Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimN Structured version   Unicode version

Theorem dvh4dimN 32245
Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh3dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
dvh3dim2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh4dimN  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    z, Y    z, Z    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh4dimN
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvh3dim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 dvh3dim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 dvh3dim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 dvh3dim.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 dvh3dim2.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 32244 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
98adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
10 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
111, 2, 5dvhlmod 31908 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 prssi 3954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  { Y ,  Z }  C_  V )
136, 7, 12syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { Y ,  Z }  C_  V )
143, 10, 4, 11, 13lspun0 16087 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
15 tpeq1 3892 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { ( 0g `  U ) ,  Y ,  Z } )
16 tprot 3899 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0g `  U ) ,  Y ,  Z }  =  { Y ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }
17 df-tp 3822 . . . . . . . . . 10  |-  { Y ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { Y ,  Z }  u.  {
( 0g `  U
) } )
1816, 17eqtr2i 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { ( 0g
`  U ) ,  Y ,  Z }
1915, 18syl6reqr 2487 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
2019fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
2114, 20sylan9req 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { Y ,  Z } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
2221eleq2d 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
2322notbid 286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
2423rexbidv 2726 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
259, 24mpbid 202 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
26 dvh3dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 32244 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
2827adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )
29 prssi 3954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  { X ,  Z }  C_  V )
3026, 7, 29syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Z }  C_  V )
313, 10, 4, 11, 30lspun0 16087 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Z } ) )
32 tpeq2 3893 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { X ,  ( 0g `  U ) ,  Z } )
33 df-tp 3822 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { X ,  Z }  u.  {
( 0g `  U
) } )
34 tpcomb 3901 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  { X , 
( 0g `  U
) ,  Z }
3533, 34eqtr3i 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X , 
( 0g `  U
) ,  Z }
3632, 35syl6reqr 2487 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
3736fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
3831, 37sylan9req 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Z } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
3938eleq2d 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Z }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
4039notbid 286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
4140rexbidv 2726 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
4228, 41mpbid 202 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
431, 2, 3, 4, 5, 26, 6dvh3dim 32244 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
4443adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
45 prssi 3954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
4626, 6, 45syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
473, 10, 4, 11, 46lspun0 16087 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y } ) )
48 tpeq3 3894 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { X ,  Y ,  ( 0g `  U ) } )
49 df-tp 3822 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { X ,  Y }  u.  {
( 0g `  U
) } )
5048, 49syl6req 2485 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
5150fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
5247, 51sylan9req 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
5352eleq2d 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
5453notbid 286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
5554rexbidv 2726 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
5644, 55mpbid 202 . 2  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
575adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5826adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  e.  V )
596adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  e.  V )
607adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Z  e.  V )
61 simpr1 963 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U ) )
62 simpr2 964 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  =/=  ( 0g `  U ) )
63 simpr3 965 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Z  =/=  ( 0g `  U ) )
641, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63dvh4dimlem 32241 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
6525, 42, 56, 64pm2.61da3ne 2684 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706    u. cun 3318    C_ wss 3320   {csn 3814   {cpr 3815   {ctp 3816   ` cfv 5454   Basecbs 13469   0gc0g 13723   LSpanclspn 16047   HLchlt 30148   LHypclh 30781   DVecHcdvh 31876
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-undef 6543  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lsatoms 29774  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tgrp 31540  df-tendo 31552  df-edring 31554  df-dveca 31800  df-disoa 31827  df-dvech 31877  df-dib 31937  df-dic 31971  df-dih 32027  df-doch 32146  df-djh 32193
  Copyright terms: Public domain W3C validator