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Theorem dvmptfsum 19322
Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfsum.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptfsum.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptfsum.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptfsum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
dvmptfsum.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
dvmptfsum.a  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
dvmptfsum.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
dvmptfsum.d  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptfsum  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) )
Distinct variable groups:    x, i, I    ph, i, x    S, i, x    i, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, i)    B( x, i)    J( x, i)    K( x, i)

Proof of Theorem dvmptfsum
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3197 . 2  |-  I  C_  I
2 dvmptfsum.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
3 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  I  <->  (/)  C_  I
) )
4 sumeq1 12162 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  (/)  A )
54mpteq2dv 4107 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )
65oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) ) )
7 sumeq1 12162 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  (/)  B )
87mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) )
96, 8eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) )
103, 9imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )
)  <->  ( (/)  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) ) )
1110imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( a  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) ) ) )
12 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  I  <->  b  C_  I ) )
13 sumeq1 12162 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  b  A )
1413mpteq2dv 4107 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)
1514oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) ) )
16 sumeq1 12162 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  b  B )
1716mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)
1815, 17eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )
1912, 18imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) ) )
2019imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( b 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) ) ) )
21 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  I 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  I ) )
22 sumeq1 12162 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A )
2322mpteq2dv 4107 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )
2423oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) ) )
25 sumeq1 12162 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B )
2625mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) )
2724, 26eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) )
2821, 27imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) ) ) )
2928imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ph  ->  ( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
30 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
a  C_  I  <->  I  C_  I
) )
31 sumeq1 12162 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  sum_ i  e.  a  A  =  sum_ i  e.  I  A )
3231mpteq2dv 4107 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A )
)
3332oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) ) )
34 sumeq1 12162 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  sum_ i  e.  a  B  =  sum_ i  e.  I  B )
3534mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B )
)
3633, 35eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) )
3730, 36imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
( a  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  B ) )  <->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) )
3837imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( ph  ->  ( a 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  a  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  a  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( I 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) ) )
39 dvmptfsum.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
40 0cn 8831 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
4140a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  0  e.  CC )
4240a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
4339, 42dvmptc 19307 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  S  |->  0 ) )  =  ( x  e.  S  |->  0 ) )
44 dvmptfsum.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( Kt  S )
45 dvmptfsum.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
4645cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
47 recnprss 19254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4839, 47syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
49 resttopon 16892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
5046, 48, 49sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
5144, 50syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  S ) )
52 dvmptfsum.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
53 toponss 16667 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  S )  /\  X  e.  J )  ->  X  C_  S )
5451, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
5539, 41, 41, 43, 54, 44, 45, 52dvmptres 19312 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  0 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
56 sum0 12194 . . . . . . . 8  |-  sum_ i  e.  (/)  A  =  0
5756mpteq2i 4103 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
5857oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) )
59 sum0 12194 . . . . . . 7  |-  sum_ i  e.  (/)  B  =  0
6059mpteq2i 4103 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
6155, 58, 603eqtr4g 2340 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) )
6261a1d 22 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  I  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  (/)  B ) ) )
63 ssun1 3338 . . . . . . . . . 10  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
64 sstr 3187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  C_  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I )  -> 
b  C_  I )
6563, 64mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  b  C_  I )
6665imim1i 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )
67 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ph )
6867, 39syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
692ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  I  e.  Fin )
7065ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  b  C_  I )
71 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  b  C_  I )  -> 
b  e.  Fin )
7269, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  b  e.  Fin )
73 simp1ll 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X  /\  i  e.  b )  ->  ph )
74733expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  ph )
7570sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  i  e.  I )
76 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  a  e.  X )
77 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )
78 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ A
7978nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ A  e.  CC
8077, 79nfim 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
81 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  X  <->  a  e.  X ) )
82813anbi3d 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  <->  ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )
) )
83 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  A  =  [_ a  /  x ]_ A )
8483eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
8582, 84imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) ) )
86 dvmptfsum.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  CC )
8780, 85, 86chvar 1926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X
)  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
8874, 75, 76, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  b )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
8972, 88fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
9089adantlrr 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
91 sumex 12160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  e.  _V
9291a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  e.  _V )
93 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a sum_ i  e.  b  A
94 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
b
9594, 78nfsum 12164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
9683sumeq2sdv 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  b  A  =  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
)
9793, 95, 96cbvmpt 4110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A )
9897oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
) )
99 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ a sum_ i  e.  b  B
100 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ B
10194, 100nfsum 12164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
102 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  B  =  [_ a  /  x ]_ B )
103102sumeq2sdv 12177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  b  B  =  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
)
10499, 101, 103cbvmpt 4110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B )
10598, 104eqeq12i 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  <->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B ) )
106105biimpi 186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )  ->  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A
) )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B
) )
107106ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B ) )
108 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ph )
109 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
110 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { c }  C_  ( b  u.  {
c } )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  { c }  C_  I )
111109, 110mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  { c }  C_  I )
112 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  c  e. 
_V
113112snss 3748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  I  <->  { c }  C_  I )
114111, 113sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  I  ->  c  e.  I )
115114ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  c  e.  I )
116 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  X )
117863expb 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  A  e.  CC )
118117ancom2s 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  i  e.  I ) )  ->  A  e.  CC )
119118ralrimivva 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC )
120 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A
121120nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ i
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC
122 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
123122eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( [_ a  /  x ]_ A  e.  CC  <->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
)
12479, 121, 84, 123rspc2 2889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  X  /\  c  e.  I )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
125124ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  A  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC ) )
126119, 125mpan9 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  I  /\  a  e.  X ) )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
127108, 115, 116, 126syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
128127adantlrr 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
129 dvmptfsum.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X
)  ->  B  e.  CC )
1301293expb 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  x  e.  X ) )  ->  B  e.  CC )
131130ancom2s 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  i  e.  I ) )  ->  B  e.  CC )
132131ralrimivva 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC )
133100nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ B  e.  CC
134 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B
135134nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ i
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC
136102eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
137 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
138137eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( [_ a  /  x ]_ B  e.  CC  <->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
)
139133, 135, 136, 138rspc2 2889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  X  /\  c  e.  I )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
140139ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. i  e.  I  B  e.  CC  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) )
141132, 140mpan9 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  I  /\  a  e.  X ) )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
142108, 115, 116, 141syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
143142adantlrr 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  /\  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) ) )  /\  a  e.  X )  ->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
144114ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  c  e.  I
)
145 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i ( ph  /\  c  e.  I )
146 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i S
147 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i  _D
148 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ i X
149 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ A
150148, 149nfmpt 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A )
151146, 147, 150nfov 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
152 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i [_ c  /  i ]_ B
153148, 152nfmpt 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B )
154151, 153nfeq 2426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
)
155145, 154nfim 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( ( ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
) )
156 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  (
i  e.  I  <->  c  e.  I ) )
157156anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  c  ->  (
( ph  /\  i  e.  I )  <->  ( ph  /\  c  e.  I ) ) )
158 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  c  ->  A  =  [_ c  /  i ]_ A )
159158mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
) )
160159oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) ) )
161 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  c  ->  B  =  [_ c  /  i ]_ B )
162161mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  c  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
) )
163160, 162eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  c  ->  (
( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) ) )
164157, 163imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  c  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <->  ( ( ph  /\  c  e.  I
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) ) ) )
165 dvmptfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
166155, 164, 165chvar 1926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ B ) )
167 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ a [_ c  /  i ]_ A
168 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
c
169168, 78nfcsb 3115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A
17083csbeq2dv 3106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  [_ c  /  i ]_ A  =  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
171167, 169, 170cbvmpt 4110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A
)  =  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
172171oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ A ) )  =  ( S  _D  (
a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
173 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a [_ c  /  i ]_ B
174168, 100nfcsb 3115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B
175102csbeq2dv 3106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  [_ c  /  i ]_ B  =  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
176173, 174, 175cbvmpt 4110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ B
)  =  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
177166, 172, 1763eqtr3g 2338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  I )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
17867, 144, 177syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )  =  ( a  e.  X  |-> 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
17968, 90, 92, 107, 128, 143, 178dvmptadd 19309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )  =  ( a  e.  X  |->  (
sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
180 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ a sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A
181 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( b  u.  {
c } )
182181, 78nfsum 12164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A
18383sumeq2sdv 12177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A  =  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A )
184180, 182, 183cbvmpt 4110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) [_ a  /  x ]_ A
)
185 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  -.  c  e.  b )
186 disjsn 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  i^i  { c } )  =  (/)  <->  -.  c  e.  b )
187185, 186sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  i^i  {
c } )  =  (/) )
188 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  =  ( b  u.  {
c } ) )
189 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  C_  I )
190 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
b  u.  { c } )  e.  Fin )
19169, 189, 190syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( b  u.  {
c } )  e. 
Fin )
192 simp1ll 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X  /\  i  e.  ( b  u.  { c } ) )  ->  ph )
1931923expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  ph )
194189sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  i  e.  I
)
195 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  a  e.  X
)
196193, 194, 195, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )
197187, 188, 191, 196fsumsplit 12212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ A
) )
198 sumsns 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  _V  /\  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
199112, 127, 198sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ A  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A )
200199oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ A
)  =  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
201197, 200eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) )
202201mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
203184, 202syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
204203adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) )
205204oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( S  _D  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ A  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ A ) ) ) )
206 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ a sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B
207181, 100nfsum 12164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B
208102sumeq2sdv 12177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B  =  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B )
209206, 207, 208cbvmpt 4110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) [_ a  /  x ]_ B
)
21077, 133nfim 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
21182, 136imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC ) ) )
212210, 211, 129chvar 1926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I  /\  a  e.  X
)  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
213193, 194, 195, 212syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  { c } )  C_  I )  /\  a  e.  X
)  /\  i  e.  ( b  u.  {
c } ) )  ->  [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )
214187, 188, 191, 213fsumsplit 12212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ B
) )
215 sumsns 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  e.  _V  /\  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
216112, 142, 215sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  {
c } [_ a  /  x ]_ B  = 
[_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B )
217216oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  ->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  sum_ i  e.  { c } [_ a  /  x ]_ B
)  =  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
218214, 217eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  I )  /\  a  e.  X )  -> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B  =  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) )
219218mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
a  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) [_ a  /  x ]_ B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
220209, 219syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  I )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b 
[_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
221220adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B )  =  ( a  e.  X  |->  ( sum_ i  e.  b  [_ a  /  x ]_ B  +  [_ c  /  i ]_ [_ a  /  x ]_ B ) ) )
222179, 205, 2213eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  c  e.  b )  /\  ( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  /\  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) )
223222exp32 588 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
224223a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
22566, 224syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  c  e.  b )  ->  (
( b  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B ) )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) )
226225expcom 424 . . . . . 6  |-  ( -.  c  e.  b  -> 
( ph  ->  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  A )
)  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  b  B )
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) B ) ) ) ) )
227226adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( ph  ->  ( ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
228227a2d 23 . . . 4  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  -.  c  e.  b
)  ->  ( ( ph  ->  ( b  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  b  B ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( b  u.  {
c } )  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  ( b  u.  { c } ) A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  ( b  u.  {
c } ) B ) ) ) ) )
22911, 20, 29, 38, 62, 228findcard2s 7099 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
sum_ i  e.  I  B ) ) ) )
2302, 229mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  C_  I  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) ) )
2311, 230mpi 16 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ i  e.  I  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [_csb 3081    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740   sum_csu 12158   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvply1  19664  dvtaylp  19749  pserdvlem2  19804  advlogexp  20002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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