Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvsca Unicode version

Theorem dvhvsca 31596
Description: Scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 2-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhfvsca.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dvhfvsca.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dvhfvsca.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhfvsca.s  |-  .x.  =  ( .s `  U )
Assertion
Ref Expression
dvhvsca  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R  .x.  F
)  =  <. ( R `  ( 1st `  F ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  F ) )
>. )

Proof of Theorem dvhvsca
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhfvsca.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvhfvsca.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 dvhfvsca.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 dvhfvsca.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dvhfvsca.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  U )
61, 2, 3, 4, 5dvhfvsca 31595 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( s  e.  E ,  f  e.  ( T  X.  E )  |->  <. (
s `  ( 1st `  f ) ) ,  ( s  o.  ( 2nd `  f ) )
>. ) )
76oveqd 6065 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( R  .x.  F
)  =  ( R ( s  e.  E ,  f  e.  ( T  X.  E )  |->  <.
( s `  ( 1st `  f ) ) ,  ( s  o.  ( 2nd `  f
) ) >. ) F ) )
8 eqid 2412 . . 3  |-  ( s  e.  E ,  f  e.  ( T  X.  E )  |->  <. (
s `  ( 1st `  f ) ) ,  ( s  o.  ( 2nd `  f ) )
>. )  =  (
s  e.  E , 
f  e.  ( T  X.  E )  |->  <.
( s `  ( 1st `  f ) ) ,  ( s  o.  ( 2nd `  f
) ) >. )
98dvhvscaval 31594 . 2  |-  ( ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E ) )  -> 
( R ( s  e.  E ,  f  e.  ( T  X.  E )  |->  <. (
s `  ( 1st `  f ) ) ,  ( s  o.  ( 2nd `  f ) )
>. ) F )  = 
<. ( R `  ( 1st `  F ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  F ) ) >. )
107, 9sylan9eq 2464 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  ( R  e.  E  /\  F  e.  ( T  X.  E
) ) )  -> 
( R  .x.  F
)  =  <. ( R `  ( 1st `  F ) ) ,  ( R  o.  ( 2nd `  F ) )
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   <.cop 3785    X. cxp 4843    o. ccom 4849   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    e. cmpt2 6050   1stc1st 6314   2ndc2nd 6315   .scvsca 13496   LHypclh 30478   LTrncltrn 30595   TEndoctendo 31246   DVecHcdvh 31573
This theorem is referenced by:  dvhopvsca  31597  dvhvscacl  31598  dvhlveclem  31603  diblss  31665  dicvscacl  31686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-plusg 13505  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-dvech 31574
  Copyright terms: Public domain W3C validator