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Theorem dvivthlem1 19894
Description: Lemma for dvivth 19896. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
dvivth.4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
dvivth.5  |-  ( ph  ->  M  <  N )
dvivth.6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
dvivth.7  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
Assertion
Ref Expression
dvivthlem1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y    x, G    x, M, y    x, C, y   
x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hint:    G( y)

Proof of Theorem dvivthlem1
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 10974 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2 dvivth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
31, 2sseldi 3348 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 dvivth.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
51, 4sseldi 3348 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
6 dvivth.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <  N )
73, 5, 6ltled 9223 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
8 dvivth.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
9 cncff 18925 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
1110ffvelrnda 5872 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
12 dvfre 19839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
1310, 1, 12sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
14 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
154, 14eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
1613, 15ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR )
172, 14eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
1813, 17ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )
19 iccssre 10994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) )  C_  RR )
2016, 18, 19syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  N ) [,] (
( RR  _D  F
) `  M )
)  C_  RR )
21 dvivth.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
2220, 21sseldd 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2322adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
2524sselda 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  RR )
2623, 25remulcld 9118 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( C  x.  y )  e.  RR )
2711, 26resubcld 9467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y ) )  e.  RR )
28 dvivth.7 . . . . . . 7  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
2927, 28fmptd 5895 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
30 iccssioo2 10985 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( A (,) B )  /\  N  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
312, 4, 30syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
32 fssres 5612 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( M [,] N )  C_  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR )
3329, 31, 32syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR )
34 ax-resscn 9049 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
36 fss 5601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : ( A (,) B ) --> RR 
/\  RR  C_  CC )  ->  G : ( A (,) B ) --> CC )
3729, 34, 36sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> CC )
3828oveq2i 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  G )  =  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  y
)  -  ( C  x.  y ) ) ) )
39 reex 9083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
4039prid1 3914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
4211recnd 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
4314feq2d 5583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
4413, 43mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> RR )
4544ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  y )  e.  RR )
4610feqmptd 5781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 y ) ) )
4746oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( RR 
_D  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  y ) ) ) )
4844feqmptd 5781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) ) )
4947, 48eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F
) `  y )
) )
5026recnd 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( C  x.  y )  e.  CC )
51 remulcl 9077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y
)  e.  RR )
5222, 51sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y )  e.  RR )
5352recnd 9116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y )  e.  CC )
5422adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
5535sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
56 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
5841dvmptid 19845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
5922recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6041, 55, 57, 58, 59dvmptcmul 19852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( C  x.  1 ) ) )
6159mulid1d 9107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  x.  1 )  =  C )
6261mpteq2dv 4298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( C  x.  1
) )  =  ( y  e.  RR  |->  C ) )
6360, 62eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  C ) )
64 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6564tgioo2 18836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
66 iooretop 18802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
6841, 53, 54, 63, 24, 65, 64, 67dvmptres 19851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )
6941, 42, 45, 49, 50, 23, 68dvmptsub 19855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  y
)  -  ( C  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) )
7038, 69syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C ) ) )
7170dmeqd 5074 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  dom  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) )
72 dmmptg 5369 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C )  e.  _V  ->  dom  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  -  C ) )  =  ( A (,) B
) )
73 ovex 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C )  e.  _V
7473a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C )  e.  _V )
7572, 74mprg 2777 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) )  =  ( A (,) B )
7671, 75syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
77 dvcn 19809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  G : ( A (,) B ) --> CC 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) )  ->  G  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
7835, 37, 24, 76, 77syl31anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
79 rescncf 18929 . . . . . . 7  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( G  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( G  |`  ( M [,] N
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) ) )
8031, 78, 79sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
81 cncffvrn 18930 . . . . . 6  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )  ->  ( ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR )  <-> 
( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR ) )
8234, 80, 81sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  <->  ( G  |`  ( M [,] N
