Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh4dimN Unicode version

Theorem dvh4dimN 31637
Description: There is a vector that is outside the span of 3 others. (Contributed by NM, 22-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvh3dim.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvh3dim.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dvh3dim.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dvh3dim.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dvh3dim.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dvh3dim.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
dvh3dim2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dvh4dimN  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Distinct variable groups:    z, N    z, U    z, V    z, X    z, Y    z, Z    ph, z
Allowed substitution hints:    H( z)    K( z)    W( z)

Proof of Theorem dvh4dimN
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvh3dim.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvh3dim.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 dvh3dim.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 dvh3dim.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 dvh3dim.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 dvh3dim2.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 31636 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
98adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
10 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
111, 2, 5dvhlmod 31300 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 prssi 3771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  { Y ,  Z }  C_  V )
136, 7, 12syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { Y ,  Z }  C_  V )
143, 10, 4, 11, 13lspun0 15768 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
15 tpeq1 3715 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { ( 0g `  U ) ,  Y ,  Z } )
16 tprot 3722 . . . . . . . . . 10  |-  { ( 0g `  U ) ,  Y ,  Z }  =  { Y ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }
17 df-tp 3648 . . . . . . . . . 10  |-  { Y ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { Y ,  Z }  u.  {
( 0g `  U
) } )
1816, 17eqtr2i 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { ( 0g
`  U ) ,  Y ,  Z }
1915, 18syl6reqr 2334 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
2019fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { Y ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
2114, 20sylan9req 2336 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { Y ,  Z } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
2221eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { Y ,  Z }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
2322notbid 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
2423rexbidv 2564 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
259, 24mpbid 201 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
26 dvh3dim.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 31636 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
2827adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z }
) )
29 prssi 3771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  { X ,  Z }  C_  V )
3026, 7, 29syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Z }  C_  V )
313, 10, 4, 11, 30lspun0 15768 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Z } ) )
32 tpeq2 3716 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { X ,  ( 0g `  U ) ,  Z } )
33 df-tp 3648 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { X ,  Z }  u.  {
( 0g `  U
) } )
34 tpcomb 3724 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Z ,  ( 0g
`  U ) }  =  { X , 
( 0g `  U
) ,  Z }
3533, 34eqtr3i 2305 . . . . . . . . 9  |-  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X , 
( 0g `  U
) ,  Z }
3632, 35syl6reqr 2334 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
3736fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { X ,  Z }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
3831, 37sylan9req 2336 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Z } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
3938eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Z }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
4039notbid 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
4140rexbidv 2564 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Z } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
4228, 41mpbid 201 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
431, 2, 3, 4, 5, 26, 6dvh3dim 31636 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
4443adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
45 prssi 3771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
4626, 6, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
473, 10, 4, 11, 46lspun0 15768 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y } ) )
48 tpeq3 3717 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y ,  Z }  =  { X ,  Y ,  ( 0g `  U ) } )
49 df-tp 3648 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y ,  ( 0g
`  U ) }  =  ( { X ,  Y }  u.  {
( 0g `  U
) } )
5048, 49syl6req 2332 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } )  =  { X ,  Y ,  Z }
)
5150fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  ( { X ,  Y }  u.  { ( 0g `  U ) } ) )  =  ( N `
 { X ,  Y ,  Z }
) )
5247, 51sylan9req 2336 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
5352eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( z  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  <->  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) ) )
5453notbid 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
5554rexbidv 2564 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) ) )
5644, 55mpbid 201 . 2  |-  ( (
ph  /\  Z  =  ( 0g `  U ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
575adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5826adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  e.  V )
596adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  e.  V )
607adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Z  e.  V )
61 simpr1 961 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U ) )
62 simpr2 962 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  =/=  ( 0g `  U ) )
63 simpr3 963 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Z  =/=  ( 0g `  U ) )
641, 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 10, 61, 62, 63dvh4dimlem 31633 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U )  /\  Z  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z } ) )
6525, 42, 56, 64pm2.61da3ne 2526 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  Y ,  Z }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   LSpanclspn 15728   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585
  Copyright terms: Public domain W3C validator