Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlmod Unicode version

Theorem dvhlmod 31300
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlmod  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )

Proof of Theorem dvhlmod
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvhlvec.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 31299 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
5 lveclmod 15859 . 2  |-  ( U  e.  LVec  ->  U  e. 
LMod )
64, 5syl 15 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255   LModclmod 15627   LVecclvec 15855   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268
This theorem is referenced by:  dvh0g  31301  dvhopellsm  31307  dib1dim2  31358  diclspsn  31384  cdlemn4a  31389  cdlemn5pre  31390  cdlemn11c  31399  dihjustlem  31406  dihord1  31408  dihord2a  31409  dihord2b  31410  dihord11c  31414  dihlsscpre  31424  dihvalcqat  31429  dihord6apre  31446  dihord5b  31449  dihord5apre  31452  dih0vbN  31472  dihglblem5  31488  dihjatc3  31503  dihmeetlem9N  31505  dihmeetlem13N  31509  dihmeetlem16N  31512  dihmeetlem19N  31515  dih1dimatlem  31519  dihlsprn  31521  dihlspsnat  31523  dihatlat  31524  dihatexv  31528  dihglblem6  31530  dochspss  31568  dochocsp  31569  dochspocN  31570  dochsncom  31572  dochsat  31573  dochshpncl  31574  dochlkr  31575  dochkrshp  31576  dochnoncon  31581  dochnel  31583  djhsumss  31597  djhunssN  31599  djhlsmcl  31604  dihjatcclem1  31608  dihjatcclem2  31609  dihjat  31613  dihprrnlem1N  31614  dihprrnlem2  31615  dihprrn  31616  djhlsmat  31617  dihjat1lem  31618  dihjat1  31619  dihsmsprn  31620  dihjat2  31621  dihsmatrn  31626  dvh3dimatN  31629  dvh2dimatN  31630  dvh1dim  31632  dvh4dimlem  31633  dvhdimlem  31634  dvh2dim  31635  dvh3dim  31636  dvh4dimN  31637  dvh3dim2  31638  dvh3dim3N  31639  dochsatshp  31641  dochsatshpb  31642  dochsnshp  31643  dochshpsat  31644  dochkrsat  31645  dochkrsat2  31646  dochkrsm  31648  dochexmidlem1  31650  dochexmidlem2  31651  dochexmidlem4  31653  dochexmidlem5  31654  dochexmidlem6  31655  dochexmidlem7  31656  dochexmidlem8  31657  dochexmid  31658  dochsnkrlem1  31659  dochsnkr  31662  dochsnkr2cl  31664  dochfl1  31666  dochfln0  31667  dochkr1  31668  dochkr1OLDN  31669  lcfl4N  31685  lcfl5  31686  lcfl6lem  31688  lcfl7lem  31689  lcfl6  31690  lcfl8  31692  lcfl8b  31694  lcfl9a  31695  lclkrlem1  31696  lclkrlem2a  31697  lclkrlem2b  31698  lclkrlem2c  31699  lclkrlem2e  31701  lclkrlem2f  31702  lclkrlem2h  31704  lclkrlem2j  31706  lclkrlem2k  31707  lclkrlem2o  31711  lclkrlem2p  31712  lclkrlem2r  31714  lclkrlem2s  31715  lclkrlem2u  31717  lclkrlem2v  31718  lclkrlem2  31722  lclkr  31723  lclkrslem1  31727  lclkrslem2  31728  lclkrs  31729  lcfrvalsnN  31731  lcfrlem4  31735  lcfrlem5  31736  lcfrlem6  31737  lcfrlem7  31738  lcfrlem9  31740  lcfrlem12N  31744  lcfrlem15  31747  lcfrlem16  31748  lcfrlem17  31749  lcfrlem19  31751  lcfrlem20  31752  lcfrlem21  31753  lcfrlem23  31755  lcfrlem25  31757  lcfrlem26  31758  lcfrlem28  31760  lcfrlem29  31761  lcfrlem30  31762  lcfrlem31  31763  lcfrlem33  31765  lcfrlem35  31767  lcfrlem36  31768  lcfrlem37  31769  lcfrlem40  31772  lcfrlem42  31774  lcfr  31775  lcdvbase  31783  lcdvbasecl  31786  lcdvaddval  31788  lcdsca  31789  lcdvsval  31794  lcd0v  31801  lcd0v2  31802  lcdvsubval  31808  lcdlss  31809  lcdlsp  31811  mapdval2N  31820  mapdordlem2  31827  mapdsn  31831  mapd1dim2lem1N  31834  mapdrvallem2  31835  mapdunirnN  31840  mapdcv  31850  mapdin  31852  mapdlsm  31854  mapd0  31855  mapdcnvatN  31856  mapdat  31857  mapdspex  31858  mapdn0  31859  mapdncol  31860  mapdindp  31861  mapdpglem1  31862  mapdpglem2  31863  mapdpglem2a  31864  mapdpglem3  31865  mapdpglem4N  31866  mapdpglem5N  31867  mapdpglem6  31868  mapdpglem8  31869  mapdpglem9  31870  mapdpglem12  31873  mapdpglem13  31874  mapdpglem14  31875  mapdpglem17N  31878  mapdpglem18  31879  mapdpglem19  31880  mapdpglem20  31881  mapdpglem21  31882  mapdpglem23  31884  mapdpglem30a  31885  mapdpglem30b  31886  mapdpglem29  31890  mapdpglem30  31892  mapdheq2  31919  mapdheq4lem  31921  mapdh6lem1N  31923  mapdh6lem2N  31924  mapdh6aN  31925  mapdh6b0N  31926  mapdh6bN  31927  mapdh6cN  31928  mapdh6dN  31929  mapdh6eN  31930  mapdh6gN  31932  mapdh6hN  31933  mapdh6iN  31934  mapdh8ab  31967  mapdh8ad  31969  mapdh8e  31974  mapdh9a  31980  mapdh9aOLDN  31981  hdmap1val0  31990  hdmap1l6lem1  31998  hdmap1l6lem2  31999  hdmap1l6a  32000  hdmap1l6b0N  32001  hdmap1l6b  32002  hdmap1l6c  32003  hdmap1l6d  32004  hdmap1l6e  32005  hdmap1l6g  32007  hdmap1l6h  32008  hdmap1l6i  32009  hdmap1eulem  32014  hdmap1eulemOLDN  32015  hdmap1neglem1N  32018  hdmapval0  32026  hdmapeveclem  32027  hdmapval3lemN  32030  hdmap10lem  32032  hdmap10  32033  hdmap11lem1  32034  hdmap11lem2  32035  hdmapeq0  32037  hdmapneg  32039  hdmapsub  32040  hdmap11  32041  hdmaprnlem1N  32042  hdmaprnlem3N  32043  hdmaprnlem3uN  32044  hdmaprnlem4tN  32045  hdmaprnlem4N  32046  hdmaprnlem6N  32047  hdmaprnlem8N  32049  hdmaprnlem9N  32050  hdmaprnlem3eN  32051  hdmaprnlem16N  32055  hdmaprnlem17N  32056  hdmap14lem1a  32059  hdmap14lem2a  32060  hdmap14lem2N  32062  hdmap14lem3  32063  hdmap14lem4a  32064  hdmap14lem6  32066  hdmap14lem8  32068  hdmap14lem9  32069  hdmap14lem10  32070  hdmap14lem11  32071  hdmap14lem13  32073  hgmapval0  32085  hgmapval1  32086  hgmapadd  32087  hgmapmul  32088  hgmaprnlem2N  32090  hgmaprnlem3N  32091  hgmap11  32095  hgmapeq0  32097  hdmapln1  32099  hdmaplna1  32100  hdmaplns1  32101  hdmaplnm1  32102  hdmapgln2  32105  hdmaplkr  32106  hdmapellkr  32107  hdmapip0  32108  hdmapinvlem1  32111  hdmapinvlem3  32113  hdmapinvlem4  32114  hdmapglem5  32115  hgmapvvlem1  32116  hgmapvvlem3  32118  hdmapglem7a  32120  hdmapglem7b  32121  hdmapglem7  32122  hdmapoc  32124  hlhilphllem  32152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lvec 15856  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dvech 31269
  Copyright terms: Public domain W3C validator