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Theorem dvfsumlem4 19905
Description: Lemma for dvfsumrlim 19907. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumlem4.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumlem4.0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U
) )  ->  0  <_  B )
dvfsumlem4.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem4.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem4.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem4.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem4.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsumlem4.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
2 fzfid 11304 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
3 dvfsum.b2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43ralrimiva 2781 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5 elfzuz 11047 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 dvfsum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) )  ->  k  e.  Z )
8 dvfsum.c . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
98eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109rspccva 3043 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
114, 7, 10syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) )  ->  C  e.  RR )
122, 11fsumrecl 12520 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  e.  RR )
13 dvfsum.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
1413ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  RR )
15 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
1615nfel1 2581 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR
17 csbeq1a 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
1817eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR ) )
1916, 18rspc 3038 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
)
201, 14, 19sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  RR )
2112, 20resubcld 9457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )
22 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ x Y
23 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
24 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ x  -
2523, 24, 15nfov 6096 . . . . . 6  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
26 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
2726oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
2827sumeq1d 12487 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
2928, 17oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
30 dvfsumlem4.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
3122, 25, 29, 30fvmptf 5813 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
321, 21, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
33 dvfsumlem4.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
34 fzfid 11304 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
35 elfzuz 11047 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3635, 6syl6eleqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
374, 36, 10syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  RR )
3834, 37fsumrecl 12520 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  RR )
39 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ A
4039nfel1 2581 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ X  /  x ]_ A  e.  RR
41 csbeq1a 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  A  =  [_ X  /  x ]_ A )
4241eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR ) )
4340, 42rspc 3038 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
)
4433, 14, 43sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ A  e.  RR )
4538, 44resubcld 9457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )
46 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ x X
47 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C
4847, 24, 39nfov 6096 . . . . . 6  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )
49 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  X
) )
5049oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
5150sumeq1d 12487 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
5251, 41oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5346, 48, 52, 30fvmptf 5813 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  RR )  -> 
( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5433, 45, 53syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
5532, 54oveq12d 6091 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
5655fveq2d 5724 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  =  ( abs `  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
57 dvfsum.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
58 ioossre 10964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
5957, 58eqsstri 3370 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  RR
6059a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
61 dvfsum.b1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
62 dvfsum.b3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
6360, 13, 61, 62dvmptrecl 19900 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
6463ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
65 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ m  B  e.  RR
66 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x [_ m  /  x ]_ B
6766nfel1 2581 . . . . . . . 8  |-  F/ x [_ m  /  x ]_ B  e.  RR
68 csbeq1a 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  B  =  [_ m  /  x ]_ B )
6968eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  m  ->  ( B  e.  RR  <->  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR ) )
7065, 67, 69cbvral 2920 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  RR  <->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
7164, 70sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR )
72 csbeq1 3246 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  X  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ X  /  x ]_ B )
7372eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( m  =  X  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7473rspcv 3040 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
)
7533, 71, 74sylc 58 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ B  e.  RR )
7645, 75resubcld 9457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
7759, 33sseldi 3338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
78 reflcl 11197 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
7977, 78syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
8077, 79resubcld 9457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  e.  RR )
8180, 75remulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
8281, 45readdcld 9107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
8382, 75resubcld 9457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  e.  RR )
84 fracge0 11205 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  RR  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
8577, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
86 dvfsumlem4.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
8777rexrd 9126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
8859, 1sseldi 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
8988rexrd 9126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
90 dvfsum.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
91 dvfsumlem4.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
92 dvfsumlem4.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
9387, 89, 90, 91, 92xrletrd 10744 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  U )
9433, 86, 933jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )
95 simpr1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) )  ->  X  e.  S )
96 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )
97 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
0
98 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <_
99 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ X  /  x ]_ B
10097, 98, 99nfbr 4248 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
0  <_  [_ X  /  x ]_ B
10196, 100nfim 1832 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
102 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  S  <->  X  e.  S ) )
103 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  X ) )
104 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  <_  U  <->  X  <_  U ) )
105102, 103, 1043anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U )  <->  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) ) )
106105anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  <->  ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) ) ) )
107 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  B  =  [_ X  /  x ]_ B )
108107breq2d 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
109106, 108imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  ->  0  <_  B
)  <->  ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) ) )
110 dvfsumlem4.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U
) )  ->  0  <_  B )
11146, 101, 109, 110vtoclgf 3002 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U ) )  -> 
0  <_  [_ X  /  x ]_ B ) )
11295, 111mpcom 34 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  D  <_  X  /\  X  <_  U
) )  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
11394, 112mpdan 650 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ X  /  x ]_ B )
11480, 75, 85, 113mulge0d 9595 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
11545, 81addge02d 9607 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  (
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) ) )
116114, 115mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
11745, 82, 75, 116lesub1dd 9634 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
118 reflcl 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
11988, 118syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  RR )
12088, 119resubcld 9457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  e.  RR )
121 csbeq1 3246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  Y  ->  [_ m  /  x ]_ B  = 
[_ Y  /  x ]_ B )
122121eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  Y  ->  ( [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
123122rspcv 3040 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. m  e.  S  [_ m  /  x ]_ B  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
)
1241, 71, 123sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  RR )
125120, 124remulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
126125, 21readdcld 9107 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
127126, 124resubcld 9457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  RR )
128 dvfsum.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
129 dvfsum.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
130 dvfsum.md . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
131 dvfsum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
132 dvfsum.l . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
133 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) )
13457, 6, 128, 129, 130, 131, 13, 61, 3, 62, 8, 90, 132, 133, 33, 1, 86, 91, 92dvfsumlem3 19904 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  <_  ( (
x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  /\  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
135134simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
136 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( X  -  ( |_ `  X ) )
137 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  x.
138136, 137, 99nfov 6096 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )
139 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  +
140138, 139, 48nfov 6096 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )
141 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
142141, 49oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( X  -  ( |_ `  X ) ) )
143142, 107oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B ) )
144143, 52oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
14546, 140, 144, 133fvmptf 5813 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
14633, 82, 145syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  =  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
147146oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
)  -  [_ X  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B ) )
148 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( Y  -  ( |_ `  Y ) )
149 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ B
150148, 137, 149nfov 6096 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )
151150, 139, 25nfov 6096 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
152 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
153152, 26oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
154 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  [_ Y  /  x ]_ B )
155153, 154oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
156155, 29oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
15722, 151, 156, 133fvmptf 5813 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
1581, 126, 157syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
159158oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
160135, 147, 1593brtr3d 4233 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
16121recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
162124recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
163125recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
164161, 162, 163subsub3d 9433 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
165161, 163addcomd 9260 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
166165oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
167164, 166eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
168 1re 9082 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
169168a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
170129, 77, 88, 86, 91letrd 9219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  <_  Y )
1711, 170, 923jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )
172 simpr1 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) )  ->  Y  e.  S )
173 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )
17497, 98, 149nfbr 4248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
0  <_  [_ Y  /  x ]_ B
175173, 174nfim 1832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
176 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  e.  S  <->  Y  e.  S ) )
177 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  Y ) )
178 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  <_  U  <->  Y  <_  U ) )
179176, 177, 1783anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U )  <->  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) ) )
180179anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  <->  ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) ) ) )
181154breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  B  <->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
182180, 181imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  U ) )  ->  0  <_  B
)  <->  ( ( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
18322, 175, 182, 110vtoclgf 3002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  S  ->  (
( ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U ) )  -> 
0  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
184172, 183mpcom 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  S  /\  D  <_  Y  /\  Y  <_  U
) )  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
185171, 184mpdan 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
186 fracle1 11204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_ 
1 )
18788, 186syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  <_  1 )
188120, 169, 124, 185, 187lemul1ad 9942 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
189162mulid2d 9098 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
190188, 189breqtrd 4228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  [_ Y  /  x ]_ B )
191124, 125subge0d 9608 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  <-> 
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  [_ Y  /  x ]_ B ) )
192190, 191mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) ) )
193124, 125resubcld 9457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
19421, 193subge02d 9610 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  <-> 
( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
195192, 194mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( [_ Y  /  x ]_ B  -  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
196167, 195eqbrtrrd 4226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19783, 127, 21, 160, 196letrd 9219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19876, 83, 21, 117, 197letrd 9219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
19975, 45readdcld 9107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  e.  RR )
200 fracge0 11205 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
20188, 200syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
202120, 124, 201, 185mulge0d 9595 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B ) )
20321, 125addge02d 9607 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  <->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) ) )
204202, 203mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( Y  -  ( |_
`  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
205134simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_
`  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) ) `  Y
)  <_  ( (
x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) ) ) `  X
) )
206205, 158, 1463brtr3d 4233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  <_  ( (
( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
20721, 126, 82, 204, 206letrd 9219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( ( X  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
208 fracle1 11204 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_ 
1 )
20977, 208syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( |_ `  X ) )  <_  1 )
21080, 169, 75, 113, 209lemul1ad 9942 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ X  /  x ]_ B )  <_  ( 1  x. 
[_ X  /  x ]_ B ) )
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212211mulid2d 9098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ X  /  x ]_ B
)  =  [_ X  /  x ]_ B )
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21481, 75, 45, 213leadd1dd 9632 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ X  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
21521, 82, 199, 207, 214letrd 9219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( [_ X  /  x ]_ B  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )
21645recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  e.  CC )
217211, 216addcomd 9260 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( [_ X  /  x ]_ B  +  (
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`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  [_ X  /  x ]_ B ) )
218215, 217breqtrd 4228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
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) )
21921, 45, 75absdifled 12229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B  <->  ( (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  -  [_ X  /  x ]_ B )  <_ 
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  /\  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  <_  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A )  +  [_ X  /  x ]_ B
) ) ) )
220198, 218, 219mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  -  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ X  /  x ]_ A ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
22156, 220eqbrtrd 4224 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   [_csb 3243    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    <_ cle 9113    - cmin 9283   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   (,)cioo 10908   ...cfz 11035   |_cfl 11193   abscabs 12031   sum_csu 12471    _D cdv 19742
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  19907  dvfsumrlim2  19908  logexprlim  21001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746
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