MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim3 Unicode version

Theorem dvfsumrlim3 19785
Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 19783 and dvfsumrlim2 19784. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
dvfsumrlim3.1  |-  ( x  =  X  ->  B  =  E )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim3  |-  ( ph  ->  ( G : S --> RR  /\  G  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X )  -  L ) )  <_  E ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D   
x, E    ph, k, x    S, k, x    k, M, x    x, T    x, Z    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    E( k)    G( x, k)    L( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlim3
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . 3  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 dvfsum.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 dvfsum.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 dvfsum.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5 dvfsum.md . . 3  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
6 dvfsum.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7 dvfsum.a . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
8 dvfsum.b1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
9 dvfsum.b2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
10 dvfsum.b3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
11 dvfsum.c . . 3  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
12 dvfsumrlim.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dvfsumrlimf 19777 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
14 dvfsumrlim.l . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
15 dvfsumrlim.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15dvfsumrlim 19783 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~> r  )
173adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  M  e.  ZZ )
184adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  D  e.  RR )
195adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  M  <_  ( D  + 
1 ) )
206adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  T  e.  RR )
217adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
228adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
239adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
2410adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  -> 
( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
25143adant1r 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S
)  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_ 
k ) )  ->  C  <_  B )
2615adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  -> 
( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
27 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  X  e.  S )
28 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  ->  D  <_  X )
291, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28dvfsumrlim2 19784 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  -> 
( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  [_ X  /  x ]_ B )
3027adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  ->  X  e.  S )
31 nfcvd 2525 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  F/_ x E )
32 dvfsumrlim3.1 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  B  =  E )
3331, 32csbiegf 3235 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  [_ X  /  x ]_ B  =  E )
3430, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  ->  [_ X  /  x ]_ B  =  E
)
3529, 34breqtrd 4178 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( D  <_  X  /\  X  e.  S ) )  /\  G 
~~> r  L )  -> 
( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
3635exp42 595 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  <_  X  ->  ( X  e.  S  ->  ( G  ~~> r  L  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
) ) )
3736com24 83 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  ~~> r  L  ->  ( X  e.  S  ->  ( D  <_  X  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
) ) )
38373impd 1167 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  (
( G `  X
)  -  L ) )  <_  E )
)
3913, 16, 383jca 1134 1  |-  ( ph  ->  ( G : S --> RR  /\  G  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( G  ~~> r  L  /\  X  e.  S  /\  D  <_  X )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X )  -  L ) )  <_  E ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   [_csb 3195   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   dom cdm 4819   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    +oocpnf 9051    <_ cle 9055    - cmin 9224   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   (,)cioo 10849   ...cfz 10976   |_cfl 11129   abscabs 11967    ~~> r crli 12207   sum_csu 12407    _D cdv 19618
This theorem is referenced by:  divsqrsumlem  20686  logdivsum  21095
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622
  Copyright terms: Public domain W3C validator