MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2 Unicode version

Theorem dvlog2 20000
Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at  1, a sometimes easier region to work with than the  CC  \  (  -oo ,  0 ] of dvlog 19998. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
Assertion
Ref Expression
dvlog2  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
Distinct variable group:    x, S

Proof of Theorem dvlog2
StepHypRef Expression
1 ssid 3197 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2 logf1o 19922 . . . . . . 7  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
3 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
42, 3ax-mp 8 . . . . . 6  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
5 logrncn 19920 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ran  log  ->  x  e.  CC )
65ssriv 3184 . . . . . 6  |-  ran  log  C_  CC
7 fss 5397 . . . . . 6  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  ran  log  C_  CC )  ->  log : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
84, 6, 7mp2an 653 . . . . 5  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> CC
9 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
109logdmss 19989 . . . . 5  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  C_  ( CC  \  { 0 } )
11 fssres 5408 . . . . 5  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC  /\  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( log  |`  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) --> CC )
128, 10, 11mp2an 653 . . . 4  |-  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) --> CC
13 difss 3303 . . . 4  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  C_  CC
14 dvlog2.s . . . . 5  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
15 cnxmet 18282 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
16 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
17 1rp 10358 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
18 rpxr 10361 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
20 blssm 17968 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC )
2115, 16, 19, 20mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC
2214, 21eqsstri 3208 . . . 4  |-  S  C_  CC
23 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2423cnfldtop 18293 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
2523cnfldtopon 18292 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2625toponunii 16670 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2726restid 13338 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
2824, 27ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
2928eqcomi 2287 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
3023, 29dvres 19261 . . . 4  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) --> CC )  /\  ( ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  C_  CC  /\  S  C_  CC ) )  -> 
( CC  _D  (
( log  |`  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) ) )  |`  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) ) )
311, 12, 13, 22, 30mp4an 654 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )
)  =  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) )
3214dvlog2lem 19999 . . . . 5  |-  S  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
33 resabs1 4984 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  ( ( log  |`  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )  =  ( log  |`  S ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) )  |`  S )  =  ( log  |`  S )
3534oveq2i 5869 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )
)  =  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )
369dvlog 19998 . . . 4  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )
3723cnfldtopn 18291 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
3837blopn 18046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
3915, 16, 19, 38mp3an 1277 . . . . . 6  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  (
TopOpen ` fld )
4014, 39eqeltri 2353 . . . . 5  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
41 isopn3i 16819 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  =  S )
4224, 40, 41mp2an 653 . . . 4  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  S )  =  S
4336, 42reseq12i 4953 . . 3  |-  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )
4431, 35, 433eqtr3i 2311 . 2  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( ( x  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )
45 resmpt 5000 . . 3  |-  ( S 
C_  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) ) )
4632, 45ax-mp 8 . 2  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
4744, 46eqtri 2303 1  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640    e. cmpt 4077   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    - cmin 9037    / cdiv 9423   RR+crp 10354   (,]cioc 10657   abscabs 11719   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631   intcnt 16754    _D cdv 19213   logclog 19912
This theorem is referenced by:  logtayl  20007  efrlim  20264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
  Copyright terms: Public domain W3C validator