MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptcl Structured version   Unicode version

Theorem dvmptcl 19846
Description: Closure lemma for dvmptcmul 19851 and other related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptcl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptcl
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 19794 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) --> CC )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) ) : dom  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) ) --> CC )
4 dvmptadd.da . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
54dmeqd 5073 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
6 dvmptadd.b . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
76ralrimiva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
8 dmmptg 5368 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
105, 9eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
1110feq2d 5582 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) --> CC  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC ) )
123, 11mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC )
134feq1d 5581 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC ) )
1412, 13mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
15 eqid 2437 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
1615fmpt 5891 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
1714, 16sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
1817r19.21bi 2805 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   {cpr 3816    e. cmpt 4267   dom cdm 4879   -->wf 5451  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990    _D cdv 19751
This theorem is referenced by:  dvmptcmul  19851  dvmptdivc  19852  dvmptneg  19853  dvmptsub  19854  dvmptcj  19855  dvmptre  19856  dvmptim  19857  dvmptco  19859  dvivth  19895  ulmdvlem1  20317  pserdvlem2  20345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-icc 10924  df-fz 11045  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-limc 19754  df-dv 19755
  Copyright terms: Public domain W3C validator