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Theorem dvloglem 20541
Description: Lemma for dvlog 20544. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
dvloglem  |-  ( log " D )  e.  (
TopOpen ` fld )

Proof of Theorem dvloglem
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 20464 . . . . . 6  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1ofun 5678 . . . . . 6  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  log )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  Fun  log
4 logcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
54logdmss 20535 . . . . . 6  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 f1odm 5680 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } ) )
71, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } )
85, 7sseqtr4i 3383 . . . . 5  |-  D  C_  dom  log
9 funimass4 5779 . . . . 5  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( log " D
)  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
103, 8, 9mp2an 655 . . . 4  |-  ( ( log " D ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
114ellogdm 20532 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
1211simplbi 448 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
134logdmn0 20533 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
1412, 13logcld 20470 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
1514imcld 12002 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
1612, 13logimcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
1716simpld 447 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) ) )
184logdmnrp 20534 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  -.  -u x  e.  RR+ )
19 lognegb 20486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  pi ) )
2012, 13, 19syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u x  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  x
) )  =  pi ) )
2120necon3bbid 2637 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi ) )
2218, 21mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi )
2322necomd 2689 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) )
24 pire 20374 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  pi  e.  RR )
2616simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi )
2715, 25, 26leltned 9226 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( Im `  ( log `  x ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) ) )
2823, 27mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi )
2924renegcli 9364 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
3029rexri 9139 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR*
3124rexri 9139 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR*
32 elioo2 10959 . . . . . . 7  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <  pi ) ) )
3330, 31, 32mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi ) )
3415, 17, 28, 33syl3anbrc 1139 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
35 imf 11920 . . . . . 6  |-  Im : CC
--> RR
36 ffn 5593 . . . . . 6  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
37 elpreima 5852 . . . . . 6  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( log `  x
)  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . 5  |-  ( ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( ( log `  x )  e.  CC  /\  ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  (
-u pi (,) pi ) ) )
3914, 34, 38sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
4010, 39mprgbir 2778 . . 3  |-  ( log " D )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
41 df-ioo 10922 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
42 df-ioc 10923 . . . . . . . . . 10  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
43 idd 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( -u pi  <  w  ->  -u pi  <  w
) )
44 xrltle 10744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
4541, 42, 43, 44ixxssixx 10932 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  ( -u pi (,] pi )
46 imass2 5242 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u pi (,) pi )  C_  ( -u pi (,] pi )  ->  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
4745, 46ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
48 logrn 20458 . . . . . . . 8  |-  ran  log  =  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
4947, 48sseqtr4i 3383 . . . . . . 7  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ran  log
5049sseli 3346 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ran  log )
51 logef 20478 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
5250, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  =  x )
53 elpreima 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
5435, 36, 53mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
55 efcl 12687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
5655adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  CC )
5754, 56sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
5854simplbi 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
5958imcld 12002 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  e.  RR )
6054simprbi 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
61 eliooord 10972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
6362simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  <  pi )
6459, 63ltned 9211 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  =/=  pi )
6552adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
6665fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( exp `  x
) ) )  =  ( Im `  x
) )
67 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )
68 mnfxr 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -oo  e.  RR*
69 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
70 elioc2 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( ( exp `  x )  e.  RR  /\  -oo  <  ( exp `  x )  /\  ( exp `  x
)  <_  0 ) ) )
7168, 69, 70mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  x )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( ( exp `  x )  e.  RR  /\  -oo  <  ( exp `  x )  /\  ( exp `  x
)  <_  0 ) )
7267, 71sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( exp `  x
)  /\  ( exp `  x )  <_  0
) )
7372simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  RR )
7473renegcld 9466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( exp `  x
)  e.  RR )
75 efne0 12700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7658, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7776adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  =/=  0 )
7877necomd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  =/=  ( exp `  x ) )
7969a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
8072simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  <_  0 )
8173, 79, 80leltned 9226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  <  0  <->  0  =/=  ( exp `  x ) ) )
8278, 81mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  <  0 )
8373lt0neg1d 9598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  <  0  <->  0  <  -u ( exp `  x
) ) )
8482, 83mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  -u ( exp `  x ) )
8574, 84elrpd 10648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( exp `  x
)  e.  RR+ )
86 lognegb 20486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  ( exp `  x )  =/=  0 )  -> 
( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
8757, 76, 86syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
8887adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
8985, 88mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( exp `  x
) ) )  =  pi )
9066, 89eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  x
)  =  pi )
9190ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  (
Im `  x )  =  pi ) )
9291necon3ad 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( Im `  x
)  =/=  pi  ->  -.  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9364, 92mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  -.  ( exp `  x )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
9457, 93eldifd 3333 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
9594, 4syl6eleqr 2529 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  D )
96 funfvima2 5976 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( exp `  x
)  e.  D  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) ) )
973, 8, 96mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
9895, 97syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
9952, 98eqeltrrd 2513 . . . 4  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D
) )
10099ssriv 3354 . . 3  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( log " D
)
10140, 100eqssi 3366 . 2  |-  ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
102 imcncf 18935 . . . 4  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
103 ssid 3369 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
104 ax-resscn 9049 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
105 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
106105cnfldtop 18820 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
107105cnfldtopon 18819 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
108107toponunii 16999 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
109108restid 13663 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
110106, 109ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
111110eqcomi 2442 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
112105tgioo2 18836 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
113105, 111, 112cncfcn 18941 . . . . 5  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
114103, 104, 113mp2an 655 . . . 4  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
115102, 114eleqtri 2510 . . 3  |-  Im  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
116 iooretop 18802 . . 3  |-  ( -u pi (,) pi )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
117 cnima 17331 . . 3  |-  ( ( Im  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  ( -u pi (,) pi )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( `' Im "
( -u pi (,) pi ) )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
118115, 116, 117mp2an 655 . 2  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
119101, 118eqeltri 2508 1  |-  ( log " D )  e.  (
TopOpen ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4214   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   -ucneg 9294   RR+crp 10614   (,)cioo 10918   (,]cioc 10919   Imcim 11905   expce 12666   picpi 12671   ↾t crest 13650   TopOpenctopn 13651   topGenctg 13667  ℂfldccnfld 16705   Topctop 16960    Cn ccn 17290   -cn->ccncf 18908   logclog 20454
This theorem is referenced by:  dvlog  20544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456
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