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Theorem dvlip2 19342
Description: Combine the results of dvlip 19340 and dvlipcn 19341 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvlip2.j  |-  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
dvlip2.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvlip2.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvlip2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
dvlip2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
dvlip2.b  |-  B  =  ( A ( ball `  J ) R )
dvlip2.d  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F ) )
dvlip2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
dvlip2.l  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x ) )  <_  M )
Assertion
Ref Expression
dvlip2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, J    ph, x    x, M    x, R    x, S    x, Y    x, Z
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem dvlip2
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlip2.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
2 cnxmet 18282 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
3 dvlip2.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
4 recnprss 19254 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
53, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 xmetres2 17925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( * Met `  S ) )
72, 5, 6sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( * Met `  S ) )
81, 7syl5eqel 2367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ( * Met `  S ) )
98ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  J  e.  ( * Met `  S
) )
10 dvlip2.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
1110ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  A  e.  S )
12 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  B )
13 dvlip2.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( A ( ball `  J ) R )
1412, 13syl6eleq 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  ( A ( ball `  J ) R ) )
15 dvlip2.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
1615ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  R  e. 
RR* )
17 elbl 17949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( Z  e.  S  /\  ( A J Z )  < 
R ) ) )
189, 11, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z  e.  ( A (
ball `  J ) R )  <->  ( Z  e.  S  /\  ( A J Z )  < 
R ) ) )
1914, 18mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z  e.  S  /\  ( A J Z )  < 
R ) )
2019simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  S )
21 xmetcl 17896 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Z  e.  S
)  ->  ( A J Z )  e.  RR* )
229, 11, 20, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  e. 
RR* )
23 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  B )
2423, 13syl6eleq 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  ( A ( ball `  J ) R ) )
25 elbl 17949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( Y  e.  S  /\  ( A J Y )  < 
R ) ) )
269, 11, 16, 25syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y  e.  ( A (
ball `  J ) R )  <->  ( Y  e.  S  /\  ( A J Y )  < 
R ) ) )
2724, 26mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y  e.  S  /\  ( A J Y )  < 
R ) )
2827simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  S )
29 xmetcl 17896 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( A J Y )  e.  RR* )
309, 11, 28, 29syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  e. 
RR* )
31 ifcl 3601 . . . . 5  |-  ( ( ( A J Z )  e.  RR*  /\  ( A J Y )  e. 
RR* )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  e.  RR* )
3222, 30, 31syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  e. 
RR* )
3319simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  < 
R )
3427simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  < 
R )
35 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( ( A J Z )  =  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  -> 
( ( A J Z )  <  R  <->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R ) )
36 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( ( A J Y )  =  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  -> 
( ( A J Y )  <  R  <->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R ) )
3735, 36ifboth 3596 . . . . 5  |-  ( ( ( A J Z )  <  R  /\  ( A J Y )  <  R )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R )
3833, 34, 37syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
R )
39 qbtwnxr 10527 . . . 4  |-  ( ( if ( ( A J Y )  <_ 
( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  e.  RR*  /\  R  e.  RR*  /\  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R )  ->  E. r  e.  QQ  ( if ( ( A J Y )  <_ 
( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  /\  r  <  R ) )
4032, 16, 38, 39syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  E. r  e.  QQ  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
r  /\  r  <  R ) )
41 qre 10321 . . . . 5  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
4230adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A J Y )  e. 
RR* )
4322adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A J Z )  e. 
RR* )
44 rexr 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  RR* )
4544adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  r  e.  RR* )
46 xrmaxlt 10510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A J Y )  e.  RR*  /\  ( A J Z )  e. 
RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  <->  ( ( A J Y )  < 
r  /\  ( A J Z )  <  r
) ) )
4742, 43, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  <->  ( ( A J Y )  < 
r  /\  ( A J Z )  <  r
) ) )
48 ioossicc 10735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  C_  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
)
49 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  S  =  RR )
5028, 49eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  RR )
5150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  e.  RR )
52 xmetsym 17912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( A J Y )  =  ( Y J A ) )
539, 11, 28, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  =  ( Y J A ) )
5449, 49xpeq12d 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( S  X.  S )  =  ( RR  X.  RR ) )
5554reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
561, 55syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
5756oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y J A )  =  ( Y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A ) )
5811, 49eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  A  e.  RR )
59 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
6059remetdval 18295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( Y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Y  -  A )
) )
6150, 58, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Y  -  A ) ) )
6253, 57, 613eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  =  ( abs `  ( Y  -  A )
) )
6362ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Y )  =  ( abs `  ( Y  -  A )
) )
64 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Y )  < 
r )
6563, 64eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( Y  -  A ) )  < 
r )
6658ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  A  e.  RR )
67 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  r  e.  RR )
6851, 66, 67absdifltd 11916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( abs `  ( Y  -  A )
)  <  r  <->  ( ( A  -  r )  <  Y  /\  Y  < 
( A  +  r ) ) ) )
6965, 68mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
)  <  Y  /\  Y  <  ( A  +  r ) ) )
7069simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  <  Y )
7169simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  <  ( A  +  r ) )
7266, 67resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR )
7372rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR* )
7466, 67readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  +  r )  e.  RR )
7574rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  +  r )  e.  RR* )
76 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR*  /\  ( A  +  r )  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Y  /\  Y  <  ( A  +  r ) ) ) )
7773, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( Y  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Y  /\  Y  <  ( A  +  r ) ) ) )
7851, 70, 71, 77mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
7948, 78sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )
80 fvres 5542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  =  ( F `  Y ) )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  =  ( F `  Y ) )
8220, 49eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  RR )
8382ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  e.  RR )
84 xmetsym 17912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Z  e.  S
)  ->  ( A J Z )  =  ( Z J A ) )
859, 11, 20, 84syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  =  ( Z J A ) )
8656oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z J A )  =  ( Z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A ) )
8759remetdval 18295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( Z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Z  -  A )
) )
8882, 58, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Z  -  A ) ) )
8985, 86, 883eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  =  ( abs `  ( Z  -  A )
) )
9089ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Z )  =  ( abs `  ( Z  -  A )
) )
91 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Z )  < 
r )
9290, 91eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( Z  -  A ) )  < 
r )
9383, 66, 67absdifltd 11916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( abs `  ( Z  -  A )
)  <  r  <->  ( ( A  -  r )  <  Z  /\  Z  < 
( A  +  r ) ) ) )
9492, 93mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
)  <  Z  /\  Z  <  ( A  +  r ) ) )
9594simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  <  Z )
9694simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  <  ( A  +  r ) )
97 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR*  /\  ( A  +  r )  e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Z  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Z  /\  Z  <  ( A  +  r ) ) ) )
9873, 75, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( Z  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Z  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Z  /\  Z  <  ( A  +  r ) ) ) )
9983, 95, 96, 98mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
10048, 99sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )
101 fvres 5542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z )  =  ( F `  Z ) )
102100, 101syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z )  =  ( F `  Z ) )
10381, 102oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) `  Y
)  -  ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) )  =  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )
104103fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  -  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z ) ) ) )
1059ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  J  e.  ( * Met `  S ) )
106 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR  /\  ( A  +  r
)  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
)  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  -  r )  <_  x  /\  x  <_  ( A  +  r )
) ) )
10772, 74, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  -  r )  <_  x  /\  x  <_  ( A  +  r )
) ) )
108107biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( A  -  r
)  <_  x  /\  x  <_  ( A  +  r ) ) )
109108simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  RR )
11049ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  S  =  RR )
111109, 110eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  S )
11211ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  A  e.  S )
113 xmetcl 17896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  x  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  ( x J A )  e.  RR* )
114105, 111, 112, 113syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  e.  RR* )
11567adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
r  e.  RR )
116115rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
r  e.  RR* )
11716ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  R  e.  RR* )
11856ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
119118oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  =  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) A ) )
12066adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  A  e.  RR )
12159remetdval 18295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  (
x  -  A ) ) )
122109, 120, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  (
x  -  A ) ) )
123119, 122eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  =  ( abs `  ( x  -  A
) ) )
124108simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( A  -  r
)  <_  x )
125108simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  <_  ( A  +  r ) )
126109, 120, 115absdifled 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( abs `  (
x  -  A ) )  <_  r  <->  ( ( A  -  r )  <_  x  /\  x  <_ 
( A  +  r ) ) ) )
127124, 125, 126mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  A ) )  <_  r )
128123, 127eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  <_  r )
129 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
r  <  R )
130114, 116, 117, 128, 129xrlelttrd 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  <  R )
131 elbl3 17951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  ( * Met `  S
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( x  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( x J A )  <  R
) )
132105, 117, 112, 111, 131syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( x J A )  <  R
