MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvloglem Unicode version

Theorem dvloglem 19995
Description: Lemma for dvlog 19998. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
dvloglem  |-  ( log " D )  e.  (
TopOpen ` fld )

Proof of Theorem dvloglem
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 19922 . . . . . 6  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1ofun 5474 . . . . . 6  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  log )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  Fun  log
4 logcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
54logdmss 19989 . . . . . 6  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 f1odm 5476 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } ) )
71, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } )
85, 7sseqtr4i 3211 . . . . 5  |-  D  C_  dom  log
9 funimass4 5573 . . . . 5  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( log " D
)  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
103, 8, 9mp2an 653 . . . 4  |-  ( ( log " D ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
114ellogdm 19986 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
1211simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
134logdmn0 19987 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
14 logcl 19926 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( log `  x
)  e.  CC )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
1615imcld 11680 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
17 logimcl 19927 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
1812, 13, 17syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
1918simpld 445 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) ) )
204logdmnrp 19988 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  -.  -u x  e.  RR+ )
21 lognegb 19943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  pi ) )
2212, 13, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u x  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  x
) )  =  pi ) )
2322necon3bbid 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi ) )
2420, 23mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi )
2524necomd 2529 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) )
26 pire 19832 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
2726a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  pi  e.  RR )
2818simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi )
2916, 27, 28leltned 8970 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( Im `  ( log `  x ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) ) )
3025, 29mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi )
31 ressxr 8876 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
3226renegcli 9108 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
3331, 32sselii 3177 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR*
3431, 26sselii 3177 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR*
35 elioo2 10697 . . . . . . 7  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <  pi ) ) )
3633, 34, 35mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi ) )
3716, 19, 30, 36syl3anbrc 1136 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
38 imf 11598 . . . . . 6  |-  Im : CC
--> RR
39 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
40 elpreima 5645 . . . . . 6  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( log `  x
)  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4138, 39, 40mp2b 9 . . . . 5  |-  ( ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( ( log `  x )  e.  CC  /\  ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  (
-u pi (,) pi ) ) )
4215, 37, 41sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
4310, 42mprgbir 2613 . . 3  |-  ( log " D )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
44 df-ioo 10660 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
45 df-ioc 10661 . . . . . . . . . 10  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
46 idd 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( -u pi  <  w  ->  -u pi  <  w
) )
47 xrltle 10483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
4844, 45, 46, 47ixxssixx 10670 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  ( -u pi (,] pi )
49 imass2 5049 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u pi (,) pi )  C_  ( -u pi (,] pi )  ->  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
51 logrn 19916 . . . . . . . 8  |-  ran  log  =  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
5250, 51sseqtr4i 3211 . . . . . . 7  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ran  log
5352sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ran  log )
54 logef 19935 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
5553, 54syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  =  x )
56 elpreima 5645 . . . . . . . . . 10  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
5738, 39, 56mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
58 efcl 12364 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
5958adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  CC )
6057, 59sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6157simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
6261imcld 11680 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  e.  RR )
6357simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
64 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
6665simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  <  pi )
6762, 66ltned 8955 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  =/=  pi )
6855adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
6968fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( exp `  x
) ) )  =  ( Im `  x
) )
70 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )
71 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -oo  e.  RR*
72 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
73 elioc2 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( ( exp `  x )  e.  RR  /\  -oo  <  ( exp `  x )  /\  ( exp `  x
)  <_  0 ) ) )
7471, 72, 73mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  x )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( ( exp `  x )  e.  RR  /\  -oo  <  ( exp `  x )  /\  ( exp `  x
)  <_  0 ) )
7570, 74sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( exp `  x
)  /\  ( exp `  x )  <_  0
) )
7675simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  RR )
7776renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( exp `  x
)  e.  RR )
78 efne0 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7961, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
8079adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  =/=  0 )
8180necomd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  =/=  ( exp `  x ) )
8272a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
8375simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  <_  0 )
8476, 82, 83leltned 8970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  <  0  <->  0  =/=  ( exp `  x ) ) )
8581, 84mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  <  0 )
8676lt0neg1d 9342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  <  0  <->  0  <  -u ( exp `  x
) ) )
8785, 86mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  -u ( exp `  x ) )
8877, 87elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( exp `  x
)  e.  RR+ )
89 lognegb 19943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  ( exp `  x )  =/=  0 )  -> 
( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
9060, 79, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
9288, 91mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( exp `  x
) ) )  =  pi )
9369, 92eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  x
)  =  pi )
9493ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  (
Im `  x )  =  pi ) )
9594necon3ad 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( Im `  x
)  =/=  pi  ->  -.  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9667, 95mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  -.  ( exp `  x )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
97 eldif 3162 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  x )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( exp `  x )  e.  CC  /\ 
-.  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9860, 96, 97sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
9998, 4syl6eleqr 2374 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  D )
100 funfvima2 5754 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( exp `  x
)  e.  D  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) ) )
1013, 8, 100mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
10299, 101syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
10355, 102eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D
) )
104103ssriv 3184 . . 3  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( log " D
)
10543, 104eqssi 3195 . 2  |-  ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
106 imcncf 18407 . . . 4  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
107 ssid 3197 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
108 ax-resscn 8794 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
109 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
110109cnfldtop 18293 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
111109cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
112111toponunii 16670 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
113112restid 13338 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
114110, 113ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
115114eqcomi 2287 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
116109tgioo2 18309 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
117109, 115, 116cncfcn 18413 . . . . 5  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
118107, 108, 117mp2an 653 . . . 4  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
119106, 118eleqtri 2355 . . 3  |-  Im  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
120 iooretop 18275 . . 3  |-  ( -u pi (,) pi )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
121 cnima 16994 . . 3  |-  ( ( Im  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  ( -u pi (,) pi )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( `' Im "
( -u pi (,) pi ) )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
122119, 120, 121mp2an 653 . 2  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
123105, 122eqeltri 2353 1  |-  ( log " D )  e.  (
TopOpen ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   (,]cioc 10657   Imcim 11583   expce 12343   picpi 12348   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631    Cn ccn 16954   -cn->ccncf 18380   logclog 19912
This theorem is referenced by:  dvlog  19998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
  Copyright terms: Public domain W3C validator