Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopellsm Unicode version

Theorem dvhopellsm 31378
Description: Ordered pair membership in a subspace sum. (Contributed by NM, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhopellsm.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhopellsm.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhopellsm.a  |-  .+  =  ( +g  `  U )
dvhopellsm.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dvhopellsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
Assertion
Ref Expression
dvhopellsm  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z,  .+    w, F, x, y, z    x, H, y    x, K, y   
x, S, y    w, T, x, y, z    x, W, y    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z
Allowed substitution hints:    .(+) ( x, y,
z, w)    S( z, w)    U( x, y, z, w)    H( z, w)    K( z, w)    W( z, w)

Proof of Theorem dvhopellsm
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhopellsm.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhopellsm.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 id 19 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 31371 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LMod )
543ad2ant1 977 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  U  e.  LMod )
6 dvhopellsm.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
76lsssssubg 15925 . . . . 5  |-  ( U  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  U ) )
85, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  S  C_  (SubGrp `  U ) )
9 simp2 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  e.  S )
108, 9sseldd 3267 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  e.  (SubGrp `  U ) )
11 simp3 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  e.  S )
128, 11sseldd 3267 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  U ) )
13 dvhopellsm.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
14 dvhopellsm.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
1513, 14lsmelval 15170 . . 3  |-  ( ( X  e.  (SubGrp `  U )  /\  Y  e.  (SubGrp `  U )
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. u  e.  X  E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v ) ) )
1610, 12, 15syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. u  e.  X  E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v ) ) )
17 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
1817, 6lssss 15904 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  S  ->  Y  C_  ( Base `  U
) )
19183ad2ant3 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  C_  ( Base `  U ) )
20 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
21 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
221, 20, 21, 2, 17dvhvbase 31348 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
23223ad2ant1 977 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( Base `  U )  =  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
2419, 23sseqtrd 3300 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Y  C_  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
25 relxp 4897 . . . . 5  |-  Rel  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
26 relss 4878 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  ( ( (
LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( Rel  ( (
( LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  ->  Rel  Y ) )
2724, 25, 26ee10 1381 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Rel  Y )
28 oveq2 5989 . . . . . 6  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( u  .+  v )  =  ( u  .+  <. z ,  w >. ) )
2928eqeq2d 2377 . . . . 5  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  v )  <->  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) )
3029exopxfr2 6311 . . . 4  |-  ( Rel 
Y  ->  ( E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v )  <->  E. z E. w (
<. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) ) )
3127, 30syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v )  <->  E. z E. w (
<. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) ) )
3231rexbidv 2649 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. u  e.  X  E. v  e.  Y  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  v )  <->  E. u  e.  X  E. z E. w (
<. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) ) ) )
3317, 6lssss 15904 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  X  C_  ( Base `  U
) )
34333ad2ant2 978 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
3534, 23sseqtrd 3300 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  X  C_  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
36 relss 4878 . . . . 5  |-  ( X 
C_  ( ( (
LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( Rel  ( (
( LTrn `  K ) `  W )  X.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  ->  Rel  X ) )
3735, 25, 36ee10 1381 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  Rel  X )
38 oveq1 5988 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( u  .+  <.
z ,  w >. )  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
)
3938eqeq2d 2377 . . . . . . 7  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. )  <->  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) )
4039anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) ) )
41402exbidv 1633 . . . . 5  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( E. z E. w ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u  .+  <.
z ,  w >. ) )  <->  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
4241exopxfr2 6311 . . . 4  |-  ( Rel 
X  ->  ( E. u  e.  X  E. z E. w ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. y ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) ) )
4337, 42syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. u  e.  X  E. z E. w ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. y ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) ) )
44 19.42vv 1917 . . . . 5  |-  ( E. z E. w (
<. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w
( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
45 anass 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
46452exbii 1588 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. z E. w ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  (
<. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
4746bicomi 193 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w (
<. x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )  <->  E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )
4847a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. z E. w ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) )  <->  E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
4944, 48syl5bbr 250 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) )  <->  E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
50492exbidv 1633 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. x E. y ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  E. z E. w ( <. z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( <. x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. )
) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
5143, 50bitrd 244 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( E. u  e.  X  E. z E. w ( <.
z ,  w >.  e.  Y  /\  <. F ,  T >.  =  ( u 
.+  <. z ,  w >. ) )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <.
x ,  y >.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
5216, 32, 513bitrd 270 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( <. F ,  T >.  e.  ( X  .(+)  Y )  <->  E. x E. y E. z E. w ( ( <. x ,  y
>.  e.  X  /\  <. z ,  w >.  e.  Y
)  /\  <. F ,  T >.  =  ( <.
x ,  y >.  .+  <. z ,  w >. ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935   E.wex 1546    = wceq 1647    e. wcel 1715   E.wrex 2629    C_ wss 3238   <.cop 3732    X. cxp 4790   Rel wrel 4797   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   +g cplusg 13416  SubGrpcsubg 14825   LSSumclsm 15155   LModclmod 15837   LSubSpclss 15899   HLchlt 29611   LHypclh 30244   LTrncltrn 30361   TEndoctendo 31012   DVecHcdvh 31339
This theorem is referenced by:  diblsmopel  31432  dihopelvalcpre  31509  xihopellsmN  31515  dihopellsm  31516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-fal 1325  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-undef 6440  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-poset 14290  df-plt 14302  df-lub 14318  df-glb 14319  df-join 14320  df-meet 14321  df-p0 14355  df-p1 14356  df-lat 14362  df-clat 14424  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-lsm 15157  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-dvr 15675  df-drng 15724  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lvec 16066  df-oposet 29437  df-ol 29439  df-oml 29440  df-covers 29527  df-ats 29528  df-atl 29559  df-cvlat 29583  df-hlat 29612  df-llines 29758  df-lplanes 29759  df-lvols 29760  df-lines 29761  df-psubsp 29763  df-pmap 29764  df-padd 30056  df-lhyp 30248  df-laut 30249  df-ldil 30364  df-ltrn 30365  df-trl 30419  df-tendo 31015  df-edring 31017  df-dvech 31340
  Copyright terms: Public domain W3C validator