) ) : ( M [,] N ) --> RR ) )
8333, 82mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
843, 5, 7, 83evthicc 19358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( M [,] N
) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  /\  E. x  e.  ( M [,] N ) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  x
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z ) ) )
8584simpld 447 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  x
) )
86 fvres 5747 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( M [,] N )  ->  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
87 fvres 5747 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  ->  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  =  ( G `  x
) )
8886, 87breqan12rd 4230 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  /\  z  e.  ( M [,] N ) )  -> 
( ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  <->  ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
8988ralbidva 2723 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 z )  <_ 
( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  <->  A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )
9089adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  <->  A. z  e.  ( M [,] N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
91 ioossicc 10998 . . . . . 6  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
92 ssralv 3409 . . . . . 6  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
9391, 92ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
)
9490, 93syl6bi 221 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )
9531sselda 3350 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
9644ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  RR )
9795, 96syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  RR )
9897recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  CC )
9998adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  CC )
10059ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
10170fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x
)  =  ( ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) `  x ) )
102101adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x )  =  ( ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) `  x
) )
103 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
104103oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C ) )
105 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) )
106 ovex 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C )  e.  _V
107104, 105, 106fvmpt 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) `  x
)  =  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C ) )
10895, 107syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C ) )
109102, 108eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
110109adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
11129ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1121a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
113 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) N ) )
11491, 31syl5ss 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( A (,) B ) )
115114ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
11695adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
11776ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
118116, 117eleqtrrd 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
119 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
120 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  ( G `  z )  =  ( G `  w ) )
121120breq1d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
( G `  z
)  <_  ( G `  x )  <->  ( G `  w )  <_  ( G `  x )
) )
122121cbvralv 2934 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
123119, 122sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
124111, 112, 113, 115, 118, 123dvferm 19874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  0 )
125110, 124eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C )  =  0 )
12699, 100, 125subeq0d 9421 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
127126exp32 590 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
128 vex 2961 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
129128elpr 3834 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { M ,  N }  <->  ( x  =  M  \/  x  =  N ) )
130109adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
13129ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1321a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
133 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  =  M )
134 eliooord 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  M  /\  M  <  B ) )
1352, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  M  /\  M  <  B ) )
136135simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  <  M )
137 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
138 ndmioo 10945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
139138necon1ai 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
1402, 137, 1393syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
141140simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1425rexrd 9136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
143 elioo2 10959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  N  e.  RR* )  ->  ( M  e.  ( A (,) N )  <->  ( M  e.  RR  /\  A  < 
M  /\  M  <  N ) ) )
144141, 142, 143syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( A (,) N )  <-> 
( M  e.  RR  /\  A  <  M  /\  M  <  N ) ) )
1453, 136, 6, 144mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) N ) )
146145ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  M  e.  ( A (,) N ) )
147133, 146eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) N ) )
148140simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
149 eliooord 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  N  /\  N  <  B ) )
1504, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  N  /\  N  <  B ) )
151150simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  <  B )
152 xrltle 10744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( N  <  B  ->  N  <_  B ) )
153142, 148, 152syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  <  B  ->  N  <_  B )
)
154151, 153mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  <_  B )
155 iooss2 10954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  N  <_  B )  ->  ( A (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
156148, 154, 155syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) N
)  C_  ( A (,) B ) )
157156ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
15895adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
15976ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
160158, 159eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
161 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
162161, 122sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
163133oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( x (,) N )  =  ( M (,) N ) )
164163raleqdv 2912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  ( x (,) N
) ( G `  w )  <_  ( G `  x )  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w )  <_  ( G `  x ) ) )
