Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlmod Unicode version

Theorem dvhlmod 31922
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlmod  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )

Proof of Theorem dvhlmod
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dvhlvec.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 31921 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
5 lveclmod 15875 . 2  |-  ( U  e.  LVec  ->  U  e. 
LMod )
64, 5syl 15 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271   LModclmod 15643   LVecclvec 15871   HLchlt 30162   LHypclh 30795   DVecHcdvh 31890
This theorem is referenced by:  dvh0g  31923  dvhopellsm  31929  dib1dim2  31980  diclspsn  32006  cdlemn4a  32011  cdlemn5pre  32012  cdlemn11c  32021  dihjustlem  32028  dihord1  32030  dihord2a  32031  dihord2b  32032  dihord11c  32036  dihlsscpre  32046  dihvalcqat  32051  dihord6apre  32068  dihord5b  32071  dihord5apre  32074  dih0vbN  32094  dihglblem5  32110  dihjatc3  32125  dihmeetlem9N  32127  dihmeetlem13N  32131  dihmeetlem16N  32134  dihmeetlem19N  32137  dih1dimatlem  32141  dihlsprn  32143  dihlspsnat  32145  dihatlat  32146  dihatexv  32150  dihglblem6  32152  dochspss  32190  dochocsp  32191  dochspocN  32192  dochsncom  32194  dochsat  32195  dochshpncl  32196  dochlkr  32197  dochkrshp  32198  dochnoncon  32203  dochnel  32205  djhsumss  32219  djhunssN  32221  djhlsmcl  32226  dihjatcclem1  32230  dihjatcclem2  32231  dihjat  32235  dihprrnlem1N  32236  dihprrnlem2  32237  dihprrn  32238  djhlsmat  32239  dihjat1lem  32240  dihjat1  32241  dihsmsprn  32242  dihjat2  32243  dihsmatrn  32248  dvh3dimatN  32251  dvh2dimatN  32252  dvh1dim  32254  dvh4dimlem  32255  dvhdimlem  32256  dvh2dim  32257  dvh3dim  32258  dvh4dimN  32259  dvh3dim2  32260  dvh3dim3N  32261  dochsatshp  32263  dochsatshpb  32264  dochsnshp  32265  dochshpsat  32266  dochkrsat  32267  dochkrsat2  32268  dochkrsm  32270  dochexmidlem1  32272  dochexmidlem2  32273  dochexmidlem4  32275  dochexmidlem5  32276  dochexmidlem6  32277  dochexmidlem7  32278  dochexmidlem8  32279  dochexmid  32280  dochsnkrlem1  32281  dochsnkr  32284  dochsnkr2cl  32286  dochfl1  32288  dochfln0  32289  dochkr1  32290  dochkr1OLDN  32291  lcfl4N  32307  lcfl5  32308  lcfl6lem  32310  lcfl7lem  32311  lcfl6  32312  lcfl8  32314  lcfl8b  32316  lcfl9a  32317  lclkrlem1  32318  lclkrlem2a  32319  lclkrlem2b  32320  lclkrlem2c  32321  lclkrlem2e  32323  lclkrlem2f  32324  lclkrlem2h  32326  lclkrlem2j  32328  lclkrlem2k  32329  lclkrlem2o  32333  lclkrlem2p  32334  lclkrlem2r  32336  lclkrlem2s  32337  lclkrlem2u  32339  lclkrlem2v  32340  lclkrlem2  32344  lclkr  32345  lclkrslem1  32349  lclkrslem2  32350  lclkrs  32351  lcfrvalsnN  32353  lcfrlem4  32357  lcfrlem5  32358  lcfrlem6  32359  lcfrlem7  32360  lcfrlem9  32362  lcfrlem12N  32366  lcfrlem15  32369  lcfrlem16  32370  lcfrlem17  32371  lcfrlem19  32373  lcfrlem20  32374  lcfrlem21  32375  lcfrlem23  32377  lcfrlem25  32379  lcfrlem26  32380  lcfrlem28  32382  lcfrlem29  32383  lcfrlem30  32384  lcfrlem31  32385  lcfrlem33  32387  lcfrlem35  32389  lcfrlem36  32390  lcfrlem37  32391  lcfrlem40  32394  lcfrlem42  32396  lcfr  32397  lcdvbase  32405  lcdvbasecl  32408  lcdvaddval  32410  lcdsca  32411  lcdvsval  32416  lcd0v  32423  lcd0v2  32424  lcdvsubval  32430  lcdlss  32431  lcdlsp  32433  mapdval2N  32442  mapdordlem2  32449  mapdsn  32453  mapd1dim2lem1N  32456  mapdrvallem2  32457  mapdunirnN  32462  mapdcv  32472  mapdin  32474  mapdlsm  32476  mapd0  32477  mapdcnvatN  32478  mapdat  32479  mapdspex  32480  mapdn0  32481  mapdncol  32482  mapdindp  32483  mapdpglem1  32484  mapdpglem2  32485  mapdpglem2a  32486  mapdpglem3  32487  mapdpglem4N  32488  mapdpglem5N  32489  mapdpglem6  32490  mapdpglem8  32491  mapdpglem9  32492  mapdpglem12  32495  mapdpglem13  32496  mapdpglem14  32497  mapdpglem17N  32500  mapdpglem18  32501  mapdpglem19  32502  mapdpglem20  32503  mapdpglem21  32504  mapdpglem23  32506  mapdpglem30a  32507  mapdpglem30b  32508  mapdpglem29  32512  mapdpglem30  32514  mapdheq2  32541  mapdheq4lem  32543  mapdh6lem1N  32545  mapdh6lem2N  32546  mapdh6aN  32547  mapdh6b0N  32548  mapdh6bN  32549  mapdh6cN  32550  mapdh6dN  32551  mapdh6eN  32552  mapdh6gN  32554  mapdh6hN  32555  mapdh6iN  32556  mapdh8ab  32589  mapdh8ad  32591  mapdh8e  32596  mapdh9a  32602  mapdh9aOLDN  32603  hdmap1val0  32612  hdmap1l6lem1  32620  hdmap1l6lem2  32621  hdmap1l6a  32622  hdmap1l6b0N  32623  hdmap1l6b  32624  hdmap1l6c  32625  hdmap1l6d  32626  hdmap1l6e  32627  hdmap1l6g  32629  hdmap1l6h  32630  hdmap1l6i  32631  hdmap1eulem  32636  hdmap1eulemOLDN  32637  hdmap1neglem1N  32640  hdmapval0  32648  hdmapeveclem  32649  hdmapval3lemN  32652  hdmap10lem  32654  hdmap10  32655  hdmap11lem1  32656  hdmap11lem2  32657  hdmapeq0  32659  hdmapneg  32661  hdmapsub  32662  hdmap11  32663  hdmaprnlem1N  32664  hdmaprnlem3N  32665  hdmaprnlem3uN  32666  hdmaprnlem4tN  32667  hdmaprnlem4N  32668  hdmaprnlem6N  32669  hdmaprnlem8N  32671  hdmaprnlem9N  32672  hdmaprnlem3eN  32673  hdmaprnlem16N  32677  hdmaprnlem17N  32678  hdmap14lem1a  32681  hdmap14lem2a  32682  hdmap14lem2N  32684  hdmap14lem3  32685  hdmap14lem4a  32686  hdmap14lem6  32688  hdmap14lem8  32690  hdmap14lem9  32691  hdmap14lem10  32692  hdmap14lem11  32693  hdmap14lem13  32695  hgmapval0  32707  hgmapval1  32708  hgmapadd  32709  hgmapmul  32710  hgmaprnlem2N  32712  hgmaprnlem3N  32713  hgmap11  32717  hgmapeq0  32719  hdmapln1  32721  hdmaplna1  32722  hdmaplns1  32723  hdmaplnm1  32724  hdmapgln2  32727  hdmaplkr  32728  hdmapellkr  32729  hdmapip0  32730  hdmapinvlem1  32733  hdmapinvlem3  32735  hdmapinvlem4  32736  hdmapglem5  32737  hgmapvvlem1  32738  hgmapvvlem3  32740  hdmapglem7a  32742  hdmapglem7b  32743  hdmapglem7  32744  hdmapoc  32746  hlhilphllem  32774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lvec 15872  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566  df-edring 31568  df-dvech 31891
  Copyright terms: Public domain W3C validator