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Theorem dvfsumrlim 19394
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if  x  e.  S  |->  B is a decreasing function with antiderivative  A converging to zero, then the difference between  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) B ( k ) and  A ( x )  =  S. u  e.  ( M [,] x
) B ( u )  _d u converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by  B
( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlim
Dummy variables  y 
e  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10728 . . . 4  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3221 . . 3  |-  S  C_  RR
43a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
5 dvfsum.z . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 dvfsum.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7 dvfsum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
8 dvfsum.md . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
9 dvfsum.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
10 dvfsum.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
11 dvfsum.b1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
12 dvfsum.b2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
13 dvfsum.b3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
14 dvfsum.c . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
15 dvfsumrlim.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
161, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dvfsumrlimf 19388 . . 3  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
17 ax-resscn 8810 . . 3  |-  RR  C_  CC
18 fss 5413 . . 3  |-  ( ( G : S --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : S --> CC )
1916, 17, 18sylancl 643 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
201supeq1i 7216 . . 3  |-  sup ( S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )
21 ressxr 8892 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
2221, 9sseldi 3191 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
239renepnfd 8898 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =/=  +oo )
24 ioopnfsup 10984 . . . 4  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  T  =/=  +oo )  ->  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
2522, 23, 24syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ( T (,)  +oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
2620, 25syl5eq 2340 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
27 dvfsumrlim.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2811, 27rlimmptrcl 12097 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  CC )
2928ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  CC )
3029, 4rlim0 11998 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )
) )
3127, 30mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) )
323a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  S  C_  RR )
33 peano2re 9001 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  RR  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
349, 33syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
35 ifcl 3614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  +  1 )  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
3634, 7, 35syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
3736adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )
38 rexico 11853 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  RR  /\  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  e.  RR )  -> 
( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) ) )
3932, 37, 38syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) ) )
40 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
)  e.  RR  ->  ( c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
) [,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c ) ) )
4136, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) 
<->  ( c  e.  RR  /\  if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c
) ) )
4241simprbda 606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  RR )
439adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  e.  RR )
4443, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( T  +  1 )  e.  RR )
4543ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  <  ( T  +  1 ) )
4641simplbda 607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_  c )
477adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  D  e.  RR )
48 maxle 10535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  RR  /\  ( T  +  1
)  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D )  <_ 
c  <->  ( D  <_ 
c  /\  ( T  +  1 )  <_ 
c ) ) )
4947, 44, 42, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
)  <_  c  <->  ( D  <_  c  /\  ( T  +  1 )  <_ 
c ) ) )
5046, 49mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( D  <_  c  /\  ( T  +  1 )  <_  c ) )
5150simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  ( T  +  1 )  <_  c )
5243, 44, 42, 45, 51ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  <  c )
5322adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  T  e.  RR* )
54 elioopnf 10753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( c  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  T  < 
c ) ) )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  (
c  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  T  < 
c ) ) )
5642, 52, 55mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  ( T (,)  +oo ) )
5756, 1syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  c  e.  S )
5850simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  D  <_  c )
5957, 58jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( if ( D  <_ 
( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) )  ->  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )
6059adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) )  -> 
( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )
61 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  c  e.  S
)
6261adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  e.  S
)
633, 62sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  e.  RR )
6463leidd 9355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  <_  c
)
65 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x  c  <_  c
66 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x abs
67 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x [_ c  /  x ]_ B
6866, 67nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )
69 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x  <
70 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
e
7168, 69, 70nfbr 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e
7265, 71nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e )
73 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  c  ->  (
c  <_  x  <->  c  <_  c ) )
74 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  c  ->  B  =  [_ c  /  x ]_ B )
7574fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  c  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B ) )
7675breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  c  ->  (
( abs `  B
)  <  e  <->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) )
7773, 76imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  c  ->  (
( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  <->  ( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e ) ) )
7872, 77rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  <_  c  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e ) ) )
7962, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  <_  c  ->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) ) )
8064, 79mpid 37 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( abs ` 
[_ c  /  x ]_ B )  <  e
) )
814, 10, 11, 13dvmptrecl 19387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
8281adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
83 dvfsumrlim.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
841, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 83, 15, 27dvfsumrlimge0 19393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
