Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvadd2 Structured version   Unicode version

Theorem dvhopvadd2 31954
Description: The vector sum operation for the constructed full vector space H. TODO: check if this will shorten proofs that use dvhopvadd 31953 and/or dvhfplusr 31944. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhopvadd2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhopvadd2.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvhopvadd2.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvhopvadd2.p  |-  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
dvhopvadd2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhopvadd2.s  |-  .+b  =  ( +g  `  U )
Assertion
Ref Expression
dvhopvadd2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  ( <. F ,  Q >.  .+b  <. G ,  R >. )  =  <. ( F  o.  G ) ,  ( Q  .+  R ) >. )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, H    f, s,
t, K    f, W, s, t
Allowed substitution hints:    .+ ( t, f, s)    .+b ( t, f, s)    Q( t, f, s)    R( t, f, s)    T( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    F( t, f, s)    G( t, f, s)    H( t, s)

Proof of Theorem dvhopvadd2
StepHypRef Expression
1 dvhopvadd2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhopvadd2.t . . 3  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvhopvadd2.e . . 3  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 dvhopvadd2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 eqid 2438 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
6 dvhopvadd2.s . . 3  |-  .+b  =  ( +g  `  U )
7 eqid 2438 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvhopvadd 31953 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  ( <. F ,  Q >.  .+b  <. G ,  R >. )  =  <. ( F  o.  G ) ,  ( Q ( +g  `  (Scalar `  U ) ) R ) >. )
9 dvhopvadd2.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 9, 7dvhfplusr 31944 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  (Scalar `  U ) )  = 
.+  )
11103ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  .+  )
1211oveqd 6100 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  ( Q
( +g  `  (Scalar `  U ) ) R )  =  ( Q 
.+  R ) )
1312opeq2d 3993 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  <. ( F  o.  G ) ,  ( Q ( +g  `  (Scalar `  U )
) R ) >.  =  <. ( F  o.  G ) ,  ( Q  .+  R )
>. )
148, 13eqtrd 2470 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  Q  e.  E )  /\  ( G  e.  T  /\  R  e.  E )
)  ->  ( <. F ,  Q >.  .+b  <. G ,  R >. )  =  <. ( F  o.  G ) ,  ( Q  .+  R ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   <.cop 3819    e. cmpt 4268    o. ccom 4884   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   +g cplusg 13531  Scalarcsca 13534   HLchlt 30210   LHypclh 30843   LTrncltrn 30960   TEndoctendo 31611   DVecHcdvh 31938
This theorem is referenced by:  xihopellsmN  32114  dihopellsm  32115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-edring 31616  df-dvech 31939
  Copyright terms: Public domain W3C validator