MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptcmul Structured version   Unicode version

Theorem dvmptcmul 19850
Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptcmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
dvmptcmul  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptcmul
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptcmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
32adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
4 0cn 9084 . . . 4  |-  0  e.  CC
54a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  CC )
62adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  C  e.  CC )
74a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  CC )
81, 2dvmptc 19844 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  S  |->  C ) )  =  ( x  e.  S  |->  0 ) )
9 dvmptadd.da . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
109dmeqd 5072 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
11 dvmptadd.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
1211ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
13 dmmptg 5367 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
1510, 14eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
16 dvbsss 19789 . . . . . 6  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) 
C_  S
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  C_  S )
1815, 17eqsstr3d 3383 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
19 eqid 2436 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
20 eqid 2436 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2120cnfldtopon 18817 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
22 recnprss 19791 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
231, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
24 resttopon 17225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2521, 23, 24sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
26 topontop 16991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
28 toponuni 16992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )
2925, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
3018, 29sseqtrd 3384 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
31 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  S )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S )
3231ntrss2 17121 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  C_  X
)
3327, 30, 32syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  C_  X
)
34 dvmptadd.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
35 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
3634, 35fmptd 5893 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
3723, 36, 18, 19, 20dvbssntr 19787 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  C_  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X ) )
3815, 37eqsstr3d 3383 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  X
) )
3933, 38eqssd 3365 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  =  X )
401, 6, 7, 8, 18, 19, 20, 39dvmptres2 19848 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
411, 3, 5, 40, 34, 11, 9dvmptmul 19847 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) ) ) )
4234mul02d 9264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
4342oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) )  =  ( 0  +  ( B  x.  C
) ) )
441, 34, 11, 9dvmptcl 19845 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
4544, 3mulcld 9108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
4645addid2d 9267 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
0  +  ( B  x.  C ) )  =  ( B  x.  C ) )
4744, 3mulcomd 9109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B ) )
4843, 46, 473eqtrd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) )  =  ( C  x.  B ) )
4948mpteq2dva 4295 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  A )  +  ( B  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
5041, 49eqtrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    C_ wss 3320   {cpr 3815   U.cuni 4015    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    x. cmul 8995   ↾t crest 13648   TopOpenctopn 13649  ℂfldccnfld 16703   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   intcnt 17081    _D cdv 19750
This theorem is referenced by:  dvmptdivc  19851  dvmptneg  19852  dvmptre  19855  dvmptim  19856  dvsincos  19865  cmvth  19875  dvlipcn  19878  dvivthlem1  19892  dvfsumle  19905  dvfsumabs  19907  dvfsumlem2  19911  dvply1  20201  dvtaylp  20286  pserdvlem2  20344  pige3  20425  dvcxp1  20626  dvcxp2  20627  dvatan  20775  divsqrsumlem  20818  logexprlim  21009  log2sumbnd  21238  lgamgulmlem2  24814  dvreasin  26290  areacirclem1  26292  lhe4.4ex1a  27523  expgrowthi  27527  expgrowth  27529
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754
  Copyright terms: Public domain W3C validator