85 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
8682, 84, 85sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
8786expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
8887ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
8988adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
90 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  D  <_  c
)
9190adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  D  <_  c
)
92 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x  D  <_  c
9367nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ x [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo )
9492, 93nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ x
( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) )
95 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  c  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  c ) )
9674eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  c  ->  ( B  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
9795, 96imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  c  ->  (
( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  <->  ( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo )
) ) )
9894, 97rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( D  <_  x  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( D  <_  c  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
9962, 89, 91, 98syl3c 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  (
0 [,)  +oo ) )
100 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B ) )
10199, 100sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B ) )
102 absid 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  0  <_  [_ c  /  x ]_ B )  -> 
( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  =  [_ c  /  x ]_ B )
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  =  [_ c  /  x ]_ B )
104103breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e  <->  [_ c  /  x ]_ B  <  e ) )
1056adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
1067adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  D  e.  RR )
1078adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
1089adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  T  e.  RR )
10910adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  A  e.  RR )
11011adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  B  e.  V )
11112adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  x  e.  Z
)  ->  B  e.  RR )
11213adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( RR  _D  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
113 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  +oo  e.  RR*
114113a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
115 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo )  ->  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )
116115, 83syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo ) )  ->  C  <_  B )
1171163adant1r 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  +oo ) )  ->  C  <_  B )
118843adantr3 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  +oo )
)  ->  0  <_  B )
119118adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x  /\  x  <_  +oo )
)  ->  0  <_  B )
120 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  e.  S
)
121 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  c  <_  y
)
1223, 21sstri 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  S  C_  RR*
123122, 120sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
124 pnfge 10485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  +oo )
125123, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  y  <_  +oo )
1261, 5, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 14, 114, 117, 15, 119, 62, 120, 91, 121, 125dvfsumlem4 19392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B )
12719adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  G : S --> CC )
128 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : S --> CC  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y
)  e.  CC )
129127, 120, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
130 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : S --> CC  /\  c  e.  S )  ->  ( G `  c
)  e.  CC )
131127, 62, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
132129, 131subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) )  e.  CC )
133132abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  e.  RR )
134101simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  [_ c  /  x ]_ B  e.  RR )
135 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  e  e.  RR+ )
136135rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  e  e.  RR )
137 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  e.  RR  /\  [_ c  /  x ]_ B  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B  /\  [_ c  /  x ]_ B  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e
) )
138133, 134, 136, 137syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c ) ) )  <_  [_ c  /  x ]_ B  /\  [_ c  /  x ]_ B  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( G `
 y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e
) )
139126, 138mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( [_ c  /  x ]_ B  < 
e  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) )
140104, 139sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( ( abs `  [_ c  /  x ]_ B )  <  e  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) )
14180, 140syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_ 
y ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) )
142141anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  c  <_  y ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) )
143142expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
c  <_  y  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) )
144143com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  <_  y  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) )
145144ralrimdva 2646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
146145, 61jctild 527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  ( c  e.  S  /\  D  <_  c ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
147146anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
c  e.  S  /\  D  <_  c ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
14860, 147syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  c  e.  ( if ( D  <_  ( T  + 
1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,) 
+oo ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <  e )  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 c ) ) )  <  e ) ) ) )
149148expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  + 
1 ) ,  D
) [,)  +oo )  /\  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e ) )  ->  ( c  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) ) )
150149reximdv2 2665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  ( if ( D  <_  ( T  +  1 ) ,  ( T  +  1 ) ,  D ) [,)  +oo ) A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
15139, 150sylbird 226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e
)  ->  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
152151ralimdva 2634 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. c  e.  RR  A. x  e.  S  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <  e )  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  S  A. y  e.  S  ( c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c )
) )  <  e
) ) )
15331, 152mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. c  e.  S  A. y  e.  S  (
c  <_  y  ->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  c ) ) )  <  e ) )
1544, 19, 26, 153caucvgr 12164 1  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   [_csb 3094    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   ...cfz 10798   |_cfl 10940   abscabs 11735    ~~> r crli 11975   sum_csu 12174    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  19396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
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