MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptntr Unicode version

Theorem dvmptntr 19418
Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptntr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvmptntr.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvmptntr.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptntr.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptntr.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptntr.i  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvmptntr  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    S( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem dvmptntr
StepHypRef Expression
1 dvmptntr.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( Kt  S )
2 dvmptntr.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 18388 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4 dvmptntr.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 resttopon 16992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
63, 4, 5sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
71, 6syl5eqel 2442 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  S ) )
8 topontop 16764 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  J  e.  Top )
97, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
10 dvmptntr.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
11 toponuni 16765 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. J )
127, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. J
)
1310, 12sseqtrd 3290 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  U. J )
14 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1514ntridm 16905 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  (
( int `  J
) `  X )
)  =  ( ( int `  J ) `
 X ) )
169, 13, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  ( ( int `  J ) `  X ) )  =  ( ( int `  J
) `  X )
)
17 dvmptntr.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  =  Y )
1817fveq2d 5609 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  ( ( int `  J ) `  X ) )  =  ( ( int `  J
) `  Y )
)
1916, 18eqtr3d 2392 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  =  ( ( int `  J ) `  Y
) )
2019reseq2d 5034 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J
) `  X )
)  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Y ) ) )
21 dvmptntr.a . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
22 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
2321, 22fmptd 5764 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
242, 1dvres 19359 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  C_  S  /\  X  C_  S ) )  -> 
( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  X ) ) )
254, 23, 10, 10, 24syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  X ) ) )
2614ntrss2 16894 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  X
)  C_  X )
279, 13, 26syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  X )  C_  X )
2817, 27eqsstr3d 3289 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2928, 10sstrd 3265 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
302, 1dvres 19359 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  C_  S  /\  Y  C_  S ) )  -> 
( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Y ) ) )
314, 23, 10, 29, 30syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Y ) ) )
3220, 25, 313eqtr4d 2400 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( S  _D  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) ) )
33 ssid 3273 . . . . 5  |-  X  C_  X
34 resmpt 5079 . . . . 5  |-  ( X 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
3533, 34mp1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
3635oveq2d 5958 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  X ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )
3732, 36eqtr3d 2392 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )
38 resmpt 5079 . . . 4  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3928, 38syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
4039oveq2d 5958 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
4137, 40eqtr3d 2392 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   U.cuni 3906    e. cmpt 4156    |` cres 4770   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   ↾t crest 13418   TopOpenctopn 13419  ℂfldccnfld 16476   Topctop 16731  TopOnctopon 16732   intcnt 16854    _D cdv 19311
This theorem is referenced by:  rolle  19435  cmvth  19436  dvlip  19438  dvlipcn  19439  dvle  19452  dvfsumabs  19468  ftc2  19489  itgparts  19492  itgsubstlem  19493  lgamgulmlem2  24063  areacirc  25523  itgsin0pilem1  27067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-fz 10872  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-cnp 17058  df-xms 17981  df-ms 17982  df-limc 19314  df-dv 19315
  Copyright terms: Public domain W3C validator