Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Unicode version

Theorem dvhlvec 31921
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlvec  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2296 . . 3  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 eqid 2296 . . 3  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
6 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2296 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
8 eqid 2296 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
9 eqid 2296 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
10 eqid 2296 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)
11 eqid 2296 . . 3  |-  ( inv g `  (Scalar `  U ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  U ) )
12 eqid 2296 . . 3  |-  ( .r
`  (Scalar `  U )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  U )
)
13 eqid 2296 . . 3  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 31920 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
151, 14syl 15 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   inv gcminusg 14379   LVecclvec 15871   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   TEndoctendo 31563   DVecHcdvh 31890
This theorem is referenced by:  dvhlmod  31922  dih1dimatlem  32141  dihlspsnssN  32144  dihlspsnat  32145  dihpN  32148  dihlatat  32149  dochsat  32195  dochshpncl  32196  dochlkr  32197  dochkrshp  32198  dochkrshp3  32200  dvh2dimatN  32252  dvh3dim3N  32261  dochsatshp  32263  dochsatshpb  32264  dochexmidat  32271  dochexmidlem3  32274  dochsnkr  32284  dochsnkr2  32285  dochflcl  32287  dochfl1  32288  dochkr1  32290  dochkr1OLDN  32291  lcfl6lem  32310  lcfl7lem  32311  lcfl9a  32317  lclkrlem1  32318  lclkrlem2a  32319  lclkrlem2e  32323  lclkrlem2g  32325  lclkrlem2h  32326  lclkrlem2o  32333  lclkrlem2p  32334  lclkrlem2q  32335  lclkrlem2s  32337  lclkrlem2v  32340  lclkrslem1  32349  lcfrvalsnN  32353  lcfrlem16  32370  lcfrlem20  32374  lcfrlem25  32379  lcfrlem29  32383  lcfrlem31  32385  lcfrlem33  32387  lcfrlem35  32389  lcdlvec  32403  lcdlkreqN  32434  lcdlkreq2N  32435  mapdordlem2  32449  mapdsn3  32455  mapdrvallem2  32457  mapdcnvatN  32478  mapdat  32479  mapdpglem10  32493  mapdpglem15  32498  mapdpglem17N  32500  mapdpglem18  32501  mapdpglem19  32502  mapdpglem21  32504  mapdpglem22  32505  mapdheq4lem  32543  mapdheq4  32544  mapdh6lem1N  32545  mapdh6lem2N  32546  mapdh6aN  32547  mapdh6b0N  32548  mapdh6bN  32549  mapdh6cN  32550  mapdh6dN  32551  mapdh6eN  32552  mapdh6fN  32553  mapdh6hN  32555  mapdh7eN  32560  mapdh7dN  32562  mapdh7fN  32563  mapdh75fN  32567  mapdh8aa  32588  mapdh8ab  32589  mapdh8ad  32591  mapdh8b  32592  mapdh8c  32593  mapdh8d0N  32594  mapdh8d  32595  mapdh8e  32596  mapdh9a  32602  mapdh9aOLDN  32603  hdmap1eq4N  32619  hdmap1l6lem1  32620  hdmap1l6lem2  32621  hdmap1l6a  32622  hdmap1l6b0N  32623  hdmap1l6b  32624  hdmap1l6c  32625  hdmap1l6d  32626  hdmap1l6e  32627  hdmap1l6f  32628  hdmap1l6h  32630  hdmap1eulemOLDN  32637  hdmapval0  32648  hdmapval3lemN  32652  hdmap10lem  32654  hdmap11lem1  32656  hdmap11lem2  32657  hdmaprnlem4N  32668  hdmaprnlem3eN  32673  hdmap14lem1a  32681  hdmap14lem4a  32686  hdmap14lem11  32693  hgmap11  32717  hdmaplkr  32728  hdmapip1  32731  hgmapvvlem1  32738  hgmapvvlem2  32739  hgmapvvlem3  32740  hlhillvec  32766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lvec 15872  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566  df-edring 31568  df-dvech 31891
  Copyright terms: Public domain W3C validator