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Theorem dvh3dim3N 32261
Description: There is a vector that is outside of 2 spans. TODO: decide to use either this or dvh3dim2 32260 everywhere. If this one is needed, make dvh3dim2 32260 into a lemma. (Contributed by NM, 21-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh3dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
dvh3dim2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
dvh3dim3.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh3dim3N  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    z, Y    z, Z    ph, z    z, T
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh3dim3N
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
2 dvh3dim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3 dvh3dim.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dvh3dim.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dvh3dim.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 31922 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
8 dvh3dim.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
9 dvh3dim2.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
10 dvh3dim3.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
118, 1, 2, 6, 9, 10lspprcl 15751 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1211adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Z ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
13 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
148, 2, 6, 9, 10lspprid2 15771 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { Z ,  T } ) )
1514adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
161, 2, 7, 12, 13, 15lspprss 15765 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  C_  ( N `  { Z ,  T } ) )
17 sspss 3288 . . . 4  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  C_  ( N `  { Z ,  T } )  <->  ( ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } )  \/  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) ) )
1816, 17sylib 188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( ( N `
 { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } )  \/  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) ) )
193, 4, 5dvhlvec 31921 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2019adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
21 dvh3dim.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
228, 1, 2, 6, 21, 10lspprcl 15751 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
2322adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
249adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Z  e.  V
)
2510adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  V
)
26 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )
278, 1, 2, 20, 23, 24, 25, 26lspprat 15922 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. w  e.  V  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  {
w } ) )
2853ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  w  e.  V )
30 dvh3dim.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
31303ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  X  e.  V )
3293ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  Z  e.  V )
333, 4, 8, 2, 28, 29, 31, 32dvh3dim2 32260 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { w ,  Z } ) ) )
3463ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  U  e.  LMod )
351lsssssubg 15731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( LSubSp `
 U )  C_  (SubGrp `  U ) )
378, 1, 2lspsncl 15750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
386, 30, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
39383ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4036, 39sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  U ) )
418, 1, 2lspsncl 15750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  w  e.  V )  ->  ( N `  { w } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4234, 29, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4336, 42sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w } )  e.  (SubGrp `  U ) )
44 prssi 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y  e.  V  /\  T  e.  V )  ->  { Y ,  T }  C_  V )
4521, 10, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { Y ,  T }  C_  V )
46 snsspr1 3780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { Y }  C_  { Y ,  T }
4746a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  { Y ,  T }
)
488, 2lspss 15757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { Y ,  T }  C_  V  /\  { Y }  C_  { Y ,  T } )  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
496, 45, 47, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
50493ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
51 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  {
w } ) )
5250, 51sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { w } ) )
53 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( LSSum `  U )  =  (
LSSum `  U )
5453lsmless2 14987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { w } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { w } ) )  -> 
( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { Y } ) )  C_  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
5540, 43, 52, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) )  C_  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { w }
) ) )
568, 2, 53, 6, 30, 21lsmpr 15858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { Y }
) ) )
57563ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { Y } ) ) )
58 prcom 3718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { w ,  X }  =  { X ,  w }
5958fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 { w ,  X } )  =  ( N `  { X ,  w }
)
608, 2, 53, 34, 31, 29lsmpr 15858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X ,  w } )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
6159, 60syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w ,  X } )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
6255, 57, 613sstr4d 3234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { w ,  X } ) )
6362sseld 3192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  ->  z  e.  ( N `  {
w ,  X }
) ) )
6463con3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  X } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
658, 1, 2lspsncl 15750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
666, 9, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
67663ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
6836, 67sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  U ) )
69 snsspr2 3781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { T }  C_  { Y ,  T }
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { T }  C_  { Y ,  T }
)
718, 2lspss 15757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { Y ,  T }  C_  V  /\  { T }  C_  { Y ,  T } )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
726, 45, 70, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
73723ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { Y ,  T } ) )
7473, 51sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { w } ) )
7553lsmless2 14987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { w } )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { w } ) )  -> 
( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { T } ) )  C_  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
7668, 43, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
( N `  { Z } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { T }
) )  C_  (
( N `  { Z } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { w }
) ) )
778, 2, 53, 6, 9, 10lsmpr 15858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  T }
)  =  ( ( N `  { Z } ) ( LSSum `  U ) ( N `
 { T }
) ) )
78773ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z ,  T } )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { T } ) ) )
79 prcom 3718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { w ,  Z }  =  { Z ,  w }
8079fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N `
 { w ,  Z } )  =  ( N `  { Z ,  w }
)
818, 2, 53, 34, 32, 29lsmpr 15858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z ,  w } )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
8280, 81syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { w ,  Z } )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  U ) ( N `  { w } ) ) )
8376, 78, 823sstr4d 3234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( N `  { Z ,  T } )  C_  ( N `  { w ,  Z } ) )
8483sseld 3192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z ,  T } )  ->  z  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) ) )
8584con3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  Z } )  ->  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
8664, 85anim12d 546 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  {
w ,  X }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  {
w ,  Z }
) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
8786reximdv 2667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { w ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { w ,  Z } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
8833, 87mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
8988rexlimdv3a 2682 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { w }
)  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
9089adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( E. w  e.  V  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { w } )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
9127, 90mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
923, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 32260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
9392adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
94 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) )
95 prcom 3718 . . . . . . . . . . . 12  |-  { Y ,  X }  =  { X ,  Y }
9695fveq2i 5544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 { Y ,  X } )  =  ( N `  { X ,  Y } )
9796eleq2i 2360 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
9897notbii 287 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  ( N `
 { Y ,  X } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
9998a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
100 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( z  e.  ( N `  { Y ,  T }
)  <->  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
101100notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )
10299, 101anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T }
)  ->  ( ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  <-> 
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) ) )
10394, 102syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( ( -.  z  e.  ( N `
 { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  <->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
104103rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  <->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
10593, 104mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { Y ,  T } )  =  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
10691, 105jaodan 760 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( N `  { Y ,  T } )  C.  ( N `  { Z ,  T } )  \/  ( N `  { Y ,  T }
)  =  ( N `
 { Z ,  T } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
10718, 106syldan 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
1083, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 32260 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
109108adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  ->  E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )
110 simpl1l 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ph )
111110, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
112 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  w  e.  V )
113110, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  V )
114 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
1158, 114lmodvacl 15657 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  V )
116111, 112, 113, 115syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  -> 
( w ( +g  `  U ) Y )  e.  V )
1178, 1, 2, 6, 30, 21lspprcl 15751 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
118110, 117syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  -> 
( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
1198, 2, 6, 30, 21lspprid2 15771 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
120110, 119syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
121 simpl3l 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
12296eleq2i 2360 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  <->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
123121, 122sylnib 295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
1248, 114, 1, 111, 118, 120, 112, 123lssvancl2 15719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
125110, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  -> 
( N `  { Z ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
126 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
127 simpl1r 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
1288, 114, 1, 111, 125, 126, 113, 127lssvancl1 15718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )
129 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  ( w
( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
130129notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
131 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z ,  T } )  <->  ( w
( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
132131notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } )  <->  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )
133130, 132anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w ( +g  `  U ) Y )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  <->  ( -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) ) )
134133rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  V  /\  ( -.  ( w ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  (
w ( +g  `  U
) Y )  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
135116, 124, 128, 134syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
136 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  w  e.  V
)
137 simpl3l 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
138137, 122sylnib 295 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
139 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
140 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
141140notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
142 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z ,  T } )  <->  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
143142notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T }
) ) )
144141, 143anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  <->  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
145144rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
146136, 138, 139, 145syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T }
) ) )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
147135, 146pm2.61dan 766 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  /\  w  e.  V  /\  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
148147rexlimdv3a 2682 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  ->  ( E. w  e.  V  ( -.  w  e.  ( N `  { Y ,  X } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) ) )
149109, 148mpd 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T }
) )  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
150107, 149pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { Z ,  T } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    C_ wss 3165    C. wpss 3166   {csn 3653   {cpr 3654   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  SubGrpcsubg 14631   LSSumclsm 14961   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871   HLchlt 30162   LHypclh 30795   DVecHcdvh 31890
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lsatoms 29788  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tgrp 31554  df-tendo 31566  df-edring 31568  df-dveca 31814  df-disoa 31841  df-dvech 31891  df-dib 31951  df-dic 31985  df-dih 32041  df-doch 32160  df-djh 32207
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