MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptre Unicode version

Theorem dvmptre 19318
Description: Function-builder for derivative, real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptcj.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptcj.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptcj.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptre  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( Re `  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( Re `  B ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptre
StepHypRef Expression
1 reex 8828 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
21prid1 3734 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
32a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
4 dvmptcj.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
54cjcld 11681 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
* `  A )  e.  CC )
64, 5addcld 8854 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  +  ( * `  A ) )  e.  CC )
7 dvmptcj.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
8 dvmptcj.da . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
93, 4, 7, 8dvmptcl 19308 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
109cjcld 11681 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
* `  B )  e.  CC )
119, 10addcld 8854 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B  +  ( * `  B ) )  e.  CC )
124, 7, 8dvmptcj 19317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( * `  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( * `  B ) ) )
133, 4, 7, 8, 5, 10, 12dvmptadd 19309 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  +  ( * `
 A ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  +  ( * `
 B ) ) ) )
14 2cn 9816 . . . . 5  |-  2  e.  CC
15 2ne0 9829 . . . . 5  |-  2  =/=  0
1614, 15reccli 9490 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
1716a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
183, 6, 11, 13, 17dvmptcmul 19313 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( ( 1  /  2
)  x.  ( A  +  ( * `  A ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  +  ( * `  B ) ) ) ) )
19 reval 11591 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  / 
2 ) )
204, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
Re `  A )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  / 
2 ) )
21 divrec2 9441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  ( * `  A ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( A  +  ( * `  A ) ) ) )
2214, 15, 21mp3an23 1269 . . . . . 6  |-  ( ( A  +  ( * `
 A ) )  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( A  +  ( * `  A ) ) ) )
236, 22syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( A  +  ( * `  A ) ) ) )
2420, 23eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
Re `  A )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( A  +  ( * `  A ) ) ) )
2524mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( Re `  A
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 1  /  2
)  x.  ( A  +  ( * `  A ) ) ) ) )
2625oveq2d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( Re `  A ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( A  +  ( * `  A
) ) ) ) ) )
27 reval 11591 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  =  ( ( B  +  ( * `  B ) )  / 
2 ) )
289, 27syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
Re `  B )  =  ( ( B  +  ( * `  B ) )  / 
2 ) )
29 divrec2 9441 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  +  ( * `  B ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( B  +  ( * `  B ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  +  ( * `  B ) ) ) )
3014, 15, 29mp3an23 1269 . . . . 5  |-  ( ( B  +  ( * `
 B ) )  e.  CC  ->  (
( B  +  ( * `  B ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  +  ( * `  B ) ) ) )
3111, 30syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( B  +  ( * `  B ) )  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  +  ( * `  B ) ) ) )
3228, 31eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
Re `  B )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  +  ( * `  B ) ) ) )
3332mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( Re `  B
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  +  ( * `  B ) ) ) ) )
3418, 26, 333eqtr4d 2325 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( Re `  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( Re `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {cpr 3641    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    / cdiv 9423   2c2 9795   *ccj 11581   Recre 11582    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvlip  19340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator