MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres Unicode version

Theorem dvmptres 19810
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptres.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
dvmptres.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptres.t  |-  ( ph  ->  Y  e.  J )
Assertion
Ref Expression
dvmptres  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem dvmptres
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptadd.a . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
3 dvmptadd.b . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
4 dvmptadd.da . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
5 dvmptres.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
6 dvmptres.j . 2  |-  J  =  ( Kt  S )
7 dvmptres.k . 2  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
87cnfldtop 18779 . . . . 5  |-  K  e. 
Top
9 resttop 17186 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  -> 
( Kt  S )  e.  Top )
108, 1, 9sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
116, 10syl5eqel 2496 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
12 dvmptres.t . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  J )
13 isopn3i 17109 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  J )  ->  ( ( int `  J
) `  Y )  =  Y )
1411, 12, 13syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Y )  =  Y )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14dvmptres2 19809 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   {cpr 3783    e. cmpt 4234   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   ↾t crest 13611   TopOpenctopn 13612  ℂfldccnfld 16666   Topctop 16921   intcnt 17044    _D cdv 19711
This theorem is referenced by:  dvmptfsum  19820  dvexp3  19823  dvlipcn  19839  dvivthlem1  19853  lhop2  19860  dvfsumle  19866  dvfsumabs  19868  dvfsumlem2  19872  taylthlem2  20251  pserdvlem2  20305  advlog  20506  advlogexp  20507  logtayl  20512  loglesqr  20603  dvatan  20736  log2sumbnd  21199  dvreasin  26187  dvreacos  26188  areacirclem2  26189  areacirclem3  26190  itgsin0pilem1  27619
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-fz 11008  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-cnp 17254  df-xms 18311  df-ms 18312  df-limc 19714  df-dv 19715
  Copyright terms: Public domain W3C validator