MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvivthlem1 Unicode version

Theorem dvivthlem1 19371
Description: Lemma for dvivth 19373. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
dvivth.4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
dvivth.5  |-  ( ph  ->  M  <  N )
dvivth.6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
dvivth.7  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
Assertion
Ref Expression
dvivthlem1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y    x, G    x, M, y    x, C, y   
x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hint:    G( y)

Proof of Theorem dvivthlem1
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 10728 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2 dvivth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
31, 2sseldi 3191 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 dvivth.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
51, 4sseldi 3191 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
6 dvivth.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <  N )
73, 5, 6ltled 8983 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
8 dvivth.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
9 cncff 18413 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
108, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
11 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
1210, 11sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
13 dvfre 19316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
1410, 1, 13sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
15 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
164, 15eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
17 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR 
/\  N  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  N )  e.  RR )
1814, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR )
192, 15eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
20 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR 
/\  M  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  M )  e.  RR )
2114, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )
22 iccssre 10747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) )  C_  RR )
2318, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  N ) [,] (
( RR  _D  F
) `  M )
)  C_  RR )
24 dvivth.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
2523, 24sseldd 3194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2625adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
271a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
2827sselda 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  RR )
2926, 28remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( C  x.  y )  e.  RR )
3012, 29resubcld 9227 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y ) )  e.  RR )
31 dvivth.7 . . . . . . 7  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
3230, 31fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
33 iccssioo2 10738 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( A (,) B )  /\  N  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
342, 4, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
35 fssres 5424 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( M [,] N )  C_  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR )
3632, 34, 35syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR )
37 ax-resscn 8810 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
3837a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
39 fss 5413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : ( A (,) B ) --> RR 
/\  RR  C_  CC )  ->  G : ( A (,) B ) --> CC )
4032, 37, 39sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> CC )
4131oveq2i 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  G )  =  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  y
)  -  ( C  x.  y ) ) ) )
42 reex 8844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
4342prid1 3747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4443a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
4512recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
4615feq2d 5396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
4714, 46mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> RR )
48 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> RR 
/\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  y )  e.  RR )
4947, 48sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  y )  e.  RR )
5010feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 y ) ) )
5150oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( RR 
_D  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  y ) ) ) )
5247feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) ) )
5351, 52eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F
) `  y )
) )
5429recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( C  x.  y )  e.  CC )
55 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y
)  e.  RR )
5625, 55sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y )  e.  RR )
5756recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y )  e.  CC )
5825adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
5938sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
60 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
6244dvmptid 19322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
6325recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6444, 59, 61, 62, 63dvmptcmul 19329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( C  x.  1 ) ) )
6563mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  x.  1 )  =  C )
6665mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( C  x.  1
) )  =  ( y  e.  RR  |->  C ) )
6764, 66eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  C ) )
68 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6968tgioo2 18325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
70 iooretop 18291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
7170a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
7244, 57, 58, 67, 27, 69, 68, 71dvmptres 19328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )
7344, 45, 49, 53, 54, 26, 72dvmptsub 19332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  y
)  -  ( C  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) )
7441, 73syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C ) ) )
7574dmeqd 4897 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  dom  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) )
76 dmmptg 5186 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C )  e.  _V  ->  dom  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  -  C ) )  =  ( A (,) B
) )
77 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C )  e.  _V
7877a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C )  e.  _V )
7976, 78mprg 2625 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) )  =  ( A (,) B )
8075, 79syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
81 dvcn 19286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  G : ( A (,) B ) --> CC 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) )  ->  G  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
8238, 40, 27, 80, 81syl31anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
83 rescncf 18417 . . . . . . 7  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( G  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( G  |`  ( M [,] N
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) ) )
8434, 82, 83sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
85 cncffvrn 18418 . . . . . 6  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )  ->  ( ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR )  <-> 
( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR ) )
8637, 84, 85sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  <->  ( G  |`  ( M [,] N
) ) : ( M [,] N ) --> RR ) )
8736, 86mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
883, 5, 7, 87evthicc 18835 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( M [,] N
) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  /\  E. x  e.  ( M [,] N ) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  x
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z ) ) )
8988simpld 445 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  x
) )
90 fvres 5558 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( M [,] N )  ->  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
91 fvres 5558 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  ->  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  =  ( G `  x
) )
9290, 91breqan12rd 4055 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  /\  z  e.  ( M [,] N ) )  -> 
( ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  <->  ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
9392ralbidva 2572 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 z )  <_ 
( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  <->  A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )
9493adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  <->  A. z  e.  ( M [,] N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
95 ioossicc 10751 . . . . . 6  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
96 ssralv 3250 . . . . . 6  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
9795, 96ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
)
9894, 97syl6bi 219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )
9934sselda 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
100 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> RR 
/\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  RR )
10147, 100sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  RR )
10299, 101syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  RR )
103102recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  CC )
104103adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  CC )
10563ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
10674fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x
)  =  ( ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) `  x ) )
107106adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x )  =  ( ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) `  x
) )
108 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
109108oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C ) )
110 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) )
111 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C )  e.  _V
112109, 110, 111fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) `  x
)  =  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C ) )
11399, 112syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C ) )
114107, 113eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
115114adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
11632ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1171a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
