Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvsca Structured version   Unicode version

Theorem dvhopvsca 31900
Description: Scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhfvsca.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvhfvsca.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvhfvsca.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhfvsca.s  |-  .x.  =  ( .s `  U )
Assertion
Ref Expression
dvhopvsca  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  -> 
( R  .x.  <. F ,  X >. )  =  <. ( R `  F ) ,  ( R  o.  X ) >. )

Proof of Theorem dvhopvsca
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  -> 
( K  e.  V  /\  W  e.  H
) )
2 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  ->  R  e.  E )
3 simpr2 964 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  ->  F  e.  T )
4 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  ->  X  e.  E )
5 opelxpi 4910 . . . 4  |-  ( ( F  e.  T  /\  X  e.  E )  -> 
<. F ,  X >.  e.  ( T  X.  E
) )
63, 4, 5syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  ->  <. F ,  X >.  e.  ( T  X.  E
) )
7 dvhfvsca.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 dvhfvsca.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 dvhfvsca.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
10 dvhfvsca.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
11 dvhfvsca.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  U )
127, 8, 9, 10, 11dvhvsca 31899 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  <. F ,  X >.  e.  ( T  X.  E ) ) )  ->  ( R  .x.  <. F ,  X >. )  =  <. ( R `  ( 1st ` 
<. F ,  X >. ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  <. F ,  X >. )
) >. )
131, 2, 6, 12syl12anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  -> 
( R  .x.  <. F ,  X >. )  =  <. ( R `  ( 1st `  <. F ,  X >. ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  <. F ,  X >. ) ) >. )
14 op1stg 6359 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  T  /\  X  e.  E )  ->  ( 1st `  <. F ,  X >. )  =  F )
153, 4, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  -> 
( 1st `  <. F ,  X >. )  =  F )
1615fveq2d 5732 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  -> 
( R `  ( 1st `  <. F ,  X >. ) )  =  ( R `  F ) )
17 op2ndg 6360 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  T  /\  X  e.  E )  ->  ( 2nd `  <. F ,  X >. )  =  X )
183, 4, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  -> 
( 2nd `  <. F ,  X >. )  =  X )
1918coeq2d 5035 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  -> 
( R  o.  ( 2nd `  <. F ,  X >. ) )  =  ( R  o.  X ) )
2016, 19opeq12d 3992 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  ->  <. ( R `  ( 1st `  <. F ,  X >. ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  <. F ,  X >. ) ) >.  =  <. ( R `  F ) ,  ( R  o.  X ) >. )
2113, 20eqtrd 2468 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  T  /\  X  e.  E ) )  -> 
( R  .x.  <. F ,  X >. )  =  <. ( R `  F ) ,  ( R  o.  X ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3817    X. cxp 4876    o. ccom 4882   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   .scvsca 13533   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   TEndoctendo 31549   DVecHcdvh 31876
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  31906  dib1dim2  31966  diclspsn  31992  dih1dimatlem  32127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-dvech 31877
  Copyright terms: Public domain W3C validator