165162, 164mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( x (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
166131, 132, 147, 157, 160, 165dvferm1 19871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  <_  0
)
167130, 166eqbrtrrd 4236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C )  <_  0
)
16897adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  RR )
16922ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
170168, 169suble0d 9619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C )  <_  0  <->  ( ( RR  _D  F
) `  x )  <_  C ) )
171167, 170mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  <_  C
)
172 elicc2 10977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( ( ( RR 
_D  F ) `  N ) [,] (
( RR  _D  F
) `  M )
)  <->  ( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `
 N )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  M )
) ) )
17316, 18, 172syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( ( RR  _D  F ) `  N
) [,] ( ( RR  _D  F ) `
 M ) )  <-> 
( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C  /\  C  <_  ( ( RR 
_D  F ) `  M ) ) ) )
17421, 173mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C  /\  C  <_  ( ( RR 
_D  F ) `  M ) ) )
175174simp3d 972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  <_  ( ( RR  _D  F ) `  M ) )
176175ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  M )
)
177133fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( RR  _D  F
) `  M )
)
178176, 177breqtrrd 4240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
)
179168, 169letri3d 9217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  C  <->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) )
180171, 178, 179mpbir2and 890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
181180exp32 590 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  =  M  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
182 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  =  N )
183182fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( RR  _D  F
) `  N )
)
184174simp2d 971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C )
185184ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  N )  <_  C
)
186183, 185eqbrtrd 4234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  <_  C
)
18729ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1881a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
1893rexrd 9136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
190 elioo2 10959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( N  e.  ( M (,) B )  <->  ( N  e.  RR  /\  M  < 
N  /\  N  <  B ) ) )
191189, 148, 190syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M (,) B )  <-> 
( N  e.  RR  /\  M  <  N  /\  N  <  B ) ) )
1925, 6, 151, 191mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M (,) B ) )
193192ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  N  e.  ( M (,) B ) )
194182, 193eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) B ) )
195 xrltle 10744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  M  e.  RR* )  ->  ( A  <  M  ->  A  <_  M ) )
196141, 189, 195syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  <  M  ->  A  <_  M )
)
197136, 196mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  M )
198 iooss1 10953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  M )  ->  ( M (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
199141, 197, 198syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
200199ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
20195adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
20276ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
203201, 202eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
204 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
205204, 122sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
206182oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) x )  =  ( M (,) N ) )
207206raleqdv 2912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  ( M (,) x
) ( G `  w )  <_  ( G `  x )  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w )  <_  ( G `  x ) ) )
208205, 207mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) x ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
209187, 188, 194, 200, 203, 208dvferm2 19873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  0  <_  (
( RR  _D  G
) `  x )
)
210109adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
211209, 210breqtrd 4238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  0  <_  (
( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
21297adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  RR )
21322ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
214212, 213subge0d 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( 0  <_ 
( ( ( RR 
_D  F ) `  x )  -  C
)  <->  C  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) ) )
215211, 214mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
)
216212, 213letri3d 9217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  C  <->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) )
217186, 215, 216mpbir2and 890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
218217exp32 590 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  =  N  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
219181, 218jaod 371 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( (
x  =  M  \/  x  =  N )  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) ) )
220129, 219syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  { M ,  N }  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) ) )
221 elun 3490 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( M (,) N )  u. 
{ M ,  N } )  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } ) )
222 prunioo 11027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  (
( M (,) N
)  u.  { M ,  N } )  =  ( M [,] N
) )
223189, 142, 7, 222syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  u.  { M ,  N }
)  =  ( M [,] N ) )
224223eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( M (,) N
)  u.  { M ,  N } )  <->  x  e.  ( M [,] N ) ) )
225221, 224syl5bbr 252 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } )  <->  x  e.  ( M [,] N ) ) )
226225biimpar 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } ) )
227127, 220, 226mpjaod 372 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) )
22894, 227syld 43 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  -> 
( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) )
229228reximdva 2820 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( M [,] N
) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  ->  E. x  e.  ( M [,] N
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C ) )
23085, 229mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {cpr 3817   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   (,)cioo 10918   [,]cicc 10921   TopOpenctopn 13651   topGenctg 13667  ℂfldccnfld 16705   -cn->ccncf 18908    _D cdv 19752
This theorem is referenced by:  dvivthlem2  19895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756
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