Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlmod Unicode version

Theorem dvhlmod 31276
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlmod  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )

Proof of Theorem dvhlmod
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvhlvec.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 31275 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
5 lveclmod 16098 . 2  |-  ( U  e.  LVec  ->  U  e. 
LMod )
64, 5syl 16 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5387   LModclmod 15870   LVecclvec 16094   HLchlt 29516   LHypclh 30149   DVecHcdvh 31244
This theorem is referenced by:  dvh0g  31277  dvhopellsm  31283  dib1dim2  31334  diclspsn  31360  cdlemn4a  31365  cdlemn5pre  31366  cdlemn11c  31375  dihjustlem  31382  dihord1  31384  dihord2a  31385  dihord2b  31386  dihord11c  31390  dihlsscpre  31400  dihvalcqat  31405  dihord6apre  31422  dihord5b  31425  dihord5apre  31428  dih0vbN  31448  dihglblem5  31464  dihjatc3  31479  dihmeetlem9N  31481  dihmeetlem13N  31485  dihmeetlem16N  31488  dihmeetlem19N  31491  dih1dimatlem  31495  dihlsprn  31497  dihlspsnat  31499  dihatlat  31500  dihatexv  31504  dihglblem6  31506  dochspss  31544  dochocsp  31545  dochspocN  31546  dochsncom  31548  dochsat  31549  dochshpncl  31550  dochlkr  31551  dochkrshp  31552  dochnoncon  31557  dochnel  31559  djhsumss  31573  djhunssN  31575  djhlsmcl  31580  dihjatcclem1  31584  dihjatcclem2  31585  dihjat  31589  dihprrnlem1N  31590  dihprrnlem2  31591  dihprrn  31592  djhlsmat  31593  dihjat1lem  31594  dihjat1  31595  dihsmsprn  31596  dihjat2  31597  dihsmatrn  31602  dvh3dimatN  31605  dvh2dimatN  31606  dvh1dim  31608  dvh4dimlem  31609  dvhdimlem  31610  dvh2dim  31611  dvh3dim  31612  dvh4dimN  31613  dvh3dim2  31614  dvh3dim3N  31615  dochsatshp  31617  dochsatshpb  31618  dochsnshp  31619  dochshpsat  31620  dochkrsat  31621  dochkrsat2  31622  dochkrsm  31624  dochexmidlem1  31626  dochexmidlem2  31627  dochexmidlem4  31629  dochexmidlem5  31630  dochexmidlem6  31631  dochexmidlem7  31632  dochexmidlem8  31633  dochexmid  31634  dochsnkrlem1  31635  dochsnkr  31638  dochsnkr2cl  31640  dochfl1  31642  dochfln0  31643  dochkr1  31644  dochkr1OLDN  31645  lcfl4N  31661  lcfl5  31662  lcfl6lem  31664  lcfl7lem  31665  lcfl6  31666  lcfl8  31668  lcfl8b  31670  lcfl9a  31671  lclkrlem1  31672  lclkrlem2a  31673  lclkrlem2b  31674  lclkrlem2c  31675  lclkrlem2e  31677  lclkrlem2f  31678  lclkrlem2h  31680  lclkrlem2j  31682  lclkrlem2k  31683  lclkrlem2o  31687  lclkrlem2p  31688  lclkrlem2r  31690  lclkrlem2s  31691  lclkrlem2u  31693  lclkrlem2v  31694  lclkrlem2  31698  lclkr  31699  lclkrslem1  31703  lclkrslem2  31704  lclkrs  31705  lcfrvalsnN  31707  lcfrlem4  31711  lcfrlem5  31712  lcfrlem6  31713  lcfrlem7  31714  lcfrlem9  31716  lcfrlem12N  31720  lcfrlem15  31723  lcfrlem16  31724  lcfrlem17  31725  lcfrlem19  31727  lcfrlem20  31728  lcfrlem21  31729  lcfrlem23  31731  lcfrlem25  31733  lcfrlem26  31734  lcfrlem28  31736  lcfrlem29  31737  lcfrlem30  31738  lcfrlem31  31739  lcfrlem33  31741  lcfrlem35  31743  lcfrlem36  31744  lcfrlem37  31745  lcfrlem40  31748  lcfrlem42  31750  lcfr  31751  lcdvbase  31759  lcdvbasecl  31762  lcdvaddval  31764  lcdsca  31765  lcdvsval  31770  lcd0v  31777  lcd0v2  31778  lcdvsubval  31784  lcdlss  31785  lcdlsp  31787  mapdval2N  31796  mapdordlem2  31803  mapdsn  31807  mapd1dim2lem1N  31810  mapdrvallem2  31811  mapdunirnN  31816  mapdcv  31826  mapdin  31828  mapdlsm  31830  mapd0  31831  mapdcnvatN  31832  mapdat  31833  mapdspex  31834  mapdn0  31835  mapdncol  31836  mapdindp  31837  mapdpglem1  31838  mapdpglem2  31839  mapdpglem2a  31840  mapdpglem3  31841  mapdpglem4N  31842  mapdpglem5N  31843  mapdpglem6  31844  mapdpglem8  31845  mapdpglem9  31846  mapdpglem12  31849  mapdpglem13  31850  mapdpglem14  31851  mapdpglem17N  31854  mapdpglem18  31855  mapdpglem19  31856  mapdpglem20  31857  mapdpglem21  31858  mapdpglem23  31860  mapdpglem30a  31861  mapdpglem30b  31862  mapdpglem29  31866  mapdpglem30  31868  mapdheq2  31895  mapdheq4lem  31897  mapdh6lem1N  31899  mapdh6lem2N  31900  mapdh6aN  31901  mapdh6b0N  31902  mapdh6bN  31903  mapdh6cN  31904  mapdh6dN  31905  mapdh6eN  31906  mapdh6gN  31908  mapdh6hN  31909  mapdh6iN  31910  mapdh8ab  31943  mapdh8ad  31945  mapdh8e  31950  mapdh9a  31956  mapdh9aOLDN  31957  hdmap1val0  31966  hdmap1l6lem1  31974  hdmap1l6lem2  31975  hdmap1l6a  31976  hdmap1l6b0N  31977  hdmap1l6b  31978  hdmap1l6c  31979  hdmap1l6d  31980  hdmap1l6e  31981  hdmap1l6g  31983  hdmap1l6h  31984  hdmap1l6i  31985  hdmap1eulem  31990  hdmap1eulemOLDN  31991  hdmap1neglem1N  31994  hdmapval0  32002  hdmapeveclem  32003  hdmapval3lemN  32006  hdmap10lem  32008  hdmap10  32009  hdmap11lem1  32010  hdmap11lem2  32011  hdmapeq0  32013  hdmapneg  32015  hdmapsub  32016  hdmap11  32017  hdmaprnlem1N  32018  hdmaprnlem3N  32019  hdmaprnlem3uN  32020  hdmaprnlem4tN  32021  hdmaprnlem4N  32022  hdmaprnlem6N  32023  hdmaprnlem8N  32025  hdmaprnlem9N  32026  hdmaprnlem3eN  32027  hdmaprnlem16N  32031  hdmaprnlem17N  32032  hdmap14lem1a  32035  hdmap14lem2a  32036  hdmap14lem2N  32038  hdmap14lem3  32039  hdmap14lem4a  32040  hdmap14lem6  32042  hdmap14lem8  32044  hdmap14lem9  32045  hdmap14lem10  32046  hdmap14lem11  32047  hdmap14lem13  32049  hgmapval0  32061  hgmapval1  32062  hgmapadd  32063  hgmapmul  32064  hgmaprnlem2N  32066  hgmaprnlem3N  32067  hgmap11  32071  hgmapeq0  32073  hdmapln1  32075  hdmaplna1  32076  hdmaplns1  32077  hdmaplnm1  32078  hdmapgln2  32081  hdmaplkr  32082  hdmapellkr  32083  hdmapip0  32084  hdmapinvlem1  32087  hdmapinvlem3  32089  hdmapinvlem4  32090  hdmapglem5  32091  hgmapvvlem1  32092  hgmapvvlem3  32094  hdmapglem7a  32096  hdmapglem7b  32097  hdmapglem7  32098  hdmapoc  32100  hlhilphllem  32128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-undef 6472  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-0g 13647  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-dvr 15708  df-drng 15757  df-lmod 15872  df-lvec 16095  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665  df-lines 29666  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-lhyp 30153  df-laut 30154  df-ldil 30269  df-ltrn 30270  df-trl 30324  df-tendo 30920  df-edring 30922  df-dvech 31245
  Copyright terms: Public domain W3C validator