MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimge0 Unicode version

Theorem dvfsumrlimge0 19781
Description: Lemma for dvfsumrlim 19782. Satisfy the assumption of dvfsumlem4 19780. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimge0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlimge0
Dummy variables  z  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . 6  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10904 . . . . . 6  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3321 . . . . 5  |-  S  C_  RR
4 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  S )
53, 4sseldi 3289 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
65rexrd 9067 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR* )
75renepnfd 9068 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  =/=  +oo )
8 icopnfsup 11173 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/=  +oo )  ->  sup ( ( x [,) 
+oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
96, 7, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  sup ( ( x [,) 
+oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
10 dvfsum.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1110rexrd 9067 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
1211adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  T  e.  RR* )
134, 1syl6eleq 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  ( T (,)  +oo ) )
14 elioopnf 10930 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  T  < 
x ) ) )
1512, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  T  <  x ) ) )
1613, 15mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  T  <  x ) )
1716simprd 450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  T  <  x )
18 df-ioo 10852 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
19 df-ico 10854 . . . . . 6  |-  [,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <_  w  /\  w  <  v ) } )
20 xrltletr 10679 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( T  <  x  /\  x  <_  z )  ->  T  <  z
) )
2118, 19, 20ixxss1 10866 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  T  <  x )  ->  (
x [,)  +oo )  C_  ( T (,)  +oo )
)
2212, 17, 21syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x [,)  +oo )  C_  ( T (,)  +oo ) )
2322, 1syl6sseqr 3338 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x [,)  +oo )  C_  S )
24 dvfsum.c . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
2524cbvmptv 4241 . . . 4  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( k  e.  S  |->  C )
26 dvfsumrlim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2726adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2825, 27syl5eqbrr 4187 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  S  |->  C )  ~~> r  0 )
2923, 28rlimres2 12282 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,)  +oo )  |->  C )  ~~> r  0 )
303a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  S  C_  RR )
313a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
32 dvfsum.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
33 dvfsum.b1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
34 dvfsum.b3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 19775 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
3635adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
3736recnd 9047 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  CC )
38 rlimconst 12265 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
k  e.  S  |->  B )  ~~> r  B )
3930, 37, 38syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  S  |->  B )  ~~> r  B
)
4023, 39rlimres2 12282 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,)  +oo )  |->  B )  ~~> r  B
)
4123sselda 3291 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  k  e.  S )
4235ralrimiva 2732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
4342adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
4424eleq1d 2453 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
4544rspccva 2994 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  S  B  e.  RR  /\  k  e.  S )  ->  C  e.  RR )
4643, 45sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  S
)  ->  C  e.  RR )
4741, 46syldan 457 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  C  e.  RR )
4836adantr 452 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  B  e.  RR )
49 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  ph )
50 simplrl 737 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  x  e.  S )
51 simplrr 738 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  D  <_  x )
52 elicopnf 10932 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
k  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  x  <_ 
k ) ) )
535, 52syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  x  <_  k ) ) )
5453simplbda 608 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  x  <_  k )
55 dvfsumrlim.l . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
5649, 50, 41, 51, 54, 55syl122anc 1193 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  C  <_  B )
579, 29, 40, 47, 48, 56rlimle 12368 1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649    C_ wss 3263   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   supcsup 7380   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    +oocpnf 9050   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   (,)cioo 10848   [,)cico 10850   ...cfz 10975   |_cfl 11128    ~~> r crli 12206   sum_csu 12406    _D cdv 19617
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  19782  dvfsumrlim2  19783
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-rlim 12210  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621
  Copyright terms: Public domain W3C validator