MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimge0 Unicode version

Theorem dvfsumrlimge0 19377
Description: Lemma for dvfsumrlim 19378. Satisfy the assumption of dvfsumlem4 19376. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimge0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlimge0
Dummy variables  z  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . 6  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10712 . . . . . 6  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3208 . . . . 5  |-  S  C_  RR
4 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  S )
53, 4sseldi 3178 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
65rexrd 8881 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR* )
75renepnfd 8882 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  =/=  +oo )
8 icopnfsup 10969 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/=  +oo )  ->  sup ( ( x [,) 
+oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
96, 7, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  sup ( ( x [,) 
+oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
10 dvfsum.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1110rexrd 8881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
1211adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  T  e.  RR* )
134, 1syl6eleq 2373 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  ( T (,)  +oo ) )
14 elioopnf 10737 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  T  < 
x ) ) )
1512, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  T  <  x ) ) )
1613, 15mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  T  <  x ) )
1716simprd 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  T  <  x )
18 df-ioo 10660 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
19 df-ico 10662 . . . . . 6  |-  [,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <_  w  /\  w  <  v ) } )
20 xrltletr 10488 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( T  <  x  /\  x  <_  z )  ->  T  <  z
) )
2118, 19, 20ixxss1 10674 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  T  <  x )  ->  (
x [,)  +oo )  C_  ( T (,)  +oo )
)
2212, 17, 21syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x [,)  +oo )  C_  ( T (,)  +oo ) )
2322, 1syl6sseqr 3225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x [,)  +oo )  C_  S )
24 dvfsum.c . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
2524cbvmptv 4111 . . . 4  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( k  e.  S  |->  C )
26 dvfsumrlim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2726adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2825, 27syl5eqbrr 4057 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  S  |->  C )  ~~> r  0 )
2923, 28rlimres2 12035 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,)  +oo )  |->  C )  ~~> r  0 )
303a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  S  C_  RR )
313a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
32 dvfsum.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
33 dvfsum.b1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
34 dvfsum.b3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 19371 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
3635adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
3736recnd 8861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  CC )
38 rlimconst 12018 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
k  e.  S  |->  B )  ~~> r  B )
3930, 37, 38syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  S  |->  B )  ~~> r  B
)
4023, 39rlimres2 12035 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,)  +oo )  |->  B )  ~~> r  B
)
4123sselda 3180 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  k  e.  S )
4235ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
4342adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
4424eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
4544rspccva 2883 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  S  B  e.  RR  /\  k  e.  S )  ->  C  e.  RR )
4643, 45sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  S
)  ->  C  e.  RR )
4741, 46syldan 456 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  C  e.  RR )
4836adantr 451 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  B  e.  RR )
49 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  ph )
50 simplrl 736 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  x  e.  S )
51 simplrr 737 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  D  <_  x )
52 elicopnf 10739 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
k  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  x  <_ 
k ) ) )
535, 52syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  x  <_  k ) ) )
5453simplbda 607 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  x  <_  k )
55 dvfsumrlim.l . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
5649, 50, 41, 51, 54, 55syl122anc 1191 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  C  <_  B )
579, 29, 40, 47, 48, 56rlimle 12121 1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   ...cfz 10782   |_cfl 10924    ~~> r crli 11959   sum_csu 12158    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  19378  dvfsumrlim2  19379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rlim 11963  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator