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Theorem dvloglem 20011
Description: Lemma for dvlog 20014. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
dvloglem  |-  ( log " D )  e.  (
TopOpen ` fld )

Proof of Theorem dvloglem
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 19938 . . . . . 6  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1ofun 5490 . . . . . 6  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  log )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  Fun  log
4 logcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
54logdmss 20005 . . . . . 6  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 f1odm 5492 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } ) )
71, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } )
85, 7sseqtr4i 3224 . . . . 5  |-  D  C_  dom  log
9 funimass4 5589 . . . . 5  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( log " D
)  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
103, 8, 9mp2an 653 . . . 4  |-  ( ( log " D ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
114ellogdm 20002 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
1211simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
134logdmn0 20003 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
14 logcl 19942 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( log `  x
)  e.  CC )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
1615imcld 11696 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
17 logimcl 19943 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
1812, 13, 17syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
1918simpld 445 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) ) )
204logdmnrp 20004 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  -.  -u x  e.  RR+ )
21 lognegb 19959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  pi ) )
2212, 13, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u x  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  x
) )  =  pi ) )
2322necon3bbid 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi ) )
2420, 23mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi )
2524necomd 2542 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) )
26 pire 19848 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
2726a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  pi  e.  RR )
2818simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi )
2916, 27, 28leltned 8986 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( Im `  ( log `  x ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) ) )
3025, 29mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi )
31 ressxr 8892 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
3226renegcli 9124 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
3331, 32sselii 3190 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR*
3431, 26sselii 3190 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR*
35 elioo2 10713 . . . . . . 7  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <  pi ) ) )
3633, 34, 35mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi ) )
3716, 19, 30, 36syl3anbrc 1136 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
38 imf 11614 . . . . . 6  |-  Im : CC
--> RR
39 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
40 elpreima 5661 . . . . . 6  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( log `  x
)  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4138, 39, 40mp2b 9 . . . . 5  |-  ( ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( ( log `  x )  e.  CC  /\  ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  (
-u pi (,) pi ) ) )
4215, 37, 41sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
4310, 42mprgbir 2626 . . 3  |-  ( log " D )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
44 df-ioo 10676 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
45 df-ioc 10677 . . . . . . . . . 10  |-  (,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <_  y ) } )
46 idd 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( -u pi  <  w  ->  -u pi  <  w
) )
47 xrltle 10499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
w  <  pi  ->  w  <_  pi ) )
4844, 45, 46, 47ixxssixx 10686 . . . . . . . . 9  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  ( -u pi (,] pi )
49 imass2 5065 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u pi (,) pi )  C_  ( -u pi (,] pi )  ->  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
51 logrn 19932 . . . . . . . 8  |-  ran  log  =  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
5250, 51sseqtr4i 3224 . . . . . . 7  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ran  log
5352sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ran  log )
54 logef 19951 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
5553, 54syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  =  x )
56 elpreima 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
5738, 39, 56mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
58 efcl 12380 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
5958adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  CC )
6057, 59sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6157simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
6261imcld 11696 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  e.  RR )
6357simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
64 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
6665simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  <  pi )
6762, 66ltned 8971 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
Im `  x )  =/=  pi )
6855adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
6968fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( exp `  x
) ) )  =  ( Im `  x
) )
70 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )
71 mnfxr 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -oo  e.  RR*
72 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
73 elioc2 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( ( exp `  x )  e.  RR  /\  -oo  <  ( exp `  x )  /\  ( exp `  x
)  <_  0 ) ) )
7471, 72, 73mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  x )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( ( exp `  x )  e.  RR  /\  -oo  <  ( exp `  x )  /\  ( exp `  x
)  <_  0 ) )
7570, 74sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( exp `  x
)  /\  ( exp `  x )  <_  0
) )
7675simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  RR )
7776renegcld 9226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( exp `  x
)  e.  RR )
78 efne0 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7961, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
8079adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  =/=  0 )
8180necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  =/=  ( exp `  x ) )
8272a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  e.  RR )
8375simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  <_  0 )
8476, 82, 83leltned 8986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  <  0  <->  0  =/=  ( exp `  x ) ) )
8581, 84mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( exp `  x
)  <  0 )
8676lt0neg1d 9358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( ( exp `  x
)  <  0  <->  0  <  -u ( exp `  x
) ) )
8785, 86mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
0  <  -u ( exp `  x ) )
8877, 87elrpd 10404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  ->  -u ( exp `  x
)  e.  RR+ )
89 lognegb 19959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  ( exp `  x )  =/=  0 )  -> 
( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
9060, 79, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( -u ( exp `  x
)  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  ( exp `  x ) ) )  =  pi ) )
9288, 91mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  ( log `  ( exp `  x
) ) )  =  pi )
9369, 92eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) )  -> 
( Im `  x
)  =  pi )
9493ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  (
Im `  x )  =  pi ) )
9594necon3ad 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( Im `  x
)  =/=  pi  ->  -.  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9667, 95mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  -.  ( exp `  x )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
97 eldif 3175 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  x )  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( ( exp `  x )  e.  CC  /\ 
-.  ( exp `  x
)  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
9860, 96, 97sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
9998, 4syl6eleqr 2387 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( exp `  x )  e.  D )
100 funfvima2 5770 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( exp `  x
)  e.  D  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) ) )
1013, 8, 100mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
10299, 101syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
10355, 102eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D
) )
104103ssriv 3197 . . 3  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( log " D
)
10543, 104eqssi 3208 . 2  |-  ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
106 imcncf 18423 . . . 4  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
107 ssid 3210 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
108 ax-resscn 8810 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
109 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
110109cnfldtop 18309 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
111109cnfldtopon 18308 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
112111toponunii 16686 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
113112restid 13354 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
114110, 113ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
115114eqcomi 2300 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
116109tgioo2 18325 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
117109, 115, 116cncfcn 18429 . . . . 5  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
118107, 108, 117mp2an 653 . . . 4  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
119106, 118eleqtri 2368 . . 3  |-  Im  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)
120 iooretop 18291 . . 3  |-  ( -u pi (,) pi )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
121 cnima 17010 . . 3  |-  ( ( Im  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  ( -u pi (,) pi )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( `' Im "
( -u pi (,) pi ) )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
122119, 120, 121mp2an 653 . 2  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
123105, 122eqeltri 2366 1  |-  ( log " D )  e.  (
TopOpen ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   -ucneg 9054   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   (,]cioc 10673   Imcim 11599   expce 12359   picpi 12364   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   topGenctg 13358  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647    Cn ccn 16970   -cn->ccncf 18396   logclog 19928
This theorem is referenced by:  dvlog  20014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930
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