Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh2dimatN Structured version   Unicode version

Theorem dvh2dimatN 32139
Description: Given an atom, there exists another. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh4dimat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh4dimat.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh2dimat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dvh2dimat.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh2dimat.p  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
Assertion
Ref Expression
dvh2dimatN  |-  ( ph  ->  E. s  e.  A  s  =/=  P )
Distinct variable groups:    A, s    K, s    P, s    W, s    ph, s    U, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem dvh2dimatN
StepHypRef Expression
1 dvh4dimat.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh4dimat.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 eqid 2435 . . 3  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
4 dvh2dimat.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
5 dvh2dimat.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 dvh2dimat.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
71, 2, 3, 4, 5, 6, 6dvh3dimatN 32138 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  A  -.  s  C_  ( P ( LSSum `  U ) P ) )
81, 2, 5dvhlmod 31809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
9 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
109, 4, 8, 6lsatlssel 29696 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( LSubSp `  U ) )
119lsssubg 16023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  P  e.  ( LSubSp `  U )
)  ->  P  e.  (SubGrp `  U ) )
128, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  (SubGrp `  U ) )
133lsmidm 15286 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  (SubGrp `  U
)  ->  ( P
( LSSum `  U ) P )  =  P )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ( LSSum `  U ) P )  =  P )
1514sseq2d 3368 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  C_  ( P ( LSSum `  U
) P )  <->  s  C_  P ) )
1615adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  C_  ( P
( LSSum `  U ) P )  <->  s  C_  P ) )
171, 2, 5dvhlvec 31808 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
1817adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  U  e.  LVec )
19 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
206adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  P  e.  A )
214, 18, 19, 20lsatcmp 29702 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  C_  P  <->  s  =  P ) )
2216, 21bitrd 245 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  C_  ( P
( LSSum `  U ) P )  <->  s  =  P ) )
2322necon3bbid 2632 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( -.  s  C_  ( P ( LSSum `  U ) P )  <->  s  =/=  P ) )
2423rexbidva 2714 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  A  -.  s  C_  ( P ( LSSum `  U
) P )  <->  E. s  e.  A  s  =/=  P ) )
257, 24mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  E. s  e.  A  s  =/=  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073  SubGrpcsubg 14928   LSSumclsm 15258   LModclmod 15940   LSubSpclss 15998   LVecclvec 16164  LSAtomsclsa 29673   HLchlt 30049   LHypclh 30682   DVecHcdvh 31777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-0g 13717  df-poset 14393  df-plt 14405  df-lub 14421  df-glb 14422  df-join 14423  df-meet 14424  df-p0 14458  df-p1 14459  df-lat 14465  df-clat 14527  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-subg 14931  df-cntz 15106  df-lsm 15260  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-dvr 15778  df-drng 15827  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lsp 16038  df-lvec 16165  df-lsatoms 29675  df-oposet 29875  df-ol 29877  df-oml 29878  df-covers 29965  df-ats 29966  df-atl 29997  df-cvlat 30021  df-hlat 30050  df-llines 30196  df-lplanes 30197  df-lvols 30198  df-lines 30199  df-psubsp 30201  df-pmap 30202  df-padd 30494  df-lhyp 30686  df-laut 30687  df-ldil 30802  df-ltrn 30803  df-trl 30857  df-tgrp 31441  df-tendo 31453  df-edring 31455  df-dveca 31701  df-disoa 31728  df-dvech 31778  df-dib 31838  df-dic 31872  df-dih 31928  df-doch 32047  df-djh 32094
  Copyright terms: Public domain W3C validator