MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2 Structured version   Unicode version

Theorem dvlog2 20536
Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at  1, a sometimes easier region to work with than the  CC  \  (  -oo ,  0 ] of dvlog 20534. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
Assertion
Ref Expression
dvlog2  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
Distinct variable group:    x, S

Proof of Theorem dvlog2
StepHypRef Expression
1 ssid 3359 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2 logf1o 20454 . . . . . . 7  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
3 f1of 5666 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
42, 3ax-mp 8 . . . . . 6  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
5 logrncn 20452 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ran  log  ->  x  e.  CC )
65ssriv 3344 . . . . . 6  |-  ran  log  C_  CC
7 fss 5591 . . . . . 6  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log  /\  ran  log  C_  CC )  ->  log : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
84, 6, 7mp2an 654 . . . . 5  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> CC
9 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
109logdmss 20525 . . . . 5  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  C_  ( CC  \  { 0 } )
11 fssres 5602 . . . . 5  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC  /\  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( log  |`  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) --> CC )
128, 10, 11mp2an 654 . . . 4  |-  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) --> CC
13 difss 3466 . . . 4  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  C_  CC
14 dvlog2.s . . . . 5  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
15 cnxmet 18799 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
16 ax-1cn 9040 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
17 1rp 10608 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
18 rpxr 10611 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
20 blssm 18440 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC )
2115, 16, 19, 20mp3an 1279 . . . . 5  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC
2214, 21eqsstri 3370 . . . 4  |-  S  C_  CC
23 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2423cnfldtop 18810 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
2523cnfldtopon 18809 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2625toponunii 16989 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2726restid 13653 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
2824, 27ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
2928eqcomi 2439 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
3023, 29dvres 19790 . . . 4  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) --> CC )  /\  ( ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  C_  CC  /\  S  C_  CC ) )  -> 
( CC  _D  (
( log  |`  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) ) )  |`  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) ) )
311, 12, 13, 22, 30mp4an 655 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )
)  =  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) )
3214dvlog2lem 20535 . . . . 5  |-  S  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
33 resabs1 5167 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  ( ( log  |`  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )  =  ( log  |`  S ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) )  |`  S )  =  ( log  |`  S )
3534oveq2i 6084 . . 3  |-  ( CC 
_D  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  |`  S )
)  =  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )
369dvlog 20534 . . . 4  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )
3723cnfldtopn 18808 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
3837blopn 18522 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
3915, 16, 19, 38mp3an 1279 . . . . . 6  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  e.  (
TopOpen ` fld )
4014, 39eqeltri 2505 . . . . 5  |-  S  e.  ( TopOpen ` fld )
41 isopn3i 17138 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  =  S )
4224, 40, 41mp2an 654 . . . 4  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  S )  =  S
4336, 42reseq12i 5136 . . 3  |-  ( ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  |`  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  S
) )  =  ( ( x  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )
4431, 35, 433eqtr3i 2463 . 2  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( ( x  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )
45 resmpt 5183 . . 3  |-  ( S 
C_  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) ) )
4632, 45ax-mp 8 . 2  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  x ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
4744, 46eqtri 2455 1  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  S ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 1  /  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806    e. cmpt 4258   ran crn 4871    |` cres 4872    o. ccom 4874   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    - cmin 9283    / cdiv 9669   RR+crp 10604   (,]cioc 10909   abscabs 12031   ↾t crest 13640   TopOpenctopn 13641   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680  ℂfldccnfld 16695   Topctop 16950   intcnt 17073    _D cdv 19742   logclog 20444
This theorem is referenced by:  logtayl  20543  efrlim  20800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-tan 12666  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446
  Copyright terms: Public domain W3C validator