) )
133130, 132mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  ( A
( ball `  J ) R ) )
134133ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  ->  x  e.  ( A
( ball `  J ) R ) ) )
135134ssrdv 3185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  ( A (
ball `  J ) R ) )
136135, 13syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  B )
137 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  B  ->  (
( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  =  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )
138136, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  =  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )
139 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
140139a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  RR  C_  CC )
141 dvlip2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
142141ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  F : X
--> CC )
143142ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  F : X --> CC )
144 dvlip2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F ) )
145 dvlip2.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
1465, 141, 145dvbss 19251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  X
)
147144, 146sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  C_  X )
148147ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  X )
149148ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  B  C_  X )
150 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : X --> CC  /\  B  C_  X )  -> 
( F  |`  B ) : B --> CC )
151143, 149, 150syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> CC )
152 blssm 17968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  J ) R ) 
C_  S )
1539, 11, 16, 152syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A ( ball `  J
) R )  C_  S )
15413, 153syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  S )
155154, 49sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  RR )
156155ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  B  C_  RR )
157139a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  RR  C_  CC )
158145ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  X  C_  S )
159158, 49sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  X  C_  RR )
160 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
161160tgioo2 18309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
162160, 161dvres 19261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  F : X --> CC )  /\  ( X  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  B )
) )
163157, 142, 159, 155, 162syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  B )
) )
164 retop 18270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
16556fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ball `  J )  =  (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
166165oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A ( ball `  J
) R )  =  ( A ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) R ) )
16713, 166syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  =  ( A ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) R ) )
16856, 9eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  S
) )
169 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
17059, 169tgioo 18302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
171170blopn 18046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e. 
RR* )  ->  ( A ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) R )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
172168, 11, 16, 171syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) R )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
173167, 172eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
174 isopn3i 16819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  B  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  B
)  =  B )
175164, 173, 174sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  B )  =  B )
176175reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  B )
)  =  ( ( RR  _D  F )  |`  B ) )
177163, 176eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  B ) )
178177dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  dom  ( ( RR 
_D  F )  |`  B ) )
179 dmres 4976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  (
( RR  _D  F
)  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  ( RR  _D  F
) )
180144ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F
) )
18149oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( S  _D  F )  =  ( RR  _D  F
) )
182181dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  ( RR  _D  F ) )
183180, 182sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  dom  ( RR  _D  F
) )
184 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B 
C_  dom  ( RR  _D  F )  <->  ( B  i^i  dom  ( RR  _D  F ) )  =  B )
185183, 184sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( B  i^i  dom  ( RR  _D  F ) )  =  B )
186179, 185syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  (
( RR  _D  F
)  |`  B )  =  B )
187178, 186eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
188187ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
189 dvcn 19270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( F  |`  B ) : B --> CC  /\  B  C_  RR )  /\  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )  -> 
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
190140, 151, 156, 188, 189syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
191 rescncf 18401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  B  ->  (
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC )  ->  ( ( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  e.  ( ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) -cn-> CC ) ) )
192136, 190, 191sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  e.  ( ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) -cn-> CC ) )
193138, 192eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  e.  ( ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) -cn-> CC ) )
194136, 156sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  RR )
195160, 161dvres 19261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( F  |`  B ) : B --> CC )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( F  |`  B )  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) )
196140, 151, 156, 194, 195syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( RR  _D  ( ( F  |`  B )  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) )
197138oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( RR  _D  ( ( F  |`  B )  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) ) )
198 iccntr 18326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR  /\  ( A  +  r
)  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
19972, 74, 198syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
200199reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) ) )
201196, 197, 2003eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) ) )
202201dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  dom  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) ) )
203 dmres 4976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )  =  ( ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
)  i^i  dom  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) ) )
20448, 136syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) 
C_  B )
205204, 188sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) 
C_  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) )
206 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) 
C_  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  <->  ( ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  i^i 
dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) )  =  ( ( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) )
207205, 206sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
)  i^i  dom  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )
208203, 207syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
209202, 208eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )
210 dvlip2.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
211210ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  M  e.  RR )
212211ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  M  e.  RR )
213201fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) ) `  x
) )
214 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  ->  (
( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) ) `  x )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) `
 x ) )
215213, 214sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `  x )  =  ( ( RR 
_D  ( F  |`  B ) ) `  x ) )
216181reseq1d 4954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( S  _D  F )  |`  B )  =  ( ( RR  _D  F
)  |`  B ) )
217177, 216eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( S  _D  F )  |`  B ) )
218217fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) `  x )  =  ( ( ( S  _D  F )  |`  B ) `
 x ) )
219218ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) `  x )  =  ( ( ( S  _D  F )  |`  B ) `  x
) )
220204sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  B )
221 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
( ( S  _D  F )  |`  B ) `
 x )  =  ( ( S  _D  F ) `  x
) )
222220, 221syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( ( S  _D  F )  |`  B ) `  x
)  =  ( ( S  _D  F ) `
 x ) )
223215, 219, 2223eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `  x )  =  ( ( S  _D  F ) `  x ) )
224223fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `
 x ) )  =  ( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
) )
225 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ph )
226225ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ph )
227 dvlip2.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x ) )  <_  M )
228226, 227sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
)  <_  M )
229220, 228syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
)  <_  M )
230224, 229eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `
 x ) )  <_  M )
23172, 74, 193, 209, 212, 230dvlip 19340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  ( Y  e.  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) )  /\  Z  e.  ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  -  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
232231ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( Y  e.  ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) )  /\  Z  e.  ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) `  Y
)  -  ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) ) )
23379, 100, 232mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  -  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
234104, 233eqbrtrrd 4045 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
235234exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  ->  ( r  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) ) )
23647, 235sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  ->  (
r  <  R  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) ) ) )
237236imp3a 420 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
r  /\  r  <  R )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) )
23841, 237sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  QQ )  ->  (
( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
r  /\  r  <  R )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) )
239238rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  /\  r  <  R )  ->  ( abs `  ( ( F `
 Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) )
24040, 239mpd 14 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
241 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  S  =  CC )
242241, 241xpeq12d 4714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( S  X.  S )  =  ( CC  X.  CC ) )
243242reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) ) )
244 absf 11821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  abs : CC
--> RR
245 subf 9053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
246 fco 5398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
247244, 245, 246mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
248 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR  ->  ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC ) )
249 fnresdm 5353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  ) )
250247, 248, 249mp2b 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  )
251243, 250syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( abs  o.  -  )
)
2521, 251syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  J  =  ( abs  o.  -  ) )
253252fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ball `  J )  =  (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) )
254253oveqd 5875 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( A ( ball `  J
) R )  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
25513, 254syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  B  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
256255eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
257255eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( Z  e.  B  <->  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
258256, 257anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  <->  ( Y  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  /\  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) ) )
259258biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Y  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  /\  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
260145adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  X  C_  S )
261260, 241sseqtrd 3214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  X  C_  CC )
262141adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  F : X
--> CC )
26310adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  A  e.  S )
264263, 241eleqtrd 2359 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  A  e.  CC )
26515adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  R  e. 
RR* )
266 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
267144adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F
) )
268241oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( S  _D  F )  =  ( CC  _D  F
) )
269268dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  ( CC  _D  F ) )
270267, 255, 2693sstr3d 3220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  dom  ( CC  _D  F
) )
271210adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  M  e.  RR )
272227ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
)  <_  M )
)
273272adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( x  e.  B  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x ) )  <_  M ) )
274255eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
275268fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( S  _D  F ) `
 x )  =  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )
276275fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x
) )  =  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 x ) ) )
277276breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( S  _D  F ) `
 x ) )  <_  M  <->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )  <_  M
) )
278273, 274, 2773imtr3d 258 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( x  e.  ( A (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  ->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )  <_  M
) )
279278imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  x  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )  <_  M
)
280261, 262, 264, 265, 266, 270, 271, 279dvlipcn 19341 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  ( Y  e.  ( A
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  /\  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
281259, 280syldan 456 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
282281an32s 779 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  CC )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
283 elpri 3660 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
2843, 283syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
285284adantr 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
286240, 282, 285mpjaodan 761 1  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ifcif 3565   {cpr 3641   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   QQcq 10316   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   abscabs 11719   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631   intcnt 16754   -cn->ccncf 18380    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  19777  dvconstbi  27551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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