MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptcmul Unicode version

Theorem dvmptcmul 19329
Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptcmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
dvmptcmul  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptcmul
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptcmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
32adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
4 0cn 8847 . . . 4  |-  0  e.  CC
54a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  CC )
62adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  C  e.  CC )
74a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  CC )
81, 2dvmptc 19323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  S  |->  C ) )  =  ( x  e.  S  |->  0 ) )
9 dvmptadd.da . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
109dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
11 dvmptadd.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
1211ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
13 dmmptg 5186 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
1412, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
1510, 14eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
16 dvbsss 19268 . . . . . 6  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) 
C_  S
1716a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  C_  S )
1815, 17eqsstr3d 3226 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
19 eqid 2296 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
20 eqid 2296 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2120cnfldtopon 18308 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
22 recnprss 19270 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
231, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
24 resttopon 16908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2521, 23, 24sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
26 topontop 16680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
2725, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
28 toponuni 16681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )
2925, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
3018, 29sseqtrd 3227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
31 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  S )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  S )
3231ntrss2 16810 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  C_  X
)
3327, 30, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  C_  X
)
34 dvmptadd.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
35 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
3634, 35fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
3723, 36, 18, 19, 20dvbssntr 19266 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  C_  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X ) )
3815, 37eqsstr3d 3226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  X
) )
3933, 38eqssd 3209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  X )  =  X )
401, 6, 7, 8, 18, 19, 20, 39dvmptres2 19327 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
411, 3, 5, 40, 34, 11, 9dvmptmul 19326 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) ) ) )
4234mul02d 9026 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
4342oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) )  =  ( 0  +  ( B  x.  C
) ) )
441, 34, 11, 9dvmptcl 19324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
4544, 3mulcld 8871 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
4645addid2d 9029 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
0  +  ( B  x.  C ) )  =  ( B  x.  C ) )
4744, 3mulcomd 8872 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  x.  C )  =  ( C  x.  B ) )
4843, 46, 473eqtrd 2332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( 0  x.  A
)  +  ( B  x.  C ) )  =  ( C  x.  B ) )
4948mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  A )  +  ( B  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
5041, 49eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( C  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   {cpr 3654   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   intcnt 16770    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  dvmptdivc  19330  dvmptneg  19331  dvmptre  19334  dvmptim  19335  dvsincos  19344  cmvth  19354  dvlipcn  19357  dvivthlem1  19371  dvfsumle  19384  dvfsumabs  19386  dvfsumlem2  19390  dvply1  19680  dvtaylp  19765  pserdvlem2  19820  pige3  19901  dvcxp1  20098  dvcxp2  20099  dvatan  20247  divsqrsumlem  20290  logexprlim  20480  log2sumbnd  20709  dvreasin  25026  areacirclem2  25028  lhe4.4ex1a  27649  expgrowthi  27653  expgrowth  27655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator