MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptim Unicode version

Theorem dvmptim 19723
Description: Function-builder for derivative, imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptcj.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptcj.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptcj.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptim  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( Im `  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( Im `  B ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptim
StepHypRef Expression
1 reex 9014 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
21prid1 3855 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
4 dvmptcj.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
54cjcld 11928 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
* `  A )  e.  CC )
64, 5subcld 9343 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  -  ( * `  A ) )  e.  CC )
7 dvmptcj.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
8 dvmptcj.da . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
93, 4, 7, 8dvmptcl 19712 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
109cjcld 11928 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
* `  B )  e.  CC )
119, 10subcld 9343 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  -  ( * `  B ) )  e.  CC )
124, 7, 8dvmptcj 19721 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( * `  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( * `  B ) ) )
133, 4, 7, 8, 5, 10, 12dvmptsub 19720 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  -  ( * `
 A ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  -  ( * `
 B ) ) ) )
14 2cn 10002 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
15 ax-icn 8982 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
1614, 15mulcli 9028 . . . . 5  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
17 2ne0 10015 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
18 ine0 9401 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
1914, 15, 17, 18mulne0i 9597 . . . . 5  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
2016, 19reccli 9676 . . . 4  |-  ( 1  /  ( 2  x.  _i ) )  e.  CC
2120a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2  x.  _i ) )  e.  CC )
223, 6, 11, 13, 21dvmptcmul 19717 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( ( 1  /  (
2  x.  _i ) )  x.  ( A  -  ( * `  A ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 1  /  (
2  x.  _i ) )  x.  ( B  -  ( * `  B ) ) ) ) )
23 imval2 11883 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
244, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
Im `  A )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
25 divrec2 9627 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  (
* `  A )
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  =/=  0 )  -> 
( ( A  -  ( * `  A
) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _i ) )  x.  ( A  -  ( * `  A
) ) ) )
2616, 19, 25mp3an23 1271 . . . . . 6  |-  ( ( A  -  ( * `
 A ) )  e.  CC  ->  (
( A  -  (
* `  A )
)  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _i ) )  x.  ( A  -  (
* `  A )
) ) )
276, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( A  -  (
* `  A )
)  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _i ) )  x.  ( A  -  (
* `  A )
) ) )
2824, 27eqtrd 2419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
Im `  A )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _i ) )  x.  ( A  -  (
* `  A )
) ) )
2928mpteq2dva 4236 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( Im `  A
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 1  /  (
2  x.  _i ) )  x.  ( A  -  ( * `  A ) ) ) ) )
3029oveq2d 6036 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( Im `  A ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  _i ) )  x.  ( A  -  ( * `  A
) ) ) ) ) )
31 imval2 11883 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  =  ( ( B  -  ( * `  B ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
329, 31syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
Im `  B )  =  ( ( B  -  ( * `  B ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
33 divrec2 9627 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  -  (
* `  B )
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  =/=  0 )  -> 
( ( B  -  ( * `  B
) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _i ) )  x.  ( B  -  ( * `  B
) ) ) )
3416, 19, 33mp3an23 1271 . . . . 5  |-  ( ( B  -  ( * `
 B ) )  e.  CC  ->  (
( B  -  (
* `  B )
)  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _i ) )  x.  ( B  -  (
* `  B )
) ) )
3511, 34syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( B  -  (
* `  B )
)  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _i ) )  x.  ( B  -  (
* `  B )
) ) )
3632, 35eqtrd 2419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
Im `  B )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _i ) )  x.  ( B  -  (
* `  B )
) ) )
3736mpteq2dva 4236 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( Im `  B
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 1  /  (
2  x.  _i ) )  x.  ( B  -  ( * `  B ) ) ) ) )
3822, 30, 373eqtr4d 2429 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( Im `  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( Im `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   {cpr 3758    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924   _ici 8925    x. cmul 8928    - cmin 9223    / cdiv 9609   2c2 9981   *ccj 11828   Imcim 11830    _D cdv 19617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621
  Copyright terms: Public domain W3C validator