Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh3dim2 Unicode version

Theorem dvh3dim2 31565
Description: There is a vector that is outside of 2 spans with a common vector. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh3dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
dvh3dim2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh3dim2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    z, Y    z, Z    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh3dim2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvh3dim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 dvh3dim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 dvh3dim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 dvh3dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
7 dvh3dim2.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 31563 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
98adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
10 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
111, 2, 5dvhlmod 31227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
1211ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  /\  z  e.  V )  ->  U  e.  LMod )
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 15983 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1413ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  /\  z  e.  V )  ->  ( N `  { X ,  Z } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
153, 4, 11, 6, 7lspprid1 16002 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X ,  Z } ) )
1615ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  /\  z  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )
17 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  /\  z  e.  V )  ->  Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )
1810, 4, 12, 14, 16, 17lspprss 15997 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  /\  z  e.  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { X ,  Z } ) )
1918ssneld 3295 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
2019ancrd 538 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  -> 
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) ) )
2120reximdva 2763 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z }
)  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) ) )
229, 21mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
23 dvh3dim.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
241, 2, 3, 4, 5, 6, 23dvh3dim 31563 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2524adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  ->  E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
26 simpl1l 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  ph )
2726, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  U  e.  LMod )
28 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  w  e.  V
)
2926, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  Y  e.  V
)
30 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
313, 30lmodvacl 15893 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  V )
3227, 28, 29, 31syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  V
)
333, 10, 4, 11, 6, 23lspprcl 15983 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
3426, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
353, 4, 11, 6, 23lspprid2 16003 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
3626, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
37 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
383, 30, 10, 27, 34, 36, 28, 37lssvancl2 15951 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  -.  ( w
( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
3926, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  ( N `  { X ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
40 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
41 simpl1r 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
423, 30, 10, 27, 39, 40, 29, 41lssvancl1 15950 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  -.  ( w
( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
43 eleq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  ( w
( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
4443notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
45 eleq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Z } )  <->  ( w
( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
4645notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )
4744, 46anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  <->  ( -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) ) )
4847rspcev 2997 . . . . . 6  |-  ( ( ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  V  /\  ( -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
4932, 38, 42, 48syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
50 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  ->  w  e.  V )
51 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
52 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
53 eleq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
5453notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
55 eleq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Z } )  <->  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
5655notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) ) )
5754, 56anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  <->  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) ) )
5857rspcev 2997 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
5950, 51, 52, 58syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
6049, 59pm2.61dan 767 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
6160rexlimdv3a 2777 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  ->  ( E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) ) )
6225, 61mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
6322, 62pm2.61dan 767 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   {cpr 3760   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   LModclmod 15879   LSubSpclss 15937   LSpanclspn 15976   HLchlt 29467   LHypclh 30100   DVecHcdvh 31195
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  31566  mapdh8ad  31896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-undef 6481  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-0g 13656  df-poset 14332  df-plt 14344  df-lub 14360  df-glb 14361  df-join 14362  df-meet 14363  df-p0 14397  df-p1 14398  df-lat 14404  df-clat 14466  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-subg 14870  df-cntz 15045  df-lsm 15199  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676  df-invr 15706  df-dvr 15717  df-drng 15766  df-lmod 15881  df-lss 15938  df-lsp 15977  df-lvec 16104  df-lsatoms 29093  df-oposet 29293  df-ol 29295  df-oml 29296  df-covers 29383  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468  df-llines 29614  df-lplanes 29615  df-lvols 29616  df-lines 29617  df-psubsp 29619  df-pmap 29620  df-padd 29912  df-lhyp 30104  df-laut 30105  df-ldil 30220  df-ltrn 30221  df-trl 30275  df-tgrp 30859  df-tendo 30871  df-edring 30873  df-dveca 31119  df-disoa 31146  df-dvech 31196  df-dib 31256  df-dic 31290  df-dih 31346  df-doch 31465  df-djh 31512
  Copyright terms: Public domain W3C validator