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Theorem dvfsumlem4 19376
Description: Lemma for dvfsumrlim 19378. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumlem4.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumlem4.0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U
) )  ->  0  <_  B )
dvfsumlem4.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem4.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem4.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem4.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem4.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsumlem4.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
2 fzfid 11035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
3 dvfsum.b2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5 elfzuz 10794 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 dvfsum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  Z )
8 dvfsum.c . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
98eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109rspccva 2883 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
114, 7, 10syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  RR )
122, 11fsumrecl 12207 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  RR )
13 dvfsum.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
1413ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  RR )
15 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
1615nfel1 2429 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR
17 csbeq1a 3089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
1817eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
1916, 18rspc 2878 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
201, 14, 19sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
2112, 20resubcld 9211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )
22 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ x Y
23 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
24 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x  -
2523, 24, 15nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
26 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
2726oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
2827sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
2928, 17oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
30 dvfsumlem4.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
3122, 25, 29, 30fvmptf 5616 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
321, 21, 31syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
33 dvfsumlem4.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
34 fzfid 11035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
35 elfzuz 10794 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3635, 6syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
374, 36, 10syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
3834, 37fsumrecl 12207 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
39 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ A
4039nfel1 2429 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ X  /  x ]_ A  e.  RR
41 csbeq1a 3089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  A  =  [_ X  /  x ]_ A )
4241eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
4340, 42rspc 2878 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
4433, 14, 43sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
4538, 44resubcld 9211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )
46 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ x X
47 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C
4847, 24, 39nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )
49 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  X
) )
5049oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
5150sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
5251, 41oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5346, 48, 52, 30fvmptf 5616 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5433, 45, 53syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5532, 54oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
5655fveq2d 5529 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
57 dvfsum.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
58 ioossre 10712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
5957, 58eqsstri 3208 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  RR
6059a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
61 dvfsum.b1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
62 dvfsum.b3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
6360, 13, 61, 62dvmptrecl 19371 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
6463ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
65 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ m  B  e.  RR
66 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ m  /  x ]_ B
6766nfel1 2429 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ m  /  x ]_ B  e.  RR
68 csbeq1a 3089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  B  =  [_ m  /  x ]_ B )
6968eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  m  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR ) )
7065, 67, 69cbvral 2760 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  <->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
7164, 70sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
72 csbeq1 3084 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  X  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
7372eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( m  =  X  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7473rspcv 2880 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7533, 71, 74sylc 56 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
7645, 75resubcld 9211 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
7759, 33sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
78 reflcl 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
7977, 78syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
8077, 79resubcld 9211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
8180, 75remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
8281, 45readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
8382, 75resubcld 9211 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
84 fracge0 10936 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  RR  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
8577, 84syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
86 dvfsumlem4.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
8777rexrd 8881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
8859, 1sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
8988rexrd 8881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
90 dvfsum.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
91 dvfsumlem4.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
92 dvfsumlem4.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
9387, 89, 90, 91, 92xrletrd 10493 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  U )
9433, 86, 933jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )
95 simpr1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) )  ->  X  e.  S )
96 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )
97 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
0
98 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <_
9946nfcsb1 3112 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
10097, 98, 99nfbr 4067 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
0  <_  [_ X  /  x ]_ B
10196, 100nfim 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
102 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  S  <->  X  e.  S ) )
103 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
104 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  <_  U  <->  X  <_  U ) )
105102, 103, 1043anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U )  <->  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) ) )
106105anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  <->  ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) ) ) )
107 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
108107breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
109106, 108imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  ->  0  <_  B
)  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
110 dvfsumlem4.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U
) )  ->  0  <_  B )
11146, 101, 109, 110vtoclgf 2842 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  -> 
0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
11295, 111mpcom 32 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
11394, 112mpdan 649 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
11480, 75, 85, 113mulge0d 9349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
11545, 81addge02d 9361 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
116114, 115mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
11745, 82, 75, 116lesub1dd 9388 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
118 reflcl 10928 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
11988, 118syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  RR )
12088, 119resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  RR )
121 csbeq1 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  Y  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
122121eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  Y  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
123122rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
1241, 71, 123sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
125120, 124remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
126125, 21readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
127126, 124resubcld 9211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
128 dvfsum.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
129 dvfsum.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
130 dvfsum.md . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
131 dvfsum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
132 dvfsum.l . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
133 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) )
13457, 6, 128, 129, 130, 131, 13, 61, 3, 62, 8, 90, 132, 133, 33, 1, 86, 91, 92dvfsumlem3 19375 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  <_  ( (
x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  /\  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
135134simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
136 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( X  -  ( |_ `  X ) )
137 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  x.
138136, 137, 99nfov 5881 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )
139 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  +
140138, 139, 48nfov 5881 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
141 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
142141, 49oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
143142, 107oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
144143, 52oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
14546, 140, 144, 133fvmptf 5616 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
14633, 82, 145syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
147146oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
148 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( Y  -  ( |_ `  Y ) )
14922nfcsb1 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ B
150148, 137, 149nfov 5881 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )
151150, 139, 25nfov 5881 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
152 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
153152, 26oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
154 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  [_ Y  /  x ]_ B )
155153, 154oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
156155, 29oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
15722, 151, 156, 133fvmptf 5616 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
1581, 126, 157syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
159158oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
160135, 147, 1593brtr3d 4052 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
16121recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
162124recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
163125recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
164161, 162, 163subsub3d 9187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
165161, 163addcomd 9014 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
166165oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
167164, 166eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
168 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
169168a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
170129, 77, 88, 86, 91letrd 8973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  <_  Y )
1711, 170, 923jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )
172 simpr1 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) )  ->  Y  e.  S )
173 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )
17497, 98, 149nfbr 4067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
0  <_  [_ Y  /  x ]_ B
175173, 174nfim 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
176 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  e.  S  <->  Y  e.  S ) )
177 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  Y ) )
178 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  <_  U  <->  Y  <_  U ) )
179176, 177, 1783anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U )  <->  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) ) )
180179anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  <->  ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) ) ) )
181154breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
182180, 181imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  ->  0  <_  B
)  <->  ( ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
18322, 175, 182, 110vtoclgf 2842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  -> 
0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
184172, 183mpcom 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
185171, 184mpdan 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
186 fracle1 10935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_ 
1 )
18788, 186syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_  1 )
188120, 169, 124, 185, 187lemul1ad 9696 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
189162mulid2d 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
190188, 189breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
191124, 125subge0d 9362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  <-> 
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
192190, 191mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) ) )
193124, 125resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
19421, 193subge02d 9364 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  <-> 
( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
195192, 194mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
196167, 195eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19783, 127, 21, 160, 196letrd 8973 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19876, 83, 21, 117, 197letrd 8973 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19975, 45readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
200 fracge0 10936 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
20188, 200syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
202120, 124, 201, 185mulge0d 9349 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
20321, 125addge02d 9361 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
204202, 203mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
205134simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  <_  ( (
x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
) )
206205, 158, 1463brtr3d 4052 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
20721, 126, 82, 204, 206letrd 8973 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
208 fracle1 10935 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_ 
1 )
20977, 208syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
21080, 169, 75, 113, 209lemul1ad 9696 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
21175recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  CC )
212211mulid2d 8853 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
213210, 212breqtrd 4047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
21481, 75, 45, 213leadd1dd 9386 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
21521, 82, 199, 207, 214letrd 8973 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
21645recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  CC )
217211, 216addcomd 9014 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  +  (
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`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  [_ X  /  x ]_ B ) )
218215, 217breqtrd 4047 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  [_ X  /  x ]_ B
) )
21921, 45, 75absdifled 11917 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B  <->  ( (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  [_ X  /  x ]_ B
) ) ) )
220198, 218, 219mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
22156, 220eqbrtrd 4043 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   [_csb 3081    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   (,)cioo 10656   ...cfz 10782   |_cfl 10924   abscabs 11719   sum_csu 12158    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  19378  dvfsumrlim2  19379  logexprlim  20464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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