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Theorem dvfsumlem4 19782
Description: Lemma for dvfsumrlim 19784. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumlem4.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumlem4.0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U
) )  ->  0  <_  B )
dvfsumlem4.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem4.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem4.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem4.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem4.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsumlem4.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
2 fzfid 11241 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
3 dvfsum.b2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43ralrimiva 2734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5 elfzuz 10989 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 dvfsum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleqr 2480 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  Z )
8 dvfsum.c . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
98eleq1d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109rspccva 2996 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
114, 7, 10syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  RR )
122, 11fsumrecl 12457 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  RR )
13 dvfsum.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
1413ralrimiva 2734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  RR )
15 nfcsb1v 3228 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
1615nfel1 2535 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR
17 csbeq1a 3204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
1817eleq1d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
1916, 18rspc 2991 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
201, 14, 19sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
2112, 20resubcld 9399 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )
22 nfcv 2525 . . . . . 6  |-  F/_ x Y
23 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
24 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ x  -
2523, 24, 15nfov 6045 . . . . . 6  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
26 fveq2 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
2726oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
2827sumeq1d 12424 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
2928, 17oveq12d 6040 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
30 dvfsumlem4.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
3122, 25, 29, 30fvmptf 5762 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
321, 21, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
33 dvfsumlem4.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
34 fzfid 11241 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
35 elfzuz 10989 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3635, 6syl6eleqr 2480 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
374, 36, 10syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
3834, 37fsumrecl 12457 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
39 nfcsb1v 3228 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ A
4039nfel1 2535 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ X  /  x ]_ A  e.  RR
41 csbeq1a 3204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  A  =  [_ X  /  x ]_ A )
4241eleq1d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
4340, 42rspc 2991 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
4433, 14, 43sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
4538, 44resubcld 9399 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )
46 nfcv 2525 . . . . . 6  |-  F/_ x X
47 nfcv 2525 . . . . . . 7  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C
4847, 24, 39nfov 6045 . . . . . 6  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )
49 fveq2 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  X
) )
5049oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
5150sumeq1d 12424 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
5251, 41oveq12d 6040 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5346, 48, 52, 30fvmptf 5762 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5433, 45, 53syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5532, 54oveq12d 6040 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
5655fveq2d 5674 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
57 dvfsum.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
58 ioossre 10906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
5957, 58eqsstri 3323 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  RR
6059a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
61 dvfsum.b1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
62 dvfsum.b3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
6360, 13, 61, 62dvmptrecl 19777 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
6463ralrimiva 2734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
65 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ m  B  e.  RR
66 nfcsb1v 3228 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ m  /  x ]_ B
6766nfel1 2535 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ m  /  x ]_ B  e.  RR
68 csbeq1a 3204 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  B  =  [_ m  /  x ]_ B )
6968eleq1d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  m  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR ) )
7065, 67, 69cbvral 2873 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  <->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
7164, 70sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
72 csbeq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  X  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
7372eleq1d 2455 . . . . . . 7  |-  ( m  =  X  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7473rspcv 2993 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7533, 71, 74sylc 58 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
7645, 75resubcld 9399 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
7759, 33sseldi 3291 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
78 reflcl 11134 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
7977, 78syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
8077, 79resubcld 9399 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
8180, 75remulcld 9051 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
8281, 45readdcld 9050 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
8382, 75resubcld 9399 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
84 fracge0 11142 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  RR  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
8577, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
86 dvfsumlem4.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
8777rexrd 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
8859, 1sseldi 3291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
8988rexrd 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
90 dvfsum.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
91 dvfsumlem4.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
92 dvfsumlem4.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
9387, 89, 90, 91, 92xrletrd 10686 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  U )
9433, 86, 933jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )
95 simpr1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) )  ->  X  e.  S )
96 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )
97 nfcv 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
0
98 nfcv 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <_
99 nfcsb1v 3228 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
10097, 98, 99nfbr 4199 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
0  <_  [_ X  /  x ]_ B
10196, 100nfim 1822 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
102 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  S  <->  X  e.  S ) )
103 breq2 4159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
104 breq1 4158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  <_  U  <->  X  <_  U ) )
105102, 103, 1043anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U )  <->  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) ) )
106105anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  <->  ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) ) ) )
107 csbeq1a 3204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
108107breq2d 4167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
109106, 108imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  ->  0  <_  B
)  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
110 dvfsumlem4.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U
) )  ->  0  <_  B )
11146, 101, 109, 110vtoclgf 2955 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  -> 
0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
11295, 111mpcom 34 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
11394, 112mpdan 650 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
11480, 75, 85, 113mulge0d 9537 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
11545, 81addge02d 9549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
116114, 115mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
11745, 82, 75, 116lesub1dd 9576 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
118 reflcl 11134 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
11988, 118syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  RR )
12088, 119resubcld 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  RR )
121 csbeq1 3199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  Y  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
122121eleq1d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  Y  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
123122rspcv 2993 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
1241, 71, 123sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
125120, 124remulcld 9051 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
126125, 21readdcld 9050 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
127126, 124resubcld 9399 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
128 dvfsum.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
129 dvfsum.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
130 dvfsum.md . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
131 dvfsum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
132 dvfsum.l . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
133 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) )
13457, 6, 128, 129, 130, 131, 13, 61, 3, 62, 8, 90, 132, 133, 33, 1, 86, 91, 92dvfsumlem3 19781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  <_  ( (
x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  /\  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
135134simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
136 nfcv 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( X  -  ( |_ `  X ) )
137 nfcv 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  x.
138136, 137, 99nfov 6045 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )
139 nfcv 2525 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  +
140138, 139, 48nfov 6045 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
141 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
142141, 49oveq12d 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
143142, 107oveq12d 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
144143, 52oveq12d 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
14546, 140, 144, 133fvmptf 5762 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
14633, 82, 145syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
147146oveq1d 6037 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
148 nfcv 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( Y  -  ( |_ `  Y ) )
149 nfcsb1v 3228 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ B
150148, 137, 149nfov 6045 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )
151150, 139, 25nfov 6045 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
152 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
153152, 26oveq12d 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
154 csbeq1a 3204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  [_ Y  /  x ]_ B )
155153, 154oveq12d 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
156155, 29oveq12d 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
15722, 151, 156, 133fvmptf 5762 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
1581, 126, 157syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
159158oveq1d 6037 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
160135, 147, 1593brtr3d 4184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
16121recnd 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
162124recnd 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
163125recnd 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
164161, 162, 163subsub3d 9375 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
165161, 163addcomd 9202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
166165oveq1d 6037 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
167164, 166eqtrd 2421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
168 1re 9025 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
169168a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
170129, 77, 88, 86, 91letrd 9161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  <_  Y )
1711, 170, 923jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )
172 simpr1 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) )  ->  Y  e.  S )
173 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )
17497, 98, 149nfbr 4199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
0  <_  [_ Y  /  x ]_ B
175173, 174nfim 1822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
176 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  e.  S  <->  Y  e.  S ) )
177 breq2 4159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  Y ) )
178 breq1 4158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  <_  U  <->  Y  <_  U ) )
179176, 177, 1783anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U )  <->  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) ) )
180179anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  <->  ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) ) ) )
181154breq2d 4167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
182180, 181imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  ->  0  <_  B
)  <->  ( ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
18322, 175, 182, 110vtoclgf 2955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  -> 
0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
184172, 183mpcom 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
185171, 184mpdan 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
186 fracle1 11141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_ 
1 )
18788, 186syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_  1 )
188120, 169, 124, 185, 187lemul1ad 9884 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
189162mulid2d 9041 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
190188, 189breqtrd 4179 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
191124, 125subge0d 9550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  <-> 
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
192190, 191mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) ) )
193124, 125resubcld 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
19421, 193subge02d 9552 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  <-> 
( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
195192, 194mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
196167, 195eqbrtrrd 4177 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19783, 127, 21, 160, 196letrd 9161 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19876, 83, 21, 117, 197letrd 9161 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19975, 45readdcld 9050 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
200 fracge0 11142 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
20188, 200syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
202120, 124, 201, 185mulge0d 9537 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
20321, 125addge02d 9549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
204202, 203mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
205134simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  <_  ( (
x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
) )
206205, 158, 1463brtr3d 4184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
20721, 126, 82, 204, 206letrd 9161 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
208 fracle1 11141 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_ 
1 )
20977, 208syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
21080, 169, 75, 113, 209lemul1ad 9884 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
21175recnd 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  CC )
212211mulid2d 9041 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
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21481, 75, 45, 213leadd1dd 9574 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
21521, 82, 199, 207, 214letrd 9161 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
21645recnd 9049 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  CC )
217211, 216addcomd 9202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  +  (
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`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  [_ X  /  x ]_ B ) )
218215, 217breqtrd 4179 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  [_ X  /  x ]_ B
) )
21921, 45, 75absdifled 12166 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B  <->  ( (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  [_ X  /  x ]_ B
) ) ) )
220198, 218, 219mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
22156, 220eqbrtrd 4175 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   [_csb 3196    C_ wss 3265   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    +oocpnf 9052   RR*cxr 9054    <_ cle 9056    - cmin 9225   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   (,)cioo 10850   ...cfz 10977   |_cfl 11130   abscabs 11968   sum_csu 12408    _D cdv 19619
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  19784  dvfsumrlim2  19785  logexprlim  20878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-sum 12409  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-cmp 17374  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623
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