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Theorem dvfsumrlim 19378
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if  x  e.  S  |->  B is a decreasing function with antiderivative  A converging to zero, then the difference between  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) B ( k ) and  A ( x )  =  S. u  e.  ( M [,] x
) B ( u )  _d u converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by  B
( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlim
Dummy variables  y 
e  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10712 . . . 4  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3208 . . 3  |-  S  C_  RR
43a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
5 dvfsum.z . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 dvfsum.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 dvfsum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
8 dvfsum.md . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
9 dvfsum.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
10 dvfsum.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
11 dvfsum.b1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
12 dvfsum.b2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
13 dvfsum.b3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
14 dvfsum.c . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
15 dvfsumrlim.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
161, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dvfsumrlimf 19372 . . 3  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
17 ax-resscn 8794 . . 3  |-  RR  C_  CC
18 fss 5397 . . 3  |-  ( ( G : S --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : S --> CC )
1916, 17, 18sylancl 643 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
201supeq1i 7200 . . 3  |-  sup ( S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )
21 ressxr 8876 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
2221, 9sseldi 3178 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
239renepnfd 8882 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =/=  +oo )
24 ioopnfsup 10968 . . . 4  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  T  =/=  +oo )  ->  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
2522, 23, 24syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
2620, 25syl5eq 2327 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
27 dvfsumrlim.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2811, 27rlimmptrcl 12081 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  CC )
2928ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  CC )
3029, 4rlim0 11982 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )
) )
3127, 30mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) )
323a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  S  C_  RR )
33 peano2re 8985 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  RR  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
349, 33syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
35 ifcl 3601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
3634, 7, 35syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
3736adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
38 rexico 11837 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )  -> 
( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) ) )
3932, 37, 38syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) ) )
40 elicopnf 10739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
)  e.  RR  ->  ( c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
) [,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c ) ) )
4136, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) 
<->  ( c  e.  RR  /\  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c
) ) )
4241simprbda 606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  RR )
439adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  e.  RR )
4443, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
4543ltp1d 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  <  ( T  +  1 ) )
4641simplbda 607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c )
477adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  D  e.  RR )
48 maxle 10519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  RR  /\  ( T  +  1
)  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_ 
c  <->  ( D  <_ 
c  /\  ( T  +  1 )  <_ 
c ) ) )
4947, 44, 42, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
)  <_  c  <->  ( D  <_  c  /\  ( T  +  1 )  <_ 
c ) ) )
5046, 49mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( D  <_  c  /\  ( T  +  1 )  <_  c ) )
5150simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( T  +  1 )  <_  c )
5243, 44, 42, 45, 51ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  <  c )
5322adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  e.  RR* )
54 elioopnf 10737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( c  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  T  < 
c ) ) )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  (
c  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  T  < 
c ) ) )
5642, 52, 55mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  ( T (,)  +oo ) )
5756, 1syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  S )
5850simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  D  <_  c )
5957, 58jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )
6059adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) )  -> 
( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )
61 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  c  e.  S
)
6261adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  e.  S
)
633, 62sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  e.  RR )
6463leidd 9339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  <_  c
)
65 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x  c  <_  c
66 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x abs
67 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x [_ c  /  x ]_ B
6866, 67nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )
69 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x  <
70 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
e
7168, 69, 70nfbr 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e
7265, 71nfim 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e )
73 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  c  ->  (
c  <_  x  <->  c  <_  c ) )
74 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  c  ->  B  =  [_ c  /  x ]_ B )
7574fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  c  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B ) )
7675breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  c  ->  (
( abs `  B
)  <  e  <->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) )
7773, 76imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  c  ->  (
( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  <->  ( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e ) ) )
7872, 77rspc 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e ) ) )
7962, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  <_  c  ->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) ) )
8064, 79mpid 37 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) )
814, 10, 11, 13dvmptrecl 19371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
8281adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
83 dvfsumrlim.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
841, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 83, 15, 27dvfsumrlimge0 19377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
85 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
8682, 84, 85sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
8786expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
8887ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
8988adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
90 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  D  <_  c
)
9190adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  D  <_  c
)
92 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x  D  <_  c
9367nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo )
9492, 93nfim 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x
( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) )
95 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  c  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  c ) )
9674eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  c  ->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
9795, 96imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  c  ->  (
( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  <->  ( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) ) )
9894, 97rspc 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
9962, 89, 91, 98syl3c 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) )
100 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B ) )
10199, 100sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B ) )
102 absid 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B )  -> 
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  =  [_ c  /  x ]_ B )
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  =  [_ c  /  x ]_ B )
104103breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e  <->  [_ c  /  x ]_ B  <  e ) )
1056adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
1067adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  D  e.  RR )
1078adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
1089adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  T  e.  RR )
10910adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  A  e.  RR )
11011adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  B  e.  V )
11112adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  Z
)  ->  B  e.  RR )
11213adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
113 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  +oo  e.  RR*
114113a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
115 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo )  ->  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )
116115, 83syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo ) )  ->  C  <_  B )
1171163adant1r 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo ) )  ->  C  <_  B )
118843adantr3 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  +oo )
)  ->  0  <_  B )
119118adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  +oo )
)  ->  0  <_  B )
120 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  e.  S
)
121 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  <_  y
)
1223, 21sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  S  C_  RR*
123122, 120sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
124 pnfge 10469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  +oo )
125123, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  <_  +oo )
1261, 5, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 14, 114, 117, 15, 119, 62, 120, 91, 121, 125dvfsumlem4 19376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B )
12719adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  G : S --> CC )
128 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : S --> CC  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y
)  e.  CC )
129127, 120, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
130 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : S --> CC  /\  c  e.  S )  ->  ( G `  c
)  e.  CC )
131127, 62, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
132129, 131subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) )  e.  CC )
133132abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  e.  RR )
134101simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  RR )
135 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  e  e.  RR+ )
136135rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  e  e.  RR )
137 lelttr 8912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  e.  RR  /\  [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B  /\  [_ c  /  x ]_ B  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e
) )
138133, 134, 136, 137syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B  /\  [_ c  /  x ]_ B  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e
) )
139126, 138mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( [_ c  /  x ]_ B  < 
e  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) )
140104, 139sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) )
14180, 140syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) )
142141anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) )
143142expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
c  <_  y  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) )
144143com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  <_  y  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) )
145144ralrimdva 2633 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
146145, 61jctild 527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
147146anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
14860, 147syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) ) )
149148expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
) [,)  +oo )  /\  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) )  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
150149reximdv2 2652 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
15139, 150sylbird 226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
152151ralimdva 2621 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e )  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
15331, 152mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  S  A. y  e.  S  (
c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e ) )
1544, 19, 26, 153caucvgr 12148 1  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   [_csb 3081    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   ...cfz 10782   |_cfl 10924   abscabs 11719    ~~> r crli 11959   sum_csu 12158    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  19380
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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