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Theorem dvivthlem1 19355
Description: Lemma for dvivth 19357. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
dvivth.4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
dvivth.5  |-  ( ph  ->  M  <  N )
dvivth.6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
dvivth.7  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
Assertion
Ref Expression
dvivthlem1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y    x, G    x, M, y    x, C, y   
x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hint:    G( y)

Proof of Theorem dvivthlem1
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 10712 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2 dvivth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
31, 2sseldi 3178 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 dvivth.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
51, 4sseldi 3178 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
6 dvivth.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <  N )
73, 5, 6ltled 8967 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
8 dvivth.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
9 cncff 18397 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
108, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
11 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
1210, 11sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
13 dvfre 19300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
1410, 1, 13sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
15 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
164, 15eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
17 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR 
/\  N  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  N )  e.  RR )
1814, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR )
192, 15eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
20 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR 
/\  M  e.  dom  ( RR  _D  F
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  M )  e.  RR )
2114, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )
22 iccssre 10731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) )  C_  RR )
2318, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  N ) [,] (
( RR  _D  F
) `  M )
)  C_  RR )
24 dvivth.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
2523, 24sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2625adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
271a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
2827sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  RR )
2926, 28remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( C  x.  y )  e.  RR )
3012, 29resubcld 9211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y ) )  e.  RR )
31 dvivth.7 . . . . . . 7  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
3230, 31fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
33 iccssioo2 10722 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( A (,) B )  /\  N  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
342, 4, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
35 fssres 5408 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( M [,] N )  C_  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR )
3632, 34, 35syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR )
37 ax-resscn 8794 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
3837a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
39 fss 5397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : ( A (,) B ) --> RR 
/\  RR  C_  CC )  ->  G : ( A (,) B ) --> CC )
4032, 37, 39sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> CC )
4131oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  G )  =  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  y
)  -  ( C  x.  y ) ) ) )
42 reex 8828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
4342prid1 3734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4443a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
4512recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
4615feq2d 5380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
4714, 46mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> RR )
48 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> RR 
/\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  y )  e.  RR )
4947, 48sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  y )  e.  RR )
5010feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 y ) ) )
5150oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( RR 
_D  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  y ) ) ) )
5247feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F ) `
 y ) ) )
5351, 52eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F
) `  y )
) )
5429recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( C  x.  y )  e.  CC )
55 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y
)  e.  RR )
5625, 55sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y )  e.  RR )
5756recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( C  x.  y )  e.  CC )
5825adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
5938sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
60 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
6244dvmptid 19306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
6325recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6444, 59, 61, 62, 63dvmptcmul 19313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( C  x.  1 ) ) )
6563mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  x.  1 )  =  C )
6665mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( C  x.  1
) )  =  ( y  e.  RR  |->  C ) )
6764, 66eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  C ) )
68 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6968tgioo2 18309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
70 iooretop 18275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
7170a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
7244, 57, 58, 67, 27, 69, 68, 71dvmptres 19312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( C  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )
7344, 45, 49, 53, 54, 26, 72dvmptsub 19316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  y
)  -  ( C  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) )
7441, 73syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C ) ) )
7574dmeqd 4881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  dom  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) )
76 dmmptg 5170 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C )  e.  _V  ->  dom  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  -  C ) )  =  ( A (,) B
) )
77 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C )  e.  _V
7877a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C )  e.  _V )
7976, 78mprg 2612 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) )  =  ( A (,) B )
8075, 79syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
81 dvcn 19270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  G : ( A (,) B ) --> CC 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) )  ->  G  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
8238, 40, 27, 80, 81syl31anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
83 rescncf 18401 . . . . . . 7  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( G  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( G  |`  ( M [,] N
) )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) ) )
8434, 82, 83sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )
85 cncffvrn 18402 . . . . . 6  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) )  ->  ( ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR )  <-> 
( G  |`  ( M [,] N ) ) : ( M [,] N ) --> RR ) )
8637, 84, 85sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> RR )  <->  ( G  |`  ( M [,] N
) ) : ( M [,] N ) --> RR ) )
8736, 86mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> RR ) )
883, 5, 7, 87evthicc 18819 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( M [,] N
) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  /\  E. x  e.  ( M [,] N ) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  x
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z ) ) )
8988simpld 445 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  x
) )
90 fvres 5542 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( M [,] N )  ->  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
91 fvres 5542 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  ->  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  =  ( G `  x
) )
9290, 91breqan12rd 4039 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( M [,] N )  /\  z  e.  ( M [,] N ) )  -> 
( ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  <->  ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
9392ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M [,] N )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 z )  <_ 
( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  <->  A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )
9493adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  <->  A. z  e.  ( M [,] N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
95 ioossicc 10735 . . . . . 6  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
96 ssralv 3237 . . . . . 6  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
) )
9795, 96ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )
)
9894, 97syl6bi 219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )
9934sselda 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
100 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> RR 
/\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  RR )
10147, 100sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  RR )
10299, 101syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  RR )
103102recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  CC )
104103adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  CC )
10563ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
10674fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x
)  =  ( ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) `  x ) )
107106adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x )  =  ( ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) `  x
) )
108 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  y )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
109108oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C ) )
110 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  -  C ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) )
111 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C )  e.  _V
112109, 110, 111fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  -  C
) ) `  x
)  =  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C ) )
11399, 112syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( (
y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  -  C ) ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C ) )
114107, 113eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
115114adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
11632ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1171a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
118 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) N ) )
11995, 34syl5ss 3190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( A (,) B ) )
120119ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
12199adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
12280ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
123121, 122eleqtrrd 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
124 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
125 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  ( G `  z )  =  ( G `  w ) )
126125breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
( G `  z
)  <_  ( G `  x )  <->  ( G `  w )  <_  ( G `  x )
) )
127126cbvralv 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
128124, 127sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
129116, 117, 118, 120, 123, 128dvferm 19335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  0 )
130115, 129eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C )  =  0 )
131104, 105, 130subeq0d 9165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  e.  ( M (,) N )  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
132131exp32 588 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
133 vex 2791 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
134133elpr 3658 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { M ,  N }  <->  ( x  =  M  \/  x  =  N ) )
135114adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
13632ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1371a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
138 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  =  M )
139 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  M  /\  M  <  B ) )
1402, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  M  /\  M  <  B ) )
141140simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  <  M )
142 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
143 ndmioo 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
144143necon1ai 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
1452, 142, 1443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
146145simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1475rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
148 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  N  e.  RR* )  ->  ( M  e.  ( A (,) N )  <->  ( M  e.  RR  /\  A  < 
M  /\  M  <  N ) ) )
149146, 147, 148syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( A (,) N )  <-> 
( M  e.  RR  /\  A  <  M  /\  M  <  N ) ) )
1503, 141, 6, 149mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) N ) )
151150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  M  e.  ( A (,) N ) )
152138, 151eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) N ) )
153145simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
154 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  N  /\  N  <  B ) )
1554, 154syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  <  N  /\  N  <  B ) )
156155simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  <  B )
157 xrltle 10483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( N  <  B  ->  N  <_  B ) )
158147, 153, 157syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  <  B  ->  N  <_  B )
)
159156, 158mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  <_  B )
160 iooss2 10692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  N  <_  B )  ->  ( A (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
161153, 159, 160syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) N
)  C_  ( A (,) B ) )
162161ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) N )  C_  ( A (,) B ) )
16399adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
16480ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
165163, 164eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
166 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
167166, 127sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
168138oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( x (,) N )  =  ( M (,) N ) )
169168raleqdv 2742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  ( x (,) N
) ( G `  w )  <_  ( G `  x )  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w )  <_  ( G `  x ) ) )
170167, 169mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( x (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
171136, 137, 152, 162, 165, 170dvferm1 19332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  <_  0
)
172135, 171eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  -  C )  <_  0
)
173102adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  RR )
17425ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
175173, 174suble0d 9363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  -  C )  <_  0  <->  ( ( RR  _D  F
) `  x )  <_  C ) )
176172, 175mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  <_  C
)
177 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  N
)  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  M
)  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( ( ( RR 
_D  F ) `  N ) [,] (
( RR  _D  F
) `  M )
)  <->  ( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `
 N )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  M )
) ) )
17818, 21, 177syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( ( RR  _D  F ) `  N
) [,] ( ( RR  _D  F ) `
 M ) )  <-> 
( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C  /\  C  <_  ( ( RR 
_D  F ) `  M ) ) ) )
17924, 178mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C  /\  C  <_  ( ( RR 
_D  F ) `  M ) ) )
180179simp3d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  <_  ( ( RR  _D  F ) `  M ) )
181180ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  M )
)
182138fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( RR  _D  F
) `  M )
)
183181, 182breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
)
184173, 174letri3d 8961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  C  <->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) )
185176, 183, 184mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  M  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
186185exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  =  M  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
187 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  =  N )
188187fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( RR  _D  F
) `  N )
)
189179simp2d 968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  N
)  <_  C )
190189ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  N )  <_  C
)
191188, 190eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  <_  C
)
19232ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
1931a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
1943rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
195 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( N  e.  ( M (,) B )  <->  ( N  e.  RR  /\  M  < 
N  /\  N  <  B ) ) )
196194, 153, 195syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M (,) B )  <-> 
( N  e.  RR  /\  M  <  N  /\  N  <  B ) ) )
1975, 6, 156, 196mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M (,) B ) )
198197ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  N  e.  ( M (,) B ) )
199187, 198eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M (,) B ) )
200 xrltle 10483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  M  e.  RR* )  ->  ( A  <  M  ->  A  <_  M ) )
201146, 194, 200syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  <  M  ->  A  <_  M )
)
202141, 201mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  M )
203 iooss1 10691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  M )  ->  ( M (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
204146, 202, 203syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
205204ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
20699adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
20780ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
208206, 207eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
209 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z
)  <_  ( G `  x ) )
210209, 127sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
211187oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( M (,) x )  =  ( M (,) N ) )
212211raleqdv 2742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( A. w  e.  ( M (,) x
) ( G `  w )  <_  ( G `  x )  <->  A. w  e.  ( M (,) N ) ( G `  w )  <_  ( G `  x ) ) )
213210, 212mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  A. w  e.  ( M (,) x ) ( G `  w
)  <_  ( G `  x ) )
214192, 193, 199, 205, 208, 213dvferm2 19334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  0  <_  (
( RR  _D  G
) `  x )
)
215114adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  G ) `  x )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
216214, 215breqtrd 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  0  <_  (
( ( RR  _D  F ) `  x
)  -  C ) )
217102adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  e.  RR )
21825ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
219217, 218subge0d 9362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( 0  <_ 
( ( ( RR 
_D  F ) `  x )  -  C
)  <->  C  <_  ( ( RR  _D  F ) `
 x ) ) )
220216, 219mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
)
221217, 218letri3d 8961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  C  <->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 x )  <_  C  /\  C  <_  (
( RR  _D  F
) `  x )
) ) )
222191, 220, 221mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M [,] N
) )  /\  (
x  =  N  /\  A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `  z )  <_  ( G `  x ) ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C )
223222exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  =  N  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) ) )
224186, 223jaod 369 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( (
x  =  M  \/  x  =  N )  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) ) )
225134, 224syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  { M ,  N }  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N
) ( G `  z )  <_  ( G `  x )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) ) )
226 elun 3316 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( M (,) N )  u. 
{ M ,  N } )  <->  ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } ) )
227 prunioo 10764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  (
( M (,) N
)  u.  { M ,  N } )  =  ( M [,] N
) )
228194, 147, 7, 227syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  u.  { M ,  N }
)  =  ( M [,] N ) )
229228eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( M (,) N
)  u.  { M ,  N } )  <->  x  e.  ( M [,] N ) ) )
230226, 229syl5bbr 250 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } )  <->  x  e.  ( M [,] N ) ) )
231230biimpar 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( x  e.  ( M (,) N
)  \/  x  e. 
{ M ,  N } ) )
232132, 225, 231mpjaod 370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M (,) N ) ( G `
 z )  <_ 
( G `  x
)  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  =  C ) )
23398, 232syld 40 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( A. z  e.  ( M [,] N ) ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  z )  <_  (
( G  |`  ( M [,] N ) ) `
 x )  -> 
( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C ) )
234233reximdva 2655 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( M [,] N
) A. z  e.  ( M [,] N
) ( ( G  |`  ( M [,] N
) ) `  z
)  <_  ( ( G  |`  ( M [,] N ) ) `  x )  ->  E. x  e.  ( M [,] N
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C ) )
23589, 234mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377   -cn->ccncf 18380    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvivthlem2  19356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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