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Theorem dvh3dim3N 31639
Description: There is a vector that is outside of 2 spans. TODO: decide to use either this or dvh3dim2 31638 everywhere. If this one is needed, make dvh3dim2 31638 into a lemma. (Contributed by NM, 21-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh3dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
dvh3dim2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
dvh3dim3.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh3dim3N  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    z, Y    z, Z    ph, z    z, T
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh3dim3N
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
2 dvh3dim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3 dvh3dim.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dvh3dim.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dvh3dim.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 31300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
8 dvh3dim.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
9 dvh3dim2.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
10 dvh3dim3.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
118, 1, 2, 6, 9, 10lspprcl 15735 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1211adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Z ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
13 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
148, 2, 6, 9, 10lspprid2 15755 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { Z ,  T } ) )
1514adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
161, 2, 7, 12, 13, 15lspprss 15749 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  C_  ( N `  { Z ,  T } ) )
17 sspss 3275 . . . 4  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  C_  ( N `  { Z ,  T } )  <->  ( ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } )  \/  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) ) )
1816, 17sylib 188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( ( N `
 { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } )  \/  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) ) )
193, 4, 5dvhlvec 31299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2019adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
21 dvh3dim.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
228, 1, 2, 6, 21, 10lspprcl 15735 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
2322adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
249adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Z  e.  V
)
2510adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  V
)
26 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )
278, 1, 2, 20, 23, 24, 25, 26lspprat 15906 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. w  e.  V  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  {
w } ) )
2853ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  w  e.  V )
30 dvh3dim.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
31303ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  X  e.  V )
3293ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  Z  e.  V )
333, 4, 8, 2, 28, 29, 31, 32dvh3dim2 31638 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { w ,  Z } ) ) )
3463ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  U  e.  LMod )
351lsssssubg 15715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( LSubSp `
 U )  C_  (SubGrp `  U ) )
378, 1, 2lspsncl 15734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
386, 30, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
39383ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4036, 39sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  U ) )
418, 1, 2lspsncl 15734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  w  e.  V )  ->  ( N `  { w } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4234, 29, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4336, 42sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w } )  e.  (SubGrp `  U ) )
44 prssi 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  { Y ,  T }  C_  V )
4521, 10, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { Y ,  T }  C_  V )
46 snsspr1 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { Y }  C_  { Y ,  T }
4746a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  { Y ,  T }
)
488, 2lspss 15741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { Y ,  T }  C_  V  /\  { Y }  C_  { Y ,  T } )  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
496, 45, 47, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
50493ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
51 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  {
w } ) )
5250, 51sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { w } ) )
53 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
5453lsmless2 14971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { w } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { w } ) )  -> 
( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { Y } ) )  C_  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
5540, 43, 52, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) )  C_  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { w }
) ) )
568, 2, 53, 6, 30, 21lsmpr 15842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) )
57563ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { Y } ) ) )
58 prcom 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { w ,  X }  =  { X ,  w }
5958fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 { w ,  X } )  =  ( N `  { X ,  w }
)
608, 2, 53, 34, 31, 29lsmpr 15842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X ,  w } )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
6159, 60syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w ,  X } )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
6255, 57, 613sstr4d 3221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { w ,  X } ) )
6362sseld 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  ->  z  e.  ( N `  {
w ,  X }
) ) )
6463con3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  X } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
658, 1, 2lspsncl 15734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
666, 9, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
67663ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
6836, 67sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  U ) )
69 snsspr2 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { T }  C_  { Y ,  T }
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { T }  C_  { Y ,  T }
)
718, 2lspss 15741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { Y ,  T }  C_  V  /\  { T }  C_  { Y ,  T } )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
726, 45, 70, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
73723ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
7473, 51sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { w } ) )
7553lsmless2 14971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { w } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { w } ) )  -> 
( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { T } ) )  C_  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
7668, 43, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
( N `  { Z } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { T }
) )  C_  (
( N `  { Z } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { w }
) ) )
778, 2, 53, 6, 9, 10lsmpr 15842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  T }
)  =  ( ( N `  { Z } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { T }
) ) )
78773ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z ,  T } )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { T } ) ) )
79 prcom 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { w ,  Z }  =  { Z ,  w }
8079fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 { w ,  Z } )  =  ( N `  { Z ,  w }
)
818, 2, 53, 34, 32, 29lsmpr 15842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z ,  w } )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
8280, 81syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w ,  Z } )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
8376, 78, 823sstr4d 3221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z ,  T } )  C_  ( N `  { w ,  Z } ) )
8483sseld 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z ,  T } )  ->  z  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) ) )
8584con3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  Z } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
8664, 85anim12d 546 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  {
w ,  X }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
8786reximdv 2654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { w ,  Z } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
8833, 87mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
8988rexlimdv3a 2669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
)  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
9089adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( E. w  e.  V  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { w } )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
9127, 90mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
923, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 31638 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
9392adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
94 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) )
95 prcom 3705 . . . . . . . . . . . 12  |-  { Y ,  X }  =  { X ,  Y }
9695fveq2i 5528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 { Y ,  X } )  =  ( N `  { X ,  Y } )
9796eleq2i 2347 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
9897notbii 287 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  ( N `
 { Y ,  X } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
9998a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
100 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( z  e.  ( N `  { Y ,  T }
)  <->  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
101100notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )
10299, 101anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  <-> 
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) ) )
10394, 102syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( ( -.  z  e.  ( N `
 { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  <->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
104103rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  <->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
10593, 104mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
10691, 105jaodan 760 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } )  \/  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
10718, 106syldan 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
1083, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 31638 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
109108adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  ->  E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
110 simpl1l 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ph )
111110, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
112 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  w  e.  V )
113110, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  V )
114 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
1158, 114lmodvacl 15641 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  V )
116111, 112, 113, 115syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  -> 
( w ( +g  `  U ) Y )  e.  V )
1178, 1, 2, 6, 30, 21lspprcl 15735 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
118110, 117syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  -> 
( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1198, 2, 6, 30, 21lspprid2 15755 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
120110, 119syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
121 simpl3l 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
12296eleq2i 2347 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  <->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
123121, 122sylnib 295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
1248, 114, 1, 111, 118, 120, 112, 123lssvancl2 15703 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
125110, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  -> 
( N `  { Z ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
126 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
127 simpl1r 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
1288, 114, 1, 111, 125, 126, 113, 127lssvancl1 15702 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )
129 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  ( w
( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
130129notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
131 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z ,  T } )  <->  ( w
( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
132131notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } )  <->  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )
133130, 132anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  <->  ( -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) ) )
134133rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  V  /\  ( -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
135116, 124, 128, 134syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
136 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  w  e.  V
)
137 simpl3l 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
138137, 122sylnib 295 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
139 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
140 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
141140notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
142 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z ,  T } )  <->  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
143142notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )
144141, 143anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  <->  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
145144rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
146136, 138, 139, 145syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
147135, 146pm2.61dan 766 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
148147rexlimdv3a 2669 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  ->  ( E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
149109, 148mpd 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
150107, 149pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152    C. wpss 3153   {csn 3640   {cpr 3641   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  SubGrpcsubg 14615   LSSumclsm 14945   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585
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