MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvivthlem2 Unicode version

Theorem dvivthlem2 19372
Description: Lemma for dvivth 19373. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
dvivth.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
dvivth.4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
dvivth.5  |-  ( ph  ->  M  <  N )
dvivth.6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
dvivth.7  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
Assertion
Ref Expression
dvivthlem2  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( RR  _D  F ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, F    y, M    y, C    y, N    ph, y
Allowed substitution hint:    G( y)

Proof of Theorem dvivthlem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvivth.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( A (,) B ) )
2 dvivth.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( A (,) B ) )
3 dvivth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
4 dvivth.4 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
5 dvivth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  <  N )
6 dvivth.6 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( RR  _D  F
) `  N ) [,] ( ( RR  _D  F ) `  M
) ) )
7 dvivth.7 . . 3  |-  G  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  y )  -  ( C  x.  y )
) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvivthlem1 19371 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( M [,] N ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  C )
9 dvf 19273 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  F ) : dom  ( RR  _D  F ) --> CC
104feq2d 5396 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> CC  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
119, 10mpbii 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
12 ffn 5405 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> CC  ->  ( RR  _D  F )  Fn  ( A (,) B ) )
1311, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  Fn  ( A (,) B ) )
1413adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( RR  _D  F )  Fn  ( A (,) B ) )
15 iccssioo2 10738 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( A (,) B )  /\  N  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
161, 2, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  ( A (,) B ) )
1716sselda 3193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
18 fnfvelrn 5678 . . . . 5  |-  ( ( ( RR  _D  F
)  Fn  ( A (,) B )  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( RR  _D  F ) `  x
)  e.  ran  ( RR  _D  F ) )
1914, 17, 18syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  ran  ( RR  _D  F
) )
20 eleq1 2356 . . . 4  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  C  ->  ( ( ( RR  _D  F
) `  x )  e.  ran  ( RR  _D  F )  <->  C  e.  ran  ( RR  _D  F
) ) )
2119, 20syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( (
( RR  _D  F
) `  x )  =  C  ->  C  e. 
ran  ( RR  _D  F ) ) )
2221rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( M [,] N
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  C  ->  C  e.  ran  ( RR  _D  F
) ) )
238, 22mpd 14 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ran  ( RR  _D  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    x. cmul 8758    < clt 8883    - cmin 9053   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   -cn->ccncf 18396    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  dvivth  19373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator