MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim3 Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumrlim3 19909
Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 19907 and dvfsumrlim2 19908. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
dvfsumrlim3.1  |-  ( x  =  X  ->  B  =  E )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim3  |-  ( ph  ->  ( G : S --> RR  /\  G  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X )  -  L ) )  <_  E ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D   
x, E    ph, k, x    S, k, x    k, M, x    x, T    x, Z    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    E( k)    G( x, k)    L( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlim3
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . 3  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 dvfsum.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 dvfsum.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 dvfsum.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5 dvfsum.md . . 3  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
6 dvfsum.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7 dvfsum.a . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
8 dvfsum.b1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
9 dvfsum.b2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
10 dvfsum.b3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
11 dvfsum.c . . 3  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
12 dvfsumrlim.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dvfsumrlimf 19901 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
14 dvfsumrlim.l . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
15 dvfsumrlim.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15dvfsumrlim 19907 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
173adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  M  e.  ZZ )
184adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  D  e.  RR )
195adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  M  <_  ( D  + 
1 ) )
206adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  T  e.  RR )
217adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
228adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
239adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
2410adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  -> 
( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
25143adant1r 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k ) )  ->  C  <_  B )
2615adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  -> 
( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
27 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  X  e.  S )
28 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  D  <_  X )
291, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28dvfsumrlim2 19908 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  -> 
( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
3027adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  ->  X  e.  S )
31 nfcvd 2572 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  F/_ x E )
32 dvfsumrlim3.1 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  B  =  E )
3331, 32csbiegf 3283 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  [_ X  /  x ]_ B  =  E )
3430, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  ->  [_ X  /  x ]_ B  =  E
)
3529, 34breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  -> 
( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
3635exp42 595 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  <_  X  ->  ( X  e.  S  ->  ( G  ~~> r  L  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
) ) )
3736com24 83 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  ~~> r  L  ->  ( X  e.  S  ->  ( D  <_  X  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
) ) )
38373impd 1167 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
)
3913, 16, 383jca 1134 1  |-  ( ph  ->  ( G : S --> RR  /\  G  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X )  -  L ) )  <_  E ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   [_csb 3243   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    +oocpnf 9109    <_ cle 9113    - cmin 9283   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   (,)cioo 10908   ...cfz 11035   |_cfl 11193   abscabs 12031    ~~> r crli 12271   sum_csu 12471    _D cdv 19742
This theorem is referenced by:  divsqrsumlem  20810  logdivsum  21219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746
  Copyright terms: Public domain W3C validator