Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Structured version   Unicode version

Theorem dvhlvec 31844
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlvec  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2435 . . 3  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 eqid 2435 . . 3  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
6 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2435 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
8 eqid 2435 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
9 eqid 2435 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
10 eqid 2435 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)
11 eqid 2435 . . 3  |-  ( inv g `  (Scalar `  U ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  U ) )
12 eqid 2435 . . 3  |-  ( .r
`  (Scalar `  U )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  U )
)
13 eqid 2435 . . 3  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 31843 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
151, 14syl 16 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   0gc0g 13715   inv gcminusg 14678   LVecclvec 16166   HLchlt 30085   LHypclh 30718   LTrncltrn 30835   TEndoctendo 31486   DVecHcdvh 31813
This theorem is referenced by:  dvhlmod  31845  dih1dimatlem  32064  dihlspsnssN  32067  dihlspsnat  32068  dihpN  32071  dihlatat  32072  dochsat  32118  dochshpncl  32119  dochlkr  32120  dochkrshp  32121  dochkrshp3  32123  dvh2dimatN  32175  dvh3dim3N  32184  dochsatshp  32186  dochsatshpb  32187  dochexmidat  32194  dochexmidlem3  32197  dochsnkr  32207  dochsnkr2  32208  dochflcl  32210  dochfl1  32211  dochkr1  32213  dochkr1OLDN  32214  lcfl6lem  32233  lcfl7lem  32234  lcfl9a  32240  lclkrlem1  32241  lclkrlem2a  32242  lclkrlem2e  32246  lclkrlem2g  32248  lclkrlem2h  32249  lclkrlem2o  32256  lclkrlem2p  32257  lclkrlem2q  32258  lclkrlem2s  32260  lclkrlem2v  32263  lclkrslem1  32272  lcfrvalsnN  32276  lcfrlem16  32293  lcfrlem20  32297  lcfrlem25  32302  lcfrlem29  32306  lcfrlem31  32308  lcfrlem33  32310  lcfrlem35  32312  lcdlvec  32326  lcdlkreqN  32357  lcdlkreq2N  32358  mapdordlem2  32372  mapdsn3  32378  mapdrvallem2  32380  mapdcnvatN  32401  mapdat  32402  mapdpglem10  32416  mapdpglem15  32421  mapdpglem17N  32423  mapdpglem18  32424  mapdpglem19  32425  mapdpglem21  32427  mapdpglem22  32428  mapdheq4lem  32466  mapdheq4  32467  mapdh6lem1N  32468  mapdh6lem2N  32469  mapdh6aN  32470  mapdh6b0N  32471  mapdh6bN  32472  mapdh6cN  32473  mapdh6dN  32474  mapdh6eN  32475  mapdh6fN  32476  mapdh6hN  32478  mapdh7eN  32483  mapdh7dN  32485  mapdh7fN  32486  mapdh75fN  32490  mapdh8aa  32511  mapdh8ab  32512  mapdh8ad  32514  mapdh8b  32515  mapdh8c  32516  mapdh8d0N  32517  mapdh8d  32518  mapdh8e  32519  mapdh9a  32525  mapdh9aOLDN  32526  hdmap1eq4N  32542  hdmap1l6lem1  32543  hdmap1l6lem2  32544  hdmap1l6a  32545  hdmap1l6b0N  32546  hdmap1l6b  32547  hdmap1l6c  32548  hdmap1l6d  32549  hdmap1l6e  32550  hdmap1l6f  32551  hdmap1l6h  32553  hdmap1eulemOLDN  32560  hdmapval0  32571  hdmapval3lemN  32575  hdmap10lem  32577  hdmap11lem1  32579  hdmap11lem2  32580  hdmaprnlem4N  32591  hdmaprnlem3eN  32596  hdmap14lem1a  32604  hdmap14lem4a  32609  hdmap14lem11  32616  hgmap11  32640  hdmaplkr  32651  hdmapip1  32654  hgmapvvlem1  32661  hgmapvvlem2  32662  hgmapvvlem3  32663  hlhillvec  32689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lvec 16167  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tendo 31489  df-edring 31491  df-dvech 31814
  Copyright terms: Public domain W3C validator