MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimge0 Unicode version

Theorem dvfsumrlimge0 19393
Description: Lemma for dvfsumrlim 19394. Satisfy the assumption of dvfsumlem4 19392. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsumrlim.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
dvfsumrlim.g  |-  G  =  ( x  e.  S  |->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) )
dvfsumrlim.k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimge0  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    G( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlimge0
Dummy variables  z  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . 6  |-  S  =  ( T (,)  +oo )
2 ioossre 10728 . . . . . 6  |-  ( T (,)  +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3221 . . . . 5  |-  S  C_  RR
4 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  S )
53, 4sseldi 3191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
65rexrd 8897 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR* )
75renepnfd 8898 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  =/=  +oo )
8 icopnfsup 10985 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/=  +oo )  ->  sup ( ( x [,) 
+oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
96, 7, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  sup ( ( x [,) 
+oo ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
10 dvfsum.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1110rexrd 8897 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR* )
1211adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  T  e.  RR* )
134, 1syl6eleq 2386 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  ( T (,)  +oo ) )
14 elioopnf 10753 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  T  < 
x ) ) )
1512, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  ( T (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  T  <  x ) ) )
1613, 15mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  T  <  x ) )
1716simprd 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  T  <  x )
18 df-ioo 10676 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
19 df-ico 10678 . . . . . 6  |-  [,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <_  w  /\  w  <  v ) } )
20 xrltletr 10504 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( T  <  x  /\  x  <_  z )  ->  T  <  z
) )
2118, 19, 20ixxss1 10690 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  RR*  /\  T  <  x )  ->  (
x [,)  +oo )  C_  ( T (,)  +oo )
)
2212, 17, 21syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x [,)  +oo )  C_  ( T (,)  +oo ) )
2322, 1syl6sseqr 3238 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x [,)  +oo )  C_  S )
24 dvfsum.c . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
2524cbvmptv 4127 . . . 4  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( k  e.  S  |->  C )
26 dvfsumrlim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2726adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  e.  S  |->  B )  ~~> r  0 )
2825, 27syl5eqbrr 4073 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  S  |->  C )  ~~> r  0 )
2923, 28rlimres2 12051 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,)  +oo )  |->  C )  ~~> r  0 )
303a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  S  C_  RR )
313a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
32 dvfsum.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
33 dvfsum.b1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
34 dvfsum.b3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
3531, 32, 33, 34dvmptrecl 19387 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
3635adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
3736recnd 8877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  B  e.  CC )
38 rlimconst 12034 . . . 4  |-  ( ( S  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
k  e.  S  |->  B )  ~~> r  B )
3930, 37, 38syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  S  |->  B )  ~~> r  B
)
4023, 39rlimres2 12051 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,)  +oo )  |->  B )  ~~> r  B
)
4123sselda 3193 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  k  e.  S )
4235ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
4342adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  ->  A. x  e.  S  B  e.  RR )
4424eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
4544rspccva 2896 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  S  B  e.  RR  /\  k  e.  S )  ->  C  e.  RR )
4643, 45sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  S
)  ->  C  e.  RR )
4741, 46syldan 456 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  C  e.  RR )
4836adantr 451 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  B  e.  RR )
49 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  ph )
50 simplrl 736 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  x  e.  S )
51 simplrr 737 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  D  <_  x )
52 elicopnf 10755 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
k  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  x  <_ 
k ) ) )
535, 52syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( x [,)  +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  x  <_  k ) ) )
5453simplbda 607 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  x  <_  k )
55 dvfsumrlim.l . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k ) )  ->  C  <_  B )
5649, 50, 41, 51, 54, 55syl122anc 1191 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  /\  k  e.  ( x [,)  +oo )
)  ->  C  <_  B )
579, 29, 40, 47, 48, 56rlimle 12137 1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   ...cfz 10798   |_cfl 10940    ~~> r crli 11975   sum_csu 12174    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  19394  dvfsumrlim2  19395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rlim 11979  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator