MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvge0 Unicode version

Theorem dvge0 19851
Description: A function on a closed interval with nonnegative derivative is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dvgt0.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dvgt0.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
dvge0.d  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> ( 0 [,)  +oo )
)
dvge0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
dvge0.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
dvge0.l  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
Assertion
Ref Expression
dvge0  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  <_  ( F `  Y ) )

Proof of Theorem dvge0
StepHypRef Expression
1 dvge0.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
2 dvge0.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
3 dvgt0.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 dvgt0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 dvgt0.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
6 dvge0.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> ( 0 [,)  +oo )
)
73, 4, 5, 6dvgt0lem1 19847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  ( A [,] B )  /\  Y  e.  ( A [,] B
) ) )  /\  X  <  Y )  -> 
( ( ( F `
 Y )  -  ( F `  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
87exp31 588 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( A [,] B
)  /\  Y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( X  <  Y  ->  ( (
( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
91, 2, 8mp2and 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  ( ( ( F `
 Y )  -  ( F `  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ) )
109imp 419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11 elrege0 10971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( F `
 Y )  -  ( F `  X ) )  /  ( Y  -  X ) ) ) )
1211simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  ( ( ( F `
 Y )  -  ( F `  X ) )  /  ( Y  -  X ) ) )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( ( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) )
14 cncff 18884 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
155, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
1615, 2ffvelrnd 5838 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  e.  RR )
1715, 1ffvelrnd 5838 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
1816, 17resubcld 9429 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  e.  RR )
1918adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  Y )  -  ( F `  X ) )  e.  RR )
20 iccssre 10956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
213, 4, 20syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
2221, 2sseldd 3317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2321, 1sseldd 3317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
2422, 23resubcld 9429 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
2524adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  RR )
2623, 22posdifd 9577 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  <->  0  <  ( Y  -  X ) ) )
2726biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( Y  -  X ) )
28 ge0div 9841 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR  /\  0  <  ( Y  -  X ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) )  <->  0  <_  ( (
( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) ) ) )
2919, 25, 27, 28syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 Y )  -  ( F `  X ) )  <->  0  <_  (
( ( F `  Y )  -  ( F `  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) ) )
3013, 29mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( ( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) ) )
3130ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  0  <_  ( ( F `  Y )  -  ( F `  X ) ) ) )
3216, 17subge0d 9580 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 X ) )  <-> 
( F `  X
)  <_  ( F `  Y ) ) )
3331, 32sylibd 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  ( F `  X
)  <_  ( F `  Y ) ) )
3416leidd 9557 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  <_  ( F `  Y ) )
35 fveq2 5695 . . . 4  |-  ( X  =  Y  ->  ( F `  X )  =  ( F `  Y ) )
3635breq1d 4190 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( F `  X
)  <_  ( F `  Y )  <->  ( F `  Y )  <_  ( F `  Y )
) )
3734, 36syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  ->  ( F `  X )  <_  ( F `  Y )
) )
38 dvge0.l . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
3923, 22leloed 9180 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  <_  Y  <->  ( X  <  Y  \/  X  =  Y )
) )
4038, 39mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  \/  X  =  Y
) )
4133, 37, 40mpjaod 371 1  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  <_  ( F `  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   class class class wbr 4180   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954    +oocpnf 9081    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255    / cdiv 9641   (,)cioo 10880   [,)cico 10882   [,]cicc 10883   -cn->ccncf 18867    _D cdv 19711
This theorem is referenced by:  dvle  19852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-cmp 17412  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715
  Copyright terms: Public domain W3C validator