MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimf Structured version   Unicode version

Theorem dvfsumrlimf 19909
Description: Lemma for dvfsumrlim 19915. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlimf.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimf  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlimf
StepHypRef Expression
1 fzfid 11312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 dvfsum.b2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
32ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A. x  e.  Z  B  e.  RR )
5 elfzuz 11055 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6 dvfsum.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleqr 2527 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) )  ->  k  e.  Z )
8 dvfsum.c . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
98eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
109rspccva 3051 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  RR  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  RR )
114, 7, 10syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
121, 11fsumrecl 12528 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  e.  RR )
13 dvfsum.a . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
1412, 13resubcld 9465 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  e.  RR )
15 dvfsumrlimf.g . 2  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
1614, 15fmptd 5893 1  |-  ( ph  ->  G : S --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    +oocpnf 9117    <_ cle 9121    - cmin 9291   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   (,)cioo 10916   ...cfz 11043   |_cfl 11201   sum_csu 12479    _D cdv 19750
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  19915  dvfsumrlim2  19916  dvfsumrlim3  19917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator