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Theorem dvlip2 19884
Description: Combine the results of dvlip 19882 and dvlipcn 19883 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvlip2.j  |-  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
dvlip2.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvlip2.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvlip2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
dvlip2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
dvlip2.b  |-  B  =  ( A ( ball `  J ) R )
dvlip2.d  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F ) )
dvlip2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
dvlip2.l  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x ) )  <_  M )
Assertion
Ref Expression
dvlip2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, J    ph, x    x, M    x, R    x, S    x, Y    x, Z
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem dvlip2
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlip2.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
2 cnxmet 18812 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
3 dvlip2.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
4 recnprss 19796 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 xmetres2 18396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( * Met `  S ) )
72, 5, 6sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( * Met `  S ) )
81, 7syl5eqel 2522 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ( * Met `  S ) )
98ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  J  e.  ( * Met `  S
) )
10 dvlip2.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
1110ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  A  e.  S )
12 simplrr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  B )
13 dvlip2.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( A ( ball `  J ) R )
1412, 13syl6eleq 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  ( A ( ball `  J ) R ) )
15 dvlip2.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
1615ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  R  e. 
RR* )
17 elbl 18423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( Z  e.  S  /\  ( A J Z )  < 
R ) ) )
189, 11, 16, 17syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z  e.  ( A (
ball `  J ) R )  <->  ( Z  e.  S  /\  ( A J Z )  < 
R ) ) )
1914, 18mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z  e.  S  /\  ( A J Z )  < 
R ) )
2019simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  S )
21 xmetcl 18366 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Z  e.  S
)  ->  ( A J Z )  e.  RR* )
229, 11, 20, 21syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  e. 
RR* )
23 simplrl 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  B )
2423, 13syl6eleq 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  ( A ( ball `  J ) R ) )
25 elbl 18423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( Y  e.  S  /\  ( A J Y )  < 
R ) ) )
269, 11, 16, 25syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y  e.  ( A (
ball `  J ) R )  <->  ( Y  e.  S  /\  ( A J Y )  < 
R ) ) )
2724, 26mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y  e.  S  /\  ( A J Y )  < 
R ) )
2827simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  S )
29 xmetcl 18366 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( A J Y )  e.  RR* )
309, 11, 28, 29syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  e. 
RR* )
31 ifcl 3777 . . . . 5  |-  ( ( ( A J Z )  e.  RR*  /\  ( A J Y )  e. 
RR* )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  e.  RR* )
3222, 30, 31syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  e. 
RR* )
3319simprd 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  < 
R )
3427simprd 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  < 
R )
35 breq1 4218 . . . . . 6  |-  ( ( A J Z )  =  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  -> 
( ( A J Z )  <  R  <->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R ) )
36 breq1 4218 . . . . . 6  |-  ( ( A J Y )  =  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  -> 
( ( A J Y )  <  R  <->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R ) )
3735, 36ifboth 3772 . . . . 5  |-  ( ( ( A J Z )  <  R  /\  ( A J Y )  <  R )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R )
3833, 34, 37syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
R )
39 qbtwnxr 10791 . . . 4  |-  ( ( if ( ( A J Y )  <_ 
( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  e.  RR*  /\  R  e.  RR*  /\  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R )  ->  E. r  e.  QQ  ( if ( ( A J Y )  <_ 
( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  /\  r  <  R ) )
4032, 16, 38, 39syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  E. r  e.  QQ  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
r  /\  r  <  R ) )
41 qre 10584 . . . . 5  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
4230adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A J Y )  e. 
RR* )
4322adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A J Z )  e. 
RR* )
44 rexr 9135 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  RR* )
4544adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  r  e.  RR* )
46 xrmaxlt 10774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A J Y )  e.  RR*  /\  ( A J Z )  e. 
RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  <->  ( ( A J Y )  < 
r  /\  ( A J Z )  <  r
) ) )
4742, 43, 45, 46syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  <->  ( ( A J Y )  < 
r  /\  ( A J Z )  <  r
) ) )
48 ioossicc 11001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  C_  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
)
49 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  S  =  RR )
5028, 49eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  RR )
5150ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  e.  RR )
52 xmetsym 18382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( A J Y )  =  ( Y J A ) )
539, 11, 28, 52syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  =  ( Y J A ) )
5449, 49xpeq12d 4906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( S  X.  S )  =  ( RR  X.  RR ) )
5554reseq2d 5149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
561, 55syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
5756oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y J A )  =  ( Y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A ) )
5811, 49eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  A  e.  RR )
59 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
6059remetdval 18825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( Y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Y  -  A )
) )
6150, 58, 60syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Y  -  A ) ) )
6253, 57, 613eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  =  ( abs `  ( Y  -  A )
) )
6362ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Y )  =  ( abs `  ( Y  -  A )
) )
64 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Y )  < 
r )
6563, 64eqbrtrrd 4237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( Y  -  A ) )  < 
r )
6658ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  A  e.  RR )
67 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  r  e.  RR )
6851, 66, 67absdifltd 12241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( abs `  ( Y  -  A )
)  <  r  <->  ( ( A  -  r )  <  Y  /\  Y  < 
( A  +  r ) ) ) )
6965, 68mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
)  <  Y  /\  Y  <  ( A  +  r ) ) )
7069simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  <  Y )
7169simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  <  ( A  +  r ) )
7266, 67resubcld 9470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR )
7372rexrd 9139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR* )
7466, 67readdcld 9120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  +  r )  e.  RR )
7574rexrd 9139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  +  r )  e.  RR* )
76 elioo2 10962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR*  /\  ( A  +  r )  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Y  /\  Y  <  ( A  +  r ) ) ) )
7773, 75, 76syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( Y  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Y  /\  Y  <  ( A  +  r ) ) ) )
7851, 70, 71, 77mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
7948, 78sseldi 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )
80 fvres 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  =  ( F `  Y ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  =  ( F `  Y ) )
8220, 49eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  RR )
8382ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  e.  RR )
84 xmetsym 18382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Z  e.  S
)  ->  ( A J Z )  =  ( Z J A ) )
859, 11, 20, 84syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  =  ( Z J A ) )
8656oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z J A )  =  ( Z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A ) )
8759remetdval 18825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( Z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Z  -  A )
) )
8882, 58, 87syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Z  -  A ) ) )
8985, 86, 883eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  =  ( abs `  ( Z  -  A )
) )
9089ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Z )  =  ( abs `  ( Z  -  A )
) )
91 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Z )  < 
r )
9290, 91eqbrtrrd 4237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( Z  -  A ) )  < 
r )
9383, 66, 67absdifltd 12241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( abs `  ( Z  -  A )
)  <  r  <->  ( ( A  -  r )  <  Z  /\  Z  < 
( A  +  r ) ) ) )
9492, 93mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
)  <  Z  /\  Z  <  ( A  +  r ) ) )
9594simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  <  Z )
9694simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  <  ( A  +  r ) )
97 elioo2 10962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR*  /\  ( A  +  r )  e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Z  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Z  /\  Z  <  ( A  +  r ) ) ) )
9873, 75, 97syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( Z  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Z  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Z  /\  Z  <  ( A  +  r ) ) ) )
9983, 95, 96, 98mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
10048, 99sseldi 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )
101 fvres 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z )  =  ( F `  Z ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z )  =  ( F `  Z ) )
10381, 102oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) `  Y
)  -  ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) )  =  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )
104103fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  -  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z ) ) ) )
1059ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  J  e.  ( * Met `  S ) )
106 elicc2 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR  /\  ( A  +  r
)  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
)  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  -  r )  <_  x  /\  x  <_  ( A  +  r )
) ) )
10772, 74, 106syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  -  r )  <_  x  /\  x  <_  ( A  +  r )
) ) )
108107biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( A  -  r
)  <_  x  /\  x  <_  ( A  +  r ) ) )
109108simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  RR )
11049ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  S  =  RR )
111109, 110eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  S )
11211ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  A  e.  S )
113 xmetcl 18366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  x  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  ( x J A )  e.  RR* )
114105, 111, 112, 113syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  e.  RR* )
11567adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
r  e.  RR )
116115rexrd 9139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
r  e.  RR* )
11716ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  R  e.  RR* )
11856ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
119118oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  =  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) A ) )
12066adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  A  e.  RR )
12159remetdval 18825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  (
x  -  A ) ) )
122109, 120, 121syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  (
x  -  A ) ) )
123119, 122eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  =  ( abs `  ( x  -  A
) ) )
124108simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( A  -  r
)  <_  x )
125108simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  <_  ( A  +  r ) )
126109, 120, 115absdifled 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( abs `  (
x  -  A ) )  <_  r  <->  ( ( A  -  r )  <_  x  /\  x  <_ 
( A  +  r ) ) ) )
127124, 125, 126mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  A ) )  <_  r )
128123, 127eqbrtrd 4235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  <_  r )
129 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
r  <  R )
130114, 116, 117, 128, 129xrlelttrd 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  <  R )
131 elbl3 18427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  ( * Met `  S
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( x  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( x J A )  <  R
) )
132105, 117, 112, 111, 131syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( x J A )  <  R
) )
133130, 132mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  ( A
( ball `  J ) R ) )
134133ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  ->  x  e.  ( A
( ball `  J ) R ) ) )
135134ssrdv 3356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  ( A (
ball `  J ) R ) )
136135, 13syl6sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  B )
137 resabs1 5178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  B  ->  (
( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  =  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  =  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )
139 ax-resscn 9052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  RR  C_  CC )
141 dvlip2.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
142141ad4antr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  F : X --> CC )
143 dvlip2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F ) )
144 dvlip2.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
1455, 141, 144dvbss 19793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  X
)
146143, 145sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  C_  X )
147146ad4antr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  B  C_  X )
148 fssres 5613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : X --> CC  /\  B  C_  X )  -> 
( F  |`  B ) : B --> CC )
149142, 147, 148syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> CC )
150 blssm 18453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  J ) R ) 
C_  S )
1519, 11, 16, 150syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A ( ball `  J
) R )  C_  S )
15213, 151syl5eqss 3394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  S )
153152, 49sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  RR )
154153ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  B  C_  RR )
155139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  RR  C_  CC )
156141ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  F : X
--> CC )
157144ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  X  C_  S )
158157, 49sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  X  C_  RR )
159 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
160159tgioo2 18839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
161159, 160dvres 19803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  F : X --> CC )  /\  ( X  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  B )
) )
162155, 156, 158, 153, 161syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  B )
) )
163 retop 18800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
16456fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ball `  J )  =  (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
165164oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A ( ball `  J
) R )  =  ( A ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) R ) )
16613, 165syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  =  ( A ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) R ) )
16756, 9eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  S
) )
168 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
16959, 168tgioo 18832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
170169blopn 18535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e. 
RR* )  ->  ( A ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) R )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
171167, 11, 16, 170syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) R )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
172166, 171eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
173 isopn3i 17151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  B  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  B
)  =  B )
174163, 172, 173sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  B )  =  B )
175174reseq2d 5149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  B )
)  =  ( ( RR  _D  F )  |`  B ) )
176162, 175eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  B ) )
177176dmeqd 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  dom  ( ( RR 
_D  F )  |`  B ) )
178 dmres 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  (
( RR  _D  F
)  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  ( RR  _D  F
) )
179143ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F
) )
18049oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( S  _D  F )  =  ( RR  _D  F
) )
181180dmeqd 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  ( RR  _D  F ) )
182179, 181sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  dom  ( RR  _D  F
) )
183 df-ss 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B 
C_  dom  ( RR  _D  F )  <->  ( B  i^i  dom  ( RR  _D  F ) )  =  B )
184182, 183sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( B  i^i  dom  ( RR  _D  F ) )  =  B )
185178, 184syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  (
( RR  _D  F
)  |`  B )  =  B )
186177, 185eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
187186ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
188 dvcn 19812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( F  |`  B ) : B --> CC  /\  B  C_  RR )  /\  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )  -> 
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
189140, 149, 154, 187, 188syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
190 rescncf 18932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  B  ->  (
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC )  ->  ( ( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  e.  ( ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) -cn-> CC ) ) )
191136, 189, 190sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  e.  ( ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) -cn-> CC ) )
192138, 191eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  e.  ( ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) -cn-> CC ) )
193136, 154sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  RR )
194159, 160dvres 19803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( F  |`  B ) : B --> CC )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( F  |`  B )  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) )
195140, 149, 154, 193, 194syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( RR  _D  ( ( F  |`  B )  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) )
196138oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( RR  _D  ( ( F  |`  B )  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) ) )
197 iccntr 18857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR  /\  ( A  +  r
)  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
19872, 74, 197syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
199198reseq2d 5149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) ) )
200195, 196, 1993eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) ) )
201200dmeqd 5075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  dom  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) ) )
202 dmres 5170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )  =  ( ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
)  i^i  dom  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) ) )
20348, 136syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) 
C_  B )
204203, 187sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) 
C_  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) )
205 df-ss 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) 
C_  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  <->  ( ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  i^i 
dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) )  =  ( ( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) )
206204, 205sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
)  i^i  dom  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )
207202, 206syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
208201, 207eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )
209 dvlip2.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
210209ad4antr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  M  e.  RR )
211200fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) ) `  x
) )
212 fvres 5748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  ->  (
( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) ) `  x )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) `
 x ) )
213211, 212sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `  x )  =  ( ( RR 
_D  ( F  |`  B ) ) `  x ) )
214180reseq1d 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( S  _D  F )  |`  B )  =  ( ( RR  _D  F
)  |`  B ) )
215176, 214eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( S  _D  F )  |`  B ) )
216215fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) `  x )  =  ( ( ( S  _D  F )  |`  B ) `
 x ) )
217216ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) `  x )  =  ( ( ( S  _D  F )  |`  B ) `  x
) )
218203sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  B )
219 fvres 5748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
( ( S  _D  F )  |`  B ) `
 x )  =  ( ( S  _D  F ) `  x
) )
220218, 219syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( ( S  _D  F )  |`  B ) `  x
)  =  ( ( S  _D  F ) `
 x ) )
221213, 217, 2203eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `  x )  =  ( ( S  _D  F ) `  x ) )
222221fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `
 x ) )  =  ( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
) )
223 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ph )
224 dvlip2.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x ) )  <_  M )
225223, 224sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
)  <_  M )
226218, 225syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
)  <_  M )
227222, 226eqbrtrd 4235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `
 x ) )  <_  M )
22872, 74, 192, 208, 210, 227dvlip 19882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  ( Y  e.  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) )  /\  Z  e.  ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  -  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
229228ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( Y  e.  ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) )  /\  Z  e.  ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) `  Y
)  -  ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) ) )
23079, 100, 229mp2and 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  -  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
231104, 230eqbrtrrd 4237 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
232231exp32 590 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  ->  ( r  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) ) )
23347, 232sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  ->  (
r  <  R  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) ) ) )
234233imp3a 422 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
r  /\  r  <  R )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) )
23541, 234sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  QQ )  ->  (
( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
r  /\  r  <  R )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) )
236235rexlimdva 2832 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  /\  r  <  R )  ->  ( abs `  ( ( F `
 Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) )
23740, 236mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
238 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  S  =  CC )
239238, 238xpeq12d 4906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( S  X.  S )  =  ( CC  X.  CC ) )
240239reseq2d 5149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) ) )
241 absf 12146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  abs : CC
--> RR
242 subf 9312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
243 fco 5603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
244241, 242, 243mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
245 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR  ->  ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC ) )
246 fnresdm 5557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  ) )
247244, 245, 246mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  )
248240, 247syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( abs  o.  -  )
)
2491, 248syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  J  =  ( abs  o.  -  ) )
250249fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ball `  J )  =  (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) )
251250oveqd 6101 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( A ( ball `  J
) R )  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
25213, 251syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  B  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
253252eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
254252eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( Z  e.  B  <->  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
255253, 254anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  <->  ( Y  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  /\  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) ) )
256255biimpa 472 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Y  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  /\  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
257144adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  X  C_  S )
258257, 238sseqtrd 3386 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  X  C_  CC )
259141adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  F : X
--> CC )
26010adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  A  e.  S )
261260, 238eleqtrd 2514 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  A  e.  CC )
26215adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  R  e. 
RR* )
263 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
264143adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F
) )
265238oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( S  _D  F )  =  ( CC  _D  F
) )
266265dmeqd 5075 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  ( CC  _D  F ) )
267264, 252, 2663sstr3d 3392 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  dom  ( CC  _D  F
) )
268209adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  M  e.  RR )
269224ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
)  <_  M )
)
270269adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( x  e.  B  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x ) )  <_  M ) )
271252eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
272265fveq1d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( S  _D  F ) `
 x )  =  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )
273272fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x
) )  =  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 x ) ) )
274273breq1d 4225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( S  _D  F ) `
 x ) )  <_  M  <->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )  <_  M
) )
275270, 271, 2743imtr3d 260 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( x  e.  ( A (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  ->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )  <_  M
) )
276275imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  x  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )  <_  M
)
277258, 259, 261, 262, 263, 267, 268, 276dvlipcn 19883 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  ( Y  e.  ( A
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  /\  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
278256, 277syldan 458 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
279278an32s 781 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  CC )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
280 elpri 3836 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
2813, 280syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
282281adantr 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
283237, 279, 282mpjaodan 763 1  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ifcif 3741   {cpr 3817   class class class wbr 4215    X. cxp 4879   dom cdm 4881   ran crn 4882    |` cres 4883    o. ccom 4885    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994    + caddc 8998    x. cmul 9000   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   QQcq 10579   (,)cioo 10921   [,]cicc 10924   abscabs 12044   TopOpenctopn 13654   topGenctg 13670   * Metcxmt 16691   ballcbl 16693   MetOpencmopn 16696  ℂfldccnfld 16708   Topctop 16963   intcnt 17086   -cn->ccncf 18911    _D cdv 19755
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  20321  dvconstbi  27542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759
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