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Theorem dvlip2 19836
Description: Combine the results of dvlip 19834 and dvlipcn 19835 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvlip2.j  |-  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
dvlip2.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvlip2.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvlip2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
dvlip2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
dvlip2.b  |-  B  =  ( A ( ball `  J ) R )
dvlip2.d  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F ) )
dvlip2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
dvlip2.l  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x ) )  <_  M )
Assertion
Ref Expression
dvlip2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, J    ph, x    x, M    x, R    x, S    x, Y    x, Z
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem dvlip2
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlip2.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
2 cnxmet 18764 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
3 dvlip2.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
4 recnprss 19748 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 xmetres2 18348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( * Met `  S ) )
72, 5, 6sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( * Met `  S ) )
81, 7syl5eqel 2492 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ( * Met `  S ) )
98ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  J  e.  ( * Met `  S
) )
10 dvlip2.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
1110ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  A  e.  S )
12 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  B )
13 dvlip2.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( A ( ball `  J ) R )
1412, 13syl6eleq 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  ( A ( ball `  J ) R ) )
15 dvlip2.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  R  e. 
RR* )
17 elbl 18375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( Z  e.  S  /\  ( A J Z )  < 
R ) ) )
189, 11, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z  e.  ( A (
ball `  J ) R )  <->  ( Z  e.  S  /\  ( A J Z )  < 
R ) ) )
1914, 18mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z  e.  S  /\  ( A J Z )  < 
R ) )
2019simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  S )
21 xmetcl 18318 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Z  e.  S
)  ->  ( A J Z )  e.  RR* )
229, 11, 20, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  e. 
RR* )
23 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  B )
2423, 13syl6eleq 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  ( A ( ball `  J ) R ) )
25 elbl 18375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( Y  e.  S  /\  ( A J Y )  < 
R ) ) )
269, 11, 16, 25syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y  e.  ( A (
ball `  J ) R )  <->  ( Y  e.  S  /\  ( A J Y )  < 
R ) ) )
2724, 26mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y  e.  S  /\  ( A J Y )  < 
R ) )
2827simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  S )
29 xmetcl 18318 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( A J Y )  e.  RR* )
309, 11, 28, 29syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  e. 
RR* )
31 ifcl 3739 . . . . 5  |-  ( ( ( A J Z )  e.  RR*  /\  ( A J Y )  e. 
RR* )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  e.  RR* )
3222, 30, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  e. 
RR* )
3319simprd 450 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  < 
R )
3427simprd 450 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  < 
R )
35 breq1 4179 . . . . . 6  |-  ( ( A J Z )  =  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  -> 
( ( A J Z )  <  R  <->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R ) )
36 breq1 4179 . . . . . 6  |-  ( ( A J Y )  =  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  -> 
( ( A J Y )  <  R  <->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R ) )
3735, 36ifboth 3734 . . . . 5  |-  ( ( ( A J Z )  <  R  /\  ( A J Y )  <  R )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R )
3833, 34, 37syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
R )
39 qbtwnxr 10746 . . . 4  |-  ( ( if ( ( A J Y )  <_ 
( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  e.  RR*  /\  R  e.  RR*  /\  if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  R )  ->  E. r  e.  QQ  ( if ( ( A J Y )  <_ 
( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  /\  r  <  R ) )
4032, 16, 38, 39syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  E. r  e.  QQ  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
r  /\  r  <  R ) )
41 qre 10539 . . . . 5  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
4230adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A J Y )  e. 
RR* )
4322adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A J Z )  e. 
RR* )
44 rexr 9090 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  RR* )
4544adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  r  e.  RR* )
46 xrmaxlt 10729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A J Y )  e.  RR*  /\  ( A J Z )  e. 
RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  <->  ( ( A J Y )  < 
r  /\  ( A J Z )  <  r
) ) )
4742, 43, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  <->  ( ( A J Y )  < 
r  /\  ( A J Z )  <  r
) ) )
48 ioossicc 10956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  C_  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
)
49 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  S  =  RR )
5028, 49eleqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Y  e.  RR )
5150ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  e.  RR )
52 xmetsym 18334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Y  e.  S
)  ->  ( A J Y )  =  ( Y J A ) )
539, 11, 28, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  =  ( Y J A ) )
5449, 49xpeq12d 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( S  X.  S )  =  ( RR  X.  RR ) )
5554reseq2d 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
561, 55syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
5756oveqd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y J A )  =  ( Y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A ) )
5811, 49eleqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  A  e.  RR )
59 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
6059remetdval 18777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( Y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Y  -  A )
) )
6150, 58, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Y  -  A ) ) )
6253, 57, 613eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Y )  =  ( abs `  ( Y  -  A )
) )
6362ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Y )  =  ( abs `  ( Y  -  A )
) )
64 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Y )  < 
r )
6563, 64eqbrtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( Y  -  A ) )  < 
r )
6658ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  A  e.  RR )
67 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  r  e.  RR )
6851, 66, 67absdifltd 12195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( abs `  ( Y  -  A )
)  <  r  <->  ( ( A  -  r )  <  Y  /\  Y  < 
( A  +  r ) ) ) )
6965, 68mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
)  <  Y  /\  Y  <  ( A  +  r ) ) )
7069simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  <  Y )
7169simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  <  ( A  +  r ) )
7266, 67resubcld 9425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR )
7372rexrd 9094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR* )
7466, 67readdcld 9075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  +  r )  e.  RR )
7574rexrd 9094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  +  r )  e.  RR* )
76 elioo2 10917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR*  /\  ( A  +  r )  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Y  /\  Y  <  ( A  +  r ) ) ) )
7773, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( Y  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Y  /\  Y  <  ( A  +  r ) ) ) )
7851, 70, 71, 77mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
7948, 78sseldi 3310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Y  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )
80 fvres 5708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  =  ( F `  Y ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  =  ( F `  Y ) )
8220, 49eleqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  Z  e.  RR )
8382ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  e.  RR )
84 xmetsym 18334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  Z  e.  S
)  ->  ( A J Z )  =  ( Z J A ) )
859, 11, 20, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  =  ( Z J A ) )
8656oveqd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z J A )  =  ( Z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A ) )
8759remetdval 18777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Z  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( Z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Z  -  A )
) )
8882, 58, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( Z ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  ( Z  -  A ) ) )
8985, 86, 883eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A J Z )  =  ( abs `  ( Z  -  A )
) )
9089ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Z )  =  ( abs `  ( Z  -  A )
) )
91 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A J Z )  < 
r )
9290, 91eqbrtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( Z  -  A ) )  < 
r )
9383, 66, 67absdifltd 12195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( abs `  ( Z  -  A )
)  <  r  <->  ( ( A  -  r )  <  Z  /\  Z  < 
( A  +  r ) ) ) )
9492, 93mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
)  <  Z  /\  Z  <  ( A  +  r ) ) )
9594simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( A  -  r )  <  Z )
9694simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  <  ( A  +  r ) )
97 elioo2 10917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR*  /\  ( A  +  r )  e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Z  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Z  /\  Z  <  ( A  +  r ) ) ) )
9873, 75, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( Z  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  <->  ( Z  e.  RR  /\  ( A  -  r )  < 
Z  /\  Z  <  ( A  +  r ) ) ) )
9983, 95, 96, 98mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
10048, 99sseldi 3310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  Z  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )
101 fvres 5708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z )  =  ( F `  Z ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z )  =  ( F `  Z ) )
10381, 102oveq12d 6062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) `  Y
)  -  ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) )  =  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )
104103fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  -  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z ) ) ) )
1059ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  J  e.  ( * Met `  S ) )
106 elicc2 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR  /\  ( A  +  r
