Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Unicode version

Theorem dvhlvec 31224
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlvec  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2387 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2387 . . 3  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 eqid 2387 . . 3  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
6 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2387 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
8 eqid 2387 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
9 eqid 2387 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
10 eqid 2387 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)
11 eqid 2387 . . 3  |-  ( inv g `  (Scalar `  U ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  U ) )
12 eqid 2387 . . 3  |-  ( .r
`  (Scalar `  U )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  U )
)
13 eqid 2387 . . 3  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 31223 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
151, 14syl 16 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   .rcmulr 13457  Scalarcsca 13459   .scvsca 13460   0gc0g 13650   inv gcminusg 14613   LVecclvec 16101   HLchlt 29465   LHypclh 30098   LTrncltrn 30215   TEndoctendo 30866   DVecHcdvh 31193
This theorem is referenced by:  dvhlmod  31225  dih1dimatlem  31444  dihlspsnssN  31447  dihlspsnat  31448  dihpN  31451  dihlatat  31452  dochsat  31498  dochshpncl  31499  dochlkr  31500  dochkrshp  31501  dochkrshp3  31503  dvh2dimatN  31555  dvh3dim3N  31564  dochsatshp  31566  dochsatshpb  31567  dochexmidat  31574  dochexmidlem3  31577  dochsnkr  31587  dochsnkr2  31588  dochflcl  31590  dochfl1  31591  dochkr1  31593  dochkr1OLDN  31594  lcfl6lem  31613  lcfl7lem  31614  lcfl9a  31620  lclkrlem1  31621  lclkrlem2a  31622  lclkrlem2e  31626  lclkrlem2g  31628  lclkrlem2h  31629  lclkrlem2o  31636  lclkrlem2p  31637  lclkrlem2q  31638  lclkrlem2s  31640  lclkrlem2v  31643  lclkrslem1  31652  lcfrvalsnN  31656  lcfrlem16  31673  lcfrlem20  31677  lcfrlem25  31682  lcfrlem29  31686  lcfrlem31  31688  lcfrlem33  31690  lcfrlem35  31692  lcdlvec  31706  lcdlkreqN  31737  lcdlkreq2N  31738  mapdordlem2  31752  mapdsn3  31758  mapdrvallem2  31760  mapdcnvatN  31781  mapdat  31782  mapdpglem10  31796  mapdpglem15  31801  mapdpglem17N  31803  mapdpglem18  31804  mapdpglem19  31805  mapdpglem21  31807  mapdpglem22  31808  mapdheq4lem  31846  mapdheq4  31847  mapdh6lem1N  31848  mapdh6lem2N  31849  mapdh6aN  31850  mapdh6b0N  31851  mapdh6bN  31852  mapdh6cN  31853  mapdh6dN  31854  mapdh6eN  31855  mapdh6fN  31856  mapdh6hN  31858  mapdh7eN  31863  mapdh7dN  31865  mapdh7fN  31866  mapdh75fN  31870  mapdh8aa  31891  mapdh8ab  31892  mapdh8ad  31894  mapdh8b  31895  mapdh8c  31896  mapdh8d0N  31897  mapdh8d  31898  mapdh8e  31899  mapdh9a  31905  mapdh9aOLDN  31906  hdmap1eq4N  31922  hdmap1l6lem1  31923  hdmap1l6lem2  31924  hdmap1l6a  31925  hdmap1l6b0N  31926  hdmap1l6b  31927  hdmap1l6c  31928  hdmap1l6d  31929  hdmap1l6e  31930  hdmap1l6f  31931  hdmap1l6h  31933  hdmap1eulemOLDN  31940  hdmapval0  31951  hdmapval3lemN  31955  hdmap10lem  31957  hdmap11lem1  31959  hdmap11lem2  31960  hdmaprnlem4N  31971  hdmaprnlem3eN  31976  hdmap14lem1a  31984  hdmap14lem4a  31989  hdmap14lem11  31996  hgmap11  32020  hdmaplkr  32031  hdmapip1  32034  hgmapvvlem1  32041  hgmapvvlem2  32042  hgmapvvlem3  32043  hlhillvec  32069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-undef 6479  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-0g 13654  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-drng 15764  df-lmod 15879  df-lvec 16102  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613  df-lvols 29614  df-lines 29615  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102  df-laut 30103  df-ldil 30218  df-ltrn 30219  df-trl 30273  df-tendo 30869  df-edring 30871  df-dvech 31194
  Copyright terms: Public domain W3C validator