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Theorem dvfsumrlim 19916
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if  x  e.  S  |->  B is a decreasing function with antiderivative  A converging to zero, then the difference between  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) B ( k ) and  A ( x )  =  S. u  e.  ( M [,] x
) B ( u )  _d u converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by  B
( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlim
Dummy variables  y 
e  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10973 . . . 4  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3379 . . 3  |-  S  C_  RR
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
5 dvfsum.z . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 dvfsum.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 dvfsum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
8 dvfsum.md . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
9 dvfsum.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
10 dvfsum.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
11 dvfsum.b1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
12 dvfsum.b2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
13 dvfsum.b3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
14 dvfsum.c . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
15 dvfsumrlim.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
161, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dvfsumrlimf 19910 . . 3  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
17 ax-resscn 9048 . . 3  |-  RR  C_  CC
18 fss 5600 . . 3  |-  ( ( G : S --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : S --> CC )
1916, 17, 18sylancl 645 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
201supeq1i 7453 . . 3  |-  sup ( S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )
21 ressxr 9130 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
2221, 9sseldi 3347 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
239renepnfd 9136 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =/=  +oo )
24 ioopnfsup 11246 . . . 4  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  T  =/=  +oo )  ->  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
2522, 23, 24syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
2620, 25syl5eq 2481 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
27 dvfsumrlim.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2811, 27rlimmptrcl 12402 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  CC )
2928ralrimiva 2790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  CC )
3029, 4rlim0 12303 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )
) )
3127, 30mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) )
323a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  S  C_  RR )
33 peano2re 9240 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  RR  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
349, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
35 ifcl 3776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
3634, 7, 35syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
3736adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
38 rexico 12158 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )  -> 
( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) ) )
3932, 37, 38syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) ) )
40 elicopnf 11001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
)  e.  RR  ->  ( c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
) [,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c ) ) )
4136, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) 
<->  ( c  e.  RR  /\  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c
) ) )
4241simprbda 608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  RR )
439adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  e.  RR )
4443, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
4543ltp1d 9942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  <  ( T  +  1 ) )
4641simplbda 609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c )
477adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  D  e.  RR )
48 maxle 10779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  RR  /\  ( T  +  1
)  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_ 
c  <->  ( D  <_ 
c  /\  ( T  +  1 )  <_ 
c ) ) )
4947, 44, 42, 48syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
)  <_  c  <->  ( D  <_  c  /\  ( T  +  1 )  <_ 
c ) ) )
5046, 49mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( D  <_  c  /\  ( T  +  1 )  <_  c ) )
5150simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( T  +  1 )  <_  c )
5243, 44, 42, 45, 51ltletrd 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  <  c )
5322adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  e.  RR* )
54 elioopnf 10999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( c  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  T  < 
c ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  (
c  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  T  < 
c ) ) )
5642, 52, 55mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  ( T (,)  +oo ) )
5756, 1syl6eleqr 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  S )
5850simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  D  <_  c )
5957, 58jca 520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )
6059adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) )  -> 
( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )
61 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  c  e.  S
)
6261adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  e.  S
)
633, 62sseldi 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  e.  RR )
6463leidd 9594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  <_  c
)
65 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x  c  <_  c
66 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x abs
67 nfcsb1v 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x [_ c  /  x ]_ B
6866, 67nffv 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )
69 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x  <
70 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
e
7168, 69, 70nfbr 4257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e
7265, 71nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e )
73 breq2 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  c  ->  (
c  <_  x  <->  c  <_  c ) )
74 csbeq1a 3260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  c  ->  B  =  [_ c  /  x ]_ B )
7574fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  c  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B ) )
7675breq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  c  ->  (
( abs `  B
)  <  e  <->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) )
7773, 76imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  c  ->  (
( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  <->  ( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e ) ) )
7872, 77rspc 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e ) ) )
7962, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  <_  c  ->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) ) )
8064, 79mpid 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) )
814, 10, 11, 13dvmptrecl 19909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
8281adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
83 dvfsumrlim.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
841, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 83, 15, 27dvfsumrlimge0 19915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
85 elrege0 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
8682, 84, 85sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
8786expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
8887ralrimiva 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
8988adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
90 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  D  <_  c
)
9190adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  D  <_  c
)
92 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x  D  <_  c
9367nfel1 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo )
9492, 93nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x
( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) )
95 breq2 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  c  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  c ) )
9674eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  c  ->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
9795, 96imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  c  ->  (
( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  <->  ( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) ) )
9894, 97rspc 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
9962, 89, 91, 98syl3c 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) )
100 elrege0 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B ) )
10199, 100sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B ) )
102 absid 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B )  -> 
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  =  [_ c  /  x ]_ B )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  =  [_ c  /  x ]_ B )
104103breq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e  <->  [_ c  /  x ]_ B  <  e ) )
1056adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
1067adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  D  e.  RR )
1078adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
1089adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  T  e.  RR )
10910adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  A  e.  RR )
11011adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  B  e.  V )
11112adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  Z
)  ->  B  e.  RR )
11213adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
113 pnfxr 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  +oo  e.  RR*
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
115 3simpa 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo )  ->  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )
116115, 83syl3an3 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo ) )  ->  C  <_  B )
1171163adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo ) )  ->  C  <_  B )
118843adantr3 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  +oo )
)  ->  0  <_  B )
119118adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  +oo )
)  ->  0  <_  B )
120 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  e.  S
)
121 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  <_  y
)
1223, 21sstri 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  S  C_  RR*
123122, 120sseldi 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
124 pnfge 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  +oo )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  <_  +oo )
1261, 5, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 14, 114, 117, 15, 119, 62, 120, 91, 121, 125dvfsumlem4 19914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B )
12719adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  G : S --> CC )
128127, 120ffvelrnd 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
129127, 62ffvelrnd 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
130128, 129subcld 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) )  e.  CC )
131130abscld 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  e.  RR )
132101simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  RR )
133 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  e  e.  RR+ )
134133rpred 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  e  e.  RR )
135 lelttr 9166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  e.  RR  /\  [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B  /\  [_ c  /  x ]_ B  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e
) )
136131, 132, 134, 135syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B  /\  [_ c  /  x ]_ B  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e
) )
137126, 136mpand 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( [_ c  /  x ]_ B  < 
e  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) )
138104, 137sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) )
13980, 138syld 43 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) )
140139anassrs 631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) )
141140expr 600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
c  <_  y  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) )
142141com23 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  <_  y  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) )
143142ralrimdva 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
144143, 61jctild 529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
145144anassrs 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
14660, 145syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) ) )
147146expimpd 588 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
) [,)  +oo )  /\  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) )  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
148147reximdv2 2816 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
14939, 148sylbird 228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
150149ralimdva 2785 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e )  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
15131, 150mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  S  A. y  e.  S  (
c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e ) )
1524, 19, 26, 151caucvgr 12470 1  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   A.wral 2706   E.wrex 2707   [_csb 3252    C_ wss 3321   ifcif 3740   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   dom cdm 4879   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   supcsup 7446   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    +oocpnf 9118   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   RR+crp 10613   (,)cioo 10917   [,)cico 10919   ...cfz 11044   |_cfl 11202   abscabs 12040    ~~> r crli 12280   sum_csu 12480    _D cdv 19751
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  19918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-cmp 17451  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755
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