Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumrlim 19916
 Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if is a decreasing function with antiderivative converging to zero, then the difference between and converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by . (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s
dvfsum.z
dvfsum.m
dvfsum.d
dvfsum.md
dvfsum.t
dvfsum.a
dvfsum.b1
dvfsum.b2
dvfsum.b3
dvfsum.c
dvfsumrlim.l
dvfsumrlim.g
dvfsumrlim.k
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dvfsumrlim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4
2 ioossre 10973 . . . 4
31, 2eqsstri 3379 . . 3
43a1i 11 . 2
5 dvfsum.z . . . 4
6 dvfsum.m . . . 4
7 dvfsum.d . . . 4
8 dvfsum.md . . . 4
9 dvfsum.t . . . 4
10 dvfsum.a . . . 4
11 dvfsum.b1 . . . 4
12 dvfsum.b2 . . . 4
13 dvfsum.b3 . . . 4
14 dvfsum.c . . . 4
15 dvfsumrlim.g . . . 4
161, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dvfsumrlimf 19910 . . 3
17 ax-resscn 9048 . . 3
18 fss 5600 . . 3
1916, 17, 18sylancl 645 . 2
201supeq1i 7453 . . 3
21 ressxr 9130 . . . . 5
2221, 9sseldi 3347 . . . 4
239renepnfd 9136 . . . 4
24 ioopnfsup 11246 . . . 4
2522, 23, 24syl2anc 644 . . 3
2620, 25syl5eq 2481 . 2
27 dvfsumrlim.k . . . 4
2811, 27rlimmptrcl 12402 . . . . . 6
2928ralrimiva 2790 . . . . 5
3029, 4rlim0 12303 . . . 4
3127, 30mpbid 203 . . 3
323a1i 11 . . . . . 6
33 peano2re 9240 . . . . . . . . 9
349, 33syl 16 . . . . . . . 8
35 ifcl 3776 . . . . . . . 8
3634, 7, 35syl2anc 644 . . . . . . 7
3736adantr 453 . . . . . 6
38 rexico 12158 . . . . . 6
3932, 37, 38syl2anc 644 . . . . 5
40 elicopnf 11001 . . . . . . . . . . . . . 14
4136, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4241simprbda 608 . . . . . . . . . . . 12
439adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
4443, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4543ltp1d 9942 . . . . . . . . . . . . 13
4641simplbda 609 . . . . . . . . . . . . . . 15
477adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 maxle 10779 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4947, 44, 42, 48syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15
5046, 49mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14
5150simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13
5243, 44, 42, 45, 51ltletrd 9231 . . . . . . . . . . . 12
5322adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
54 elioopnf 10999 . . . . . . . . . . . . 13
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5642, 52, 55mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11
5756, 1syl6eleqr 2528 . . . . . . . . . 10
5850simpld 447 . . . . . . . . . 10
5957, 58jca 520 . . . . . . . . 9
6059adantlr 697 . . . . . . . 8
61 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6261adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
633, 62sseldi 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463leidd 9594 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
66 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
67 nfcsb1v 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6866, 67nffv 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
70 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7168, 69, 70nfbr 4257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7265, 71nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73 breq2 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
74 csbeq1a 3260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7574fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7675breq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7773, 76imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7872, 77rspc 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7962, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8064, 79mpid 40 . . . . . . . . . . . . . . 15
814, 10, 11, 13dvmptrecl 19909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8281adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
83 dvfsumrlim.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
841, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 83, 15, 27dvfsumrlimge0 19915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
85 elrege0 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8682, 84, 85sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8786expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8887ralrimiva 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8988adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
90 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9190adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
92 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9367nfel1 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9492, 93nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95 breq2 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9674eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9795, 96imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9894, 97rspc 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9962, 89, 91, 98syl3c 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
100 elrege0 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10199, 100sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102 absid 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104103breq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1056adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1067adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1078adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1089adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10910adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11011adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11112adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11213adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113 pnfxr 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115 3simpa 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116115, 83syl3an3 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1171163adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118843adantr3 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119118adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1223, 21sstri 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123122, 120sseldi 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124 pnfge 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1261, 5, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 14, 114, 117, 15, 119, 62, 120, 91, 121, 125dvfsumlem4 19914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12719adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
128127, 120ffvelrnd 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129127, 62ffvelrnd 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
130128, 129subcld 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131130abscld 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132101simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
133 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134133rpred 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135 lelttr 9166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136131, 132, 134, 135syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137126, 136mpand 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138104, 137sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . 15
13980, 138syld 43 . . . . . . . . . . . . . 14
140139anassrs 631 . . . . . . . . . . . . 13
141140expr 600 . . . . . . . . . . . 12
142141com23 75 . . . . . . . . . . 11
143142ralrimdva 2797 . . . . . . . . . 10
144143, 61jctild 529 . . . . . . . . 9
145144anassrs 631 . . . . . . . 8
14660, 145syldan 458 . . . . . . 7
147146expimpd 588 . . . . . 6
148147reximdv2 2816 . . . . 5
14939, 148sylbird 228 . . . 4
150149ralimdva 2785 . . 3
15131, 150mpd 15 . 2
1524, 19, 26, 151caucvgr 12470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600  wral 2706  wrex 2707  csb 3252   wss 3321  cif 3740   class class class wbr 4213   cmpt 4267   cdm 4879  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  csup 7446  cc 8989  cr 8990  cc0 8991  c1 8992   caddc 8994   cpnf 9118  cxr 9120   clt 9121   cle 9122   cmin 9292  cz 10283  cuz 10489  crp 10613  cioo 10917  cico 10919  cfz 11044  cfl 11202  cabs 12040   crli 12280  csu 12480   cdv 19751 This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  19918 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-cmp 17451  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755
 Copyright terms: Public domain W3C validator