)  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
)  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  -  r )  <_  x  /\  x  <_  ( A  +  r )
) ) )
10772, 74, 106syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  -  r )  <_  x  /\  x  <_  ( A  +  r )
) ) )
108107biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( A  -  r
)  <_  x  /\  x  <_  ( A  +  r ) ) )
109108simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  RR )
11049ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  S  =  RR )
111109, 110eleqtrrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  S )
11211ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  A  e.  S )
113 xmetcl 18318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  x  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  ( x J A )  e.  RR* )
114105, 111, 112, 113syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  e.  RR* )
11567adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
r  e.  RR )
116115rexrd 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
r  e.  RR* )
11716ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  R  e.  RR* )
11856ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  J  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
119118oveqd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  =  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) A ) )
12066adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  A  e.  RR )
12159remetdval 18777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  (
x  -  A ) ) )
122109, 120, 121syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) A )  =  ( abs `  (
x  -  A ) ) )
123119, 122eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  =  ( abs `  ( x  -  A
) ) )
124108simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( A  -  r
)  <_  x )
125108simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  <_  ( A  +  r ) )
126109, 120, 115absdifled 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( abs `  (
x  -  A ) )  <_  r  <->  ( ( A  -  r )  <_  x  /\  x  <_ 
( A  +  r ) ) ) )
127124, 125, 126mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  A ) )  <_  r )
128123, 127eqbrtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  <_  r )
129 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
r  <  R )
130114, 116, 117, 128, 129xrlelttrd 10710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x J A )  <  R )
131 elbl3 18379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  ( * Met `  S
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( x  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( x J A )  <  R
) )
132105, 117, 112, 111, 131syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  -> 
( x  e.  ( A ( ball `  J
) R )  <->  ( x J A )  <  R
) )
133130, 132mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  ( A
( ball `  J ) R ) )
134133ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
x  e.  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  ->  x  e.  ( A
( ball `  J ) R ) ) )
135134ssrdv 3318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  ( A (
ball `  J ) R ) )
136135, 13syl6sseqr 3359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  B )
137 resabs1 5138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  B  ->  (
( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  =  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  =  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )
139 ax-resscn 9007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  RR  C_  CC )
141 dvlip2.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
142141ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  F : X --> CC )
143 dvlip2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F ) )
144 dvlip2.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
1455, 141, 144dvbss 19745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  X
)
146143, 145sstrd 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  C_  X )
147146ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  B  C_  X )
148 fssres 5573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : X --> CC  /\  B  C_  X )  -> 
( F  |`  B ) : B --> CC )
149142, 147, 148syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> CC )
150 blssm 18405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  J ) R ) 
C_  S )
1519, 11, 16, 150syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A ( ball `  J
) R )  C_  S )
15213, 151syl5eqss 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  S )
153152, 49sseqtrd 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  RR )
154153ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  B  C_  RR )
155139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  RR  C_  CC )
156141ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  F : X
--> CC )
157144ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  X  C_  S )
158157, 49sseqtrd 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  X  C_  RR )
159 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
160159tgioo2 18791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
161159, 160dvres 19755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  F : X --> CC )  /\  ( X  C_  RR  /\  B  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  B )
) )
162155, 156, 158, 153, 161syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  B )
) )
163 retop 18752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
16456fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ball `  J )  =  (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
165164oveqd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A ( ball `  J
) R )  =  ( A ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) R ) )
16613, 165syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  =  ( A ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) R ) )
16756, 9eqeltrrd 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  S
) )
168 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
16959, 168tgioo 18784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
170169blopn 18487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  S )  /\  A  e.  S  /\  R  e. 
RR* )  ->  ( A ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) R )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
171167, 11, 16, 170syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( A ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) R )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
172166, 171eqeltrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
173 isopn3i 17105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  B  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  B
)  =  B )
174163, 172, 173sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  B )  =  B )
175174reseq2d 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  B )
)  =  ( ( RR  _D  F )  |`  B ) )
176162, 175eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  B ) )
177176dmeqd 5035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  dom  ( ( RR 
_D  F )  |`  B ) )
178 dmres 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  (
( RR  _D  F
)  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  ( RR  _D  F
) )
179143ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F
) )
18049oveq1d 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( S  _D  F )  =  ( RR  _D  F
) )
181180dmeqd 5035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  ( RR  _D  F ) )
182179, 181sseqtrd 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  B  C_  dom  ( RR  _D  F
) )
183 df-ss 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B 
C_  dom  ( RR  _D  F )  <->  ( B  i^i  dom  ( RR  _D  F ) )  =  B )
184182, 183sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( B  i^i  dom  ( RR  _D  F ) )  =  B )
185178, 184syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  (
( RR  _D  F
)  |`  B )  =  B )
186177, 185eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
187186ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )
188 dvcn 19764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( F  |`  B ) : B --> CC  /\  B  C_  RR )  /\  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  =  B )  -> 
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
189140, 149, 154, 187, 188syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
190 rescncf 18884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  B  ->  (
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC )  ->  ( ( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  e.  ( ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) -cn-> CC ) ) )
191136, 189, 190sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( F  |`  B )  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) )  e.  ( ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) -cn-> CC ) )
192138, 191eqeltrrd 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  e.  ( ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) -cn-> CC ) )
193136, 154sstrd 3322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) 
C_  RR )
194159, 160dvres 19755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( F  |`  B ) : B --> CC )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( F  |`  B )  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) )
195140, 149, 154, 193, 194syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( RR  _D  ( ( F  |`  B )  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) )
196138oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( RR  _D  ( ( F  |`  B )  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) ) )
197 iccntr 18809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  -  r
)  e.  RR  /\  ( A  +  r
)  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
19872, 74, 197syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
199198reseq2d 5109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) ) )
200195, 196, 1993eqtr3d 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) ) )
201200dmeqd 5035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  dom  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) ) )
202 dmres 5130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )  =  ( ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
)  i^i  dom  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) ) )
20348, 136syl5ss 3323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) 
C_  B )
204203, 187sseqtr4d 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) 
C_  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) )
205 df-ss 3298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) 
C_  dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  <->  ( ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  i^i 
dom  ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) )  =  ( ( A  -  r
) (,) ( A  +  r ) ) )
206204, 205sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
)  i^i  dom  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )
207202, 206syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) )
208201, 207eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) )  =  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )
209 dvlip2.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
210209ad4antr 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  M  e.  RR )
211200fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r )
) ) `  x
) )
212 fvres 5708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) )  ->  (
( ( RR  _D  ( F  |`  B ) )  |`  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) ) `  x )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) `
 x ) )
213211, 212sylan9eq 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `  x )  =  ( ( RR 
_D  ( F  |`  B ) ) `  x ) )
214180reseq1d 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( S  _D  F )  |`  B )  =  ( ( RR  _D  F
)  |`  B ) )
215176, 214eqtr4d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( RR 
_D  ( F  |`  B ) )  =  ( ( S  _D  F )  |`  B ) )
216215fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) `  x )  =  ( ( ( S  _D  F )  |`  B ) `
 x ) )
217216ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( RR  _D  ( F  |`  B ) ) `  x )  =  ( ( ( S  _D  F )  |`  B ) `  x
) )
218203sselda 3312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  ->  x  e.  B )
219 fvres 5708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
( ( S  _D  F )  |`  B ) `
 x )  =  ( ( S  _D  F ) `  x
) )
220218, 219syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( ( S  _D  F )  |`  B ) `  x
)  =  ( ( S  _D  F ) `
 x ) )
221213, 217, 2203eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `  x )  =  ( ( S  _D  F ) `  x ) )
222221fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `
 x ) )  =  ( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
) )
223 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ph )
224 dvlip2.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x ) )  <_  M )
225223, 224sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
)  <_  M )
226218, 225syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
)  <_  M )
227222, 226eqbrtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  x  e.  ( ( A  -  r ) (,) ( A  +  r ) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) ) `
 x ) )  <_  M )
22872, 74, 192, 208, 210, 227dvlip 19834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  ( ( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  < 
r )  /\  r  <  R ) )  /\  ( Y  e.  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) )  /\  Z  e.  ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  -  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
229228ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  (
( Y  e.  ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) )  /\  Z  e.  ( ( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r )
) ) `  Y
)  -  ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) ) )
23079, 100, 229mp2and 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( ( A  -  r ) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Y )  -  (
( F  |`  (
( A  -  r
) [,] ( A  +  r ) ) ) `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
231104, 230eqbrtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  /\  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  /\  r  <  R
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
232231exp32 589 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( A J Y )  <  r  /\  ( A J Z )  <  r )  ->  ( r  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) ) )
23347, 232sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  ->  (
r  <  R  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z ) ) ) ) ) )
234233imp3a 421 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  RR )  ->  (
( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
r  /\  r  <  R )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) )
23541, 234sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  S  =  RR )  /\  r  e.  QQ )  ->  (
( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  < 
r  /\  r  <  R )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) )
236235rexlimdva 2794 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( if ( ( A J Y )  <_  ( A J Z ) ,  ( A J Z ) ,  ( A J Y ) )  <  r  /\  r  <  R )  ->  ( abs `  ( ( F `
 Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) ) )
23740, 236mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  RR )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
238 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  S  =  CC )
239238, 238xpeq12d 4866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( S  X.  S )  =  ( CC  X.  CC ) )
240239reseq2d 5109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) ) )
241 absf 12100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  abs : CC
--> RR
242 subf 9267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
243 fco 5563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
244241, 242, 243mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
245 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR  ->  ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC ) )
246 fnresdm 5517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  ) )
247244, 245, 246mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  )
248240, 247syl6eq 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( abs  o.  -  )
)
2491, 248syl5eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  J  =  ( abs  o.  -  ) )
250249fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ball `  J )  =  (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) )
251250oveqd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( A ( ball `  J
) R )  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
25213, 251syl5eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  B  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
253252eleq2d 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
254252eleq2d 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( Z  e.  B  <->  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
255253, 254anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  <->  ( Y  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  /\  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) ) )
256255biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Y  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  /\  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
257144adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  X  C_  S )
258257, 238sseqtrd 3348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  X  C_  CC )
259141adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  F : X
--> CC )
26010adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  A  e.  S )
261260, 238eleqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  A  e.  CC )
26215adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  R  e. 
RR* )
263 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  =  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
264143adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  B  C_  dom  ( S  _D  F
) )
265238oveq1d 6059 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( S  _D  F )  =  ( CC  _D  F
) )
266265dmeqd 5035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  ( CC  _D  F ) )
267264, 252, 2663sstr3d 3354 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  dom  ( CC  _D  F
) )
268209adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  M  e.  RR )
269224ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( abs `  (
( S  _D  F
) `  x )
)  <_  M )
)
270269adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( x  e.  B  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x ) )  <_  M ) )
271252eleq2d 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
272265fveq1d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( S  _D  F ) `
 x )  =  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )
273272fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( abs `  ( ( S  _D  F ) `  x
) )  =  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `
 x ) ) )
274273breq1d 4186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( S  _D  F ) `
 x ) )  <_  M  <->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )  <_  M
) )
275270, 271, 2743imtr3d 259 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  =  CC )  ->  ( x  e.  ( A (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  ->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )  <_  M
) )
276275imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  x  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  ( abs `  ( ( CC  _D  F ) `  x
) )  <_  M
)
277258, 259, 261, 262, 263, 267, 268, 276dvlipcn 19835 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  ( Y  e.  ( A
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  /\  Z  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 Y )  -  ( F `  Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
278256, 277syldan 457 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  S  =  CC )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
279278an32s 780 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  S  =  CC )  ->  ( abs `  ( ( F `  Y )  -  ( F `  Z )
) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z
) ) ) )
280 elpri 3798 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
2813, 280syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
282281adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( S  =  RR  \/  S  =  CC ) )
283237, 279, 282mpjaodan 762 1  |-  ( (
ph  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( abs `  (
( F `  Y
)  -  ( F `
 Z ) ) )  <_  ( M  x.  ( abs `  ( Y  -  Z )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2671    i^i cin 3283    C_ wss 3284   ifcif 3703   {cpr 3779   class class class wbr 4176    X. cxp 4839   dom cdm 4841   ran crn 4842    |` cres 4843    o. ccom 4845    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949    + caddc 8953    x. cmul 8955   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251   QQcq 10534   (,)cioo 10876   [,]cicc 10879   abscabs 11998   TopOpenctopn 13608   topGenctg 13624   * Metcxmt 16645   ballcbl 16647   MetOpencmopn 16650  ℂfldccnfld 16662   Topctop 16917   intcnt 17040   -cn->ccncf 18863    _D cdv 19707
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  20273  dvconstbi  27423
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-cmp 17408  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711
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