118 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) N ) )
11995, 34syl5ss 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( A (,) B ) )
120119ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
12199adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
12280ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
123121, 122eleqtrrd 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
124 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
125 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  ( G `  z )  =  ( G `  w ) )
126125breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
( G `  z
)  <_  ( G `  x )  <->  ( G `  w )  <_  ( G `  x )
) )
127126cbvralv 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
128124, 127sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
129116, 117, 118, 120, 123, 128dvferm 19351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  0 )
130115, 129eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C )  =  0 )
131104, 105, 130subeq0d 9181 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
132131exp32 588 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
133 vex 2804 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
134133elpr 3671 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { M ,  N }  <->  ( x  =  M  \/  x  =  N ) )
135114adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
13632ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1371a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
138 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  =  M )
139 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  M  /\  M  <  B ) )
1402, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  M  /\  M  <  B ) )
141140simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  <  M )
142 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
143 ndmioo 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
144143necon1ai 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
1452, 142, 1443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
146145simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1475rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
148 elioo2 10713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  N  e.  RR* )  ->  ( M  e.  ( A (,) N )  <->  ( M  e.  RR  /\  A  < 
M  /\  M  <  N ) ) )
149146, 147, 148syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( A (,) N )  <-> 
( M  e.  RR  /\  A  <  M  /\  M  <  N ) ) )
1503, 141, 6, 149mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) N ) )
151150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  M  e.  ( A (,) N ) )
152138, 151eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) N ) )
153145simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
154 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  N  /\  N  <  B ) )
1554, 154syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  N  /\  N  <  B ) )
156155simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  <  B )
157 xrltle 10499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( N  <  B  ->  N  <_  B ) )
158147, 153, 157syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  <  B  ->  N  <_  B )
)
159156, 158mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  <_  B )
160 iooss2 10708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  N  <_  B )  ->  ( A (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
161153, 159, 160syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) N
)  C_  ( A (,) B ) )
162161ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
16399adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
16480ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
165163, 164eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
166 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
167166, 127sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
168138oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( x (,) N )  =  ( M (,) N ) )
169168raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  ( x (,) N
) ( G `  w )  <_  ( G `  x )  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w )  <_  ( G `  x ) ) )
170167, 169mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( x (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
171136, 137, 152, 162, 165, 170dvferm1 19348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  <_  0
)
172135, 171eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C )  <_  0
)
173102adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  RR )
17425ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
175173, 174suble0d 9379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C )  <_  0  <->  ( ( RR  _D  F
) `  x )  <_  C ) )
176172, 175mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  <_  C
)
177 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( ( ( RR 
_D  F ) `  N ) [,] (
( RR  _D  F
) `  M )
)  <->  ( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `
 N )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  M )
) ) )
17818, 21, 177syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( ( RR  _D  F ) `  N
) [,] ( ( RR  _D  F ) `
 M ) )  <-> 
( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C  /\  C  <_  ( ( RR 
_D  F ) `  M ) ) ) )
17924, 178mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C  /\  C  <_  ( ( RR 
_D  F ) `  M ) ) )
180179simp3d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  <_  ( ( RR  _D  F ) `  M ) )
181180ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  M )
)
182138fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( RR  _D  F
) `  M )
)
183181, 182breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
)
184173, 174letri3d 8977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  C  <->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) )
185176, 183, 184mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
186185exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  =  M  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
187 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  =  N )
188187fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( RR  _D  F
) `  N )
)
189179simp2d 968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C )
190189ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  N )  <_  C
)
191188, 190eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  <_  C
)
19232ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1931a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
1943rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
195 elioo2 10713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( N  e.  ( M (,) B )  <->  ( N  e.  RR  /\  M  < 
N  /\  N  <  B ) ) )
196194, 153, 195syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M (,) B )  <-> 
( N  e.  RR  /\  M  <  N  /\  N  <  B ) ) )
1975, 6, 156, 196mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M (,) B ) )
198197ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  N  e.  ( M (,) B ) )
199187, 198eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) B ) )
200 xrltle 10499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  M  e.  RR* )  ->  ( A  <  M  ->  A  <_  M ) )
201146, 194, 200syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  <  M  ->  A  <_  M )
)
202141, 201mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  M )
203 iooss1 10707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  M )  ->  ( M (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
204146, 202, 203syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
205204ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
20699adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
20780ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
208206, 207eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
209 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
210209, 127sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
211187oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) x )  =  ( M (,) N ) )
212211raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  ( M (,) x
) ( G `  w )  <_  ( G `  x )  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w )  <_  ( G `  x ) ) )
213210, 212mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) x ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
214192, 193, 199, 205, 208, 213dvferm2 19350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  0  <_  (
( RR  _D  G
) `  x )
)
215114adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
216214, 215breqtrd 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  0  <_  (
( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
217102adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  RR )
21825ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
219217, 218subge0d 9378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( 0  <_ 
( ( ( RR 
_D  F ) `  x )  -  C
)  <->  C  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) ) )
220216, 219mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
)
221217, 218letri3d 8977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  C  <->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) )
222191, 220, 221mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
223222exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  =  N  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
224186, 223jaod 369 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( (
x  =  M  \/  x  =  N )  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) ) )
225134, 224syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  { M ,  N }  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) ) )
226 elun 3329 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( M (,) N )  u. 
{ M ,  N } )  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } ) )
227 prunioo 10780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  (
( M (,) N
)  u.  { M ,  N } )  =  ( M [,] N
) )
228194, 147, 7, 227syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  u.  { M ,  N }
)  =  ( M [,] N ) )
229228eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( M (,) N
)  u.  { M ,  N } )  <->  x  e.  ( M [,] N ) ) )
230226, 229syl5bbr 250 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } )  <->  x  e.  ( M [,] N ) ) )
231230biimpar 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } ) )
232132, 225, 231mpjaod 370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) )
23398, 232syld 40 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  -> 
( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) )
234233reximdva 2668 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( M [,] N
) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  ->  E. x  e.  ( M [,] N
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C ) )
23589, 234mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   TopOpenctopn 13342   topGenctg 13358  ℂfldccnfld 16393   -cn->ccncf 18396    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  dvivthlem2  19372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator