )
71 csbeq1 3256 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
7271eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7372rspcv 3050 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR ) )
7470, 46, 73sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
7568, 74remulcld 9121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
76 csbeq1 3256 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ X  /  x ]_ A )
7776eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
7877rspcv 3050 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ y  /  x ]_ A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
7970, 62, 78sylc 59 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
8075, 79resubcld 9470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
81 fzfid 11317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
82 dvfsum.b2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
8382ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
84 elfzuz 11060 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
85 dvfsum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8684, 85syl6eleqr 2529 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
87 dvfsum.c . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
8887eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
8988rspccva 3053 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
9083, 86, 89syl2an 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
9181, 90fsumrecl 12533 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
9268, 50remulcld 9121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
9392, 79resubcld 9470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
945, 13resubcld 9470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
9550, 94remulcld 9121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  RR )
9650recnd 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
975recnd 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
9813recnd 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
9996, 97, 98subdid 9494 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
100 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
101100mulcn 18902 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
10228, 2syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
103 ax-resscn 9052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
104102, 103syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  CC )
105103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
106 cncfmptc 18946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  e.  RR  /\  ( X [,] Y
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
10750, 104, 105, 106syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
108 cncfmptid 18947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X [,] Y
)  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  y )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
109102, 103, 108sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  y )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
110 remulcl 9080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[_ Y  /  x ]_ B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y )  e.  RR )
111100, 101, 107, 109, 103, 110cncfmpt2ss 18950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
112 reex 9086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
113112prid1 3914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
115 ioossicc 11001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
116115, 102syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  RR )
117116sselda 3350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  y  e.  RR )
118117recnd 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  y  e.  CC )
119 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  1  e.  CC )
121 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
122121recnd 9119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
123119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
124114dvmptid 19848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
125100tgioo2 18839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
126 iooretop 18805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X (,) Y )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
128114, 122, 123, 124, 116, 125, 100, 127dvmptres 19854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  y ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  1 ) )
129114, 118, 120, 128, 96dvmptcmul 19855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 ) ) )
13096mulid1d 9110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 )  =  [_ Y  /  x ]_ B )
131130mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ Y  /  x ]_ B
) )
132129, 131eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ Y  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ Y  /  x ]_ B ) )
133 resmpt 5194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X [,] Y ) 
C_  S  ->  (
( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  =  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A ) )
13429, 133syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  =  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A ) )
13532recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
136135, 52fmptd 5896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC )
13734dmeqd 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  S  |->  B ) )
13833ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  V )
139 dmmptg 5370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  S  |->  B )  =  S )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  S  |->  B )  =  S )
141137, 140eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  S )
142 dvcn 19812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC  /\  S  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  S )  -> 
( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> CC ) )
143105, 136, 31, 141, 142syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> CC ) )
144 cncffvrn 18933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( S
-cn-> CC ) )  -> 
( ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR ) )
145103, 143, 144sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR )  <-> 
( x  e.  S  |->  A ) : S --> RR ) )
14653, 145mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( S -cn-> RR ) )
14757, 146syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  e.  ( S -cn-> RR ) )
148 rescncf 18932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X [,] Y ) 
C_  S  ->  (
( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  e.  ( S -cn-> RR )  ->  (
( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) ) )
14929, 147, 148sylc 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A )  |`  ( X [,] Y ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
150134, 149eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
15160recnd 9119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  CC )
15257oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  S  |-> 
[_ y  /  x ]_ A ) )
15334, 152, 413eqtr3g 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  S  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
154115, 29syl5ss 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  S )
155114, 151, 44, 153, 154, 125, 100, 127dvmptres 19854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
156115sseli 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( X (,) Y )  ->  y  e.  ( X [,] Y
) )
157 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ph )
1584adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  e.  S )
159 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
160159adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  e.  RR )
16113adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  e.  RR )
162 elicc2 10980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( y  e.  RR  /\  X  <_  y  /\  y  <_  Y ) ) )
16313, 5, 162syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( y  e.  RR  /\  X  <_  y  /\  y  <_  Y ) ) )
164163biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( y  e.  RR  /\  X  <_ 
y  /\  y  <_  Y ) )
165164simp1d 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  RR )
166 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
167166adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  <_  X )
168164simp2d 971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  <_  y )
169160, 161, 165, 167, 168letrd 9232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  D  <_  y )
170164simp3d 972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  <_  Y )
171 dvfsumlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
172171adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  <_  U )
173 simp2r 985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  Y  e.  S )
174 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
k  e.  S  <->  Y  e.  S ) )
175174anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  (
( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S ) ) )
176 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
y  <_  k  <->  y  <_  Y ) )
177 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  (
k  <_  U  <->  Y  <_  U ) )
178176, 1773anbi23d 1258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  (
( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U
) ) )
179175, 1783anbi23d 1258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  Y  ->  (
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) ) ) )
180 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  k  e. 
_V
181 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x C
182180, 181, 87csbief 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ k  /  x ]_ B  =  C
183 csbeq1 3256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  Y  ->  [_ k  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
184182, 183syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  Y  ->  C  =  [_ Y  /  x ]_ B )
185184breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  Y  ->  ( C  <_  [_ y  /  x ]_ B  <->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
186179, 185imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  Y  ->  (
( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
187 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )
188 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x  <_
189181, 188, 39nfbr 4259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  C  <_  [_ y  /  x ]_ B
190187, 189nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )
191 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  S  <->  y  e.  S ) )
192191anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( y  e.  S  /\  k  e.  S ) ) )
193 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  y ) )
194 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  k  <->  y  <_  k ) )
195193, 1943anbi12d 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  y  /\  y  <_ 
k  /\  k  <_  U ) ) )
196192, 1953anbi23d 1258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) ) ) )
19740breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( C  <_  B  <->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
198196, 197imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
199 dvfsum.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
200190, 198, 199chvar 1969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ y  /  x ]_ B )
201186, 200vtoclg 3013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  S  ->  (
( ph  /\  (
y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B ) )
202173, 201mpcom 35 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  Y  e.  S )  /\  ( D  <_  y  /\  y  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
203157, 30, 158, 169, 170, 172, 202syl123anc 1202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
204156, 203sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
205 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X ) )
206 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  Y ) )
20713, 5, 111, 132, 150, 155, 204, 70, 21, 19, 205, 76, 206, 63dvle 19896 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  Y )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  X
) )  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
20899, 207eqbrtrd 4235 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
20995, 66, 79, 208lesubd 9635 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  <_  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
21092recnd 9119 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
21151recnd 9119 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
21266recnd 9119 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
213210, 211, 212subsubd 9444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
214211, 210negsubdi2d 9432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
21515recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  CC )
21697, 98, 215nnncan2d 9451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  =  ( Y  -  X ) )
217216oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  X )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
21816recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
21968recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
220218, 219, 96subdird 9495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
22194recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
222221, 96mulcomd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
223217, 220, 2223eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
224223negeqd 9305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) )
225214, 224eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
226225oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
22795recnd 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  CC )
228227, 212negsubdid 9431 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( -u ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  +  [_ Y  /  x ]_ A ) )
229226, 228eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  -u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
) )
230227, 212negsubdi2d 9432 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
231213, 229, 2303eqtrd 2474 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) ) )
232209, 231breqtrrd 4241 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  <_  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
) ) )
23379, 92, 67, 232lesubd 9635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
234 flle 11213 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  <_  X )
23513, 234syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  X )
23613, 15subge0d 9621 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <->  ( |_ `  X )  <_  X
) )
237235, 236mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
238203ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X [,] Y )
[_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B )
23971breq2d 4227 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B  <->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
240239rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. y  e.  ( X [,] Y ) [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ y  /  x ]_ B  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
24170, 238, 240sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
24250, 74, 68, 237, 241lemul2ad 9956 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
24392, 75, 79, 242lesub1dd 9647 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
24467, 93, 80, 233, 243letrd 9232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
24567, 80, 91, 244leadd1dd 9645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  <_  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C ) )
246 dvfsum.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
247 dvfsum.md . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
248 dvfsum.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
249 dvfsum.h . . . 4  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
250 dvfsumlem1.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
2511, 85, 246, 159, 247, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 248, 199, 249, 6, 4, 166, 19, 171, 250dvfsumlem1 19915 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
25213leidd 9598 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  X )
25317, 18, 248, 19, 171xrletrd 10757 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  U )
254 fllep1 11215 . . . . 5  |-  ( X  e.  RR  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
25513, 254syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
2561, 85, 246, 159, 247, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 248, 199, 249, 6, 6, 166, 252, 253, 255dvfsumlem1 19915 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  X
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
257245, 251, 2563brtr4d 4245 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  <_  ( H `  X ) )
25880, 74resubcld 9470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
25967, 50resubcld 9470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  RR )
260 peano2rem 9372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  e.  RR  ->  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
26168, 260syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
262261, 74remulcld 9121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
263262, 79resubcld 9470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  RR )
264 peano2rem 9372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  e.  RR  ->  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
26516, 264syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  RR )
266265, 74remulcld 9121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  RR )
267266, 66resubcld 9470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
268265, 50remulcld 9121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  e.  RR )
269268, 66resubcld 9470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  RR )
270262recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  CC )
271266recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  CC )
272270, 271subcld 9416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  e.  CC )
273272, 212addcomd 9273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  +  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  +  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
274270, 271, 212subsubd 9444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )  + 
[_ Y  /  x ]_ A ) )
275212, 271, 270subsub2d 9445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  +  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
276273, 274, 2753eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) ) )
277119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
278218, 219, 277nnncan2d 9451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  ( X  -  ( |_ `  X ) ) ) )
279278, 216eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  -  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  =  ( Y  -  X ) )
280279oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  X )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
281265recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  CC )
282261recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  e.  CC )
28374recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  CC )
284281, 282, 283subdird 9495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  -  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
285221, 283mulcomd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
286280, 284, 2853eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
287286oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) ) )
288276, 287eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) ) )
28974, 94remulcld 9121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  e.  RR )
290 cncfmptc 18946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
[_ X  /  x ]_ B  e.  RR  /\  ( X [,] Y
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ X  /  x ]_ B
)  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> RR ) )
29174, 104, 105, 290syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ X  /  x ]_ B )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
292 remulcl 9080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[_ X  /  x ]_ B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y )  e.  RR )
293100, 101, 291, 109, 103, 292cncfmpt2ss 18950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
) )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
294114, 118, 120, 128, 283dvmptcmul 19855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ X  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 ) ) )
295283mulid1d 9110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 )  =  [_ X  /  x ]_ B )
296295mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  1 ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ X  /  x ]_ B
) )
297294, 296eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ X  /  x ]_ B  x.  y
) ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ X  /  x ]_ B ) )
2986adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  X  e.  S )
299165rexrd 9139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  e.  RR* )
30018adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  Y  e.  RR* )
301248adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  U  e.  RR* )
302299, 300, 301, 170, 172xrletrd 10757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  y  <_  U )
303 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
304 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
k  e.  S  <->  y  e.  S ) )
305304anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( X  e.  S  /\  y  e.  S ) ) )
306 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  ( X  <_  k  <->  X  <_  y ) )
307 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
k  <_  U  <->  y  <_  U ) )
308306, 3073anbi23d 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
y  /\  y  <_  U ) ) )
309305, 3083anbi23d 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) ) ) )
310 csbeq1 3256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  [_ k  /  x ]_ B  = 
[_ y  /  x ]_ B )
311182, 310syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ B )
312311breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  ( C  <_  [_ X  /  x ]_ B  <->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
313309, 312imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
314 simp2l 984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  X  e.  S )
315 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x X
316 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )
317 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
318181, 188, 317nfbr 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x  C  <_  [_ X  /  x ]_ B
319316, 318nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )
320 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  S  <->  X  e.  S ) )
321320anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  <->  ( X  e.  S  /\  k  e.  S ) ) )
322 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
323 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  X  ->  (
x  <_  k  <->  X  <_  k ) )
324322, 3233anbi12d 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  (
( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U )  <->  ( D  <_  X  /\  X  <_ 
k  /\  k  <_  U ) ) )
325321, 3243anbi23d 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  <-> 
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) ) ) )
326 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
327326breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  X  ->  ( C  <_  B  <->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
328325, 327imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
329315, 319, 328, 199vtoclgf 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
330314, 329mpcom 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  [_ X  /  x ]_ B )
331303, 313, 330vtocl 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( D  <_  X  /\  X  <_  y  /\  y  <_  U ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
332157, 298, 30, 167, 168, 302, 331syl123anc 1202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
333156, 332sylan2 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ y  /  x ]_ B  <_  [_ X  /  x ]_ B )
334 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) )
335 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  y
)  =  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  Y ) )
33613, 5, 150, 155, 293, 297, 333, 70, 21, 19, 76, 334, 63, 335dvle 19896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( ( [_ X  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
337283, 97, 98subdid 9494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( (
[_ X  /  x ]_ B  x.  Y
)  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  X ) ) )
338336, 337breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X
) ) )
33966, 79, 289, 338subled 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ A  -  ( [_ X  /  x ]_ B  x.  ( Y  -  X )
) )  <_  [_ X  /  x ]_ A )
340288, 339eqbrtrd 4235 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  [_ X  /  x ]_ A )
341262, 267, 79, 340subled 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
342265renegcld 9469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  e.  RR )
343 1re 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
344343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3455, 15, 344lesubadd2d 9630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  <_  1  <->  Y  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
346250, 345mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
34716, 344suble0d 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  <_  0  <->  ( Y  -  ( |_
`  X ) )  <_  1 ) )
348346, 347mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  <_  0 )
349265le0neg1d 9603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  <_  0  <->  0  <_  -u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 ) ) )
350348, 349mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 ) )
35150, 74, 342, 350, 241lemul2ad 9956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( -u ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
352281, 96mulneg1d 9491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) )
353281, 283mulneg1d 9491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  =  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
) )
354351, 352, 3533brtr3d 4244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
355266, 268lenegd 9610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <->  -u ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  <_  -u (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
356354, 355mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
357266, 268, 66, 356lesub1dd 9647 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
358263, 267, 269, 341, 357letrd 9232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
359219, 277, 283subdird 9495 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
) ) )
360283mulid2d 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
361360oveq2d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
362359, 361eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
363362oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
364218, 277, 96subdird 9495 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) ) )
36596mulid2d 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
366365oveq2d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
367364, 366eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
368367oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  -  1 )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
369358, 363, 3683brtr3d 4244 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
37075recnd 9119 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  CC )
37179recnd 9119 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  CC )
372370, 371, 283sub32d 9448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
373211, 212, 96sub32d 9448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
374369, 372, 3733brtr4d 4245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( (
( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
375258, 259, 91, 374leadd1dd 9645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )  <_  (
( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
37680recnd 9119 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
)  e.  CC )
37791recnd 9119 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
378376, 377, 283addsubd 9437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
37967recnd 9119 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
)  e.  CC )
380379, 377, 96addsubd 9437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C ) )
381375, 378, 3803brtr4d 4245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
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382256oveq1d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
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[_ X  /  x ]_ B )  -  [_ X  /  x ]_ A
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) )
383251oveq1d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A
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) )
384381, 382, 3833brtr4d 4245 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
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385257, 384jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Y )  <_  ( H `  X )  /\  ( ( H `  X )  -  [_ X  /  x ]_ B
)  <_  ( ( H `  Y )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   [_csb 3253    C_ wss 3322   {cpr 3817   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   dom cdm 4881   ran crn 4882    |` cres 4883   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    +oocpnf 9122   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   (,)cioo 10921   [,]cicc 10924   ...cfz 11048   |_cfl 11206   sum_csu 12484   TopOpenctopn 13654   topGenctg 13670  ℂfldccnfld 16708   -cn->ccncf 18911    _D cdv 19755
This theorem is referenced by:  dvfsumlem3  19917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759
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