MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres2 Unicode version

Theorem dvmptres2 19717
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptadd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptadd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptadd.da  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptres2.z  |-  ( ph  ->  Z  C_  X )
dvmptres2.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvmptres2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptres2.i  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  =  Y )
Assertion
Ref Expression
dvmptres2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Z  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, S    x, V    x, X    x, Y    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem dvmptres2
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 recnprss 19660 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
4 dvmptadd.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
5 eqid 2389 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
64, 5fmptd 5834 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
7 dvmptadd.da . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
87dmeqd 5014 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
9 dvmptadd.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
109ralrimiva 2734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
11 dmmptg 5309 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  X  |->  B )  =  X )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
138, 12eqtrd 2421 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
14 dvbsss 19658 . . . 4  |-  dom  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) 
C_  S
1513, 14syl6eqssr 3344 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
16 dvmptres2.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  C_  X )
1716, 15sstrd 3303 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  C_  S )
18 dvmptres2.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
19 dvmptres2.j . . . 4  |-  J  =  ( Kt  S )
2018, 19dvres 19667 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  C_  S  /\  Z  C_  S ) )  -> 
( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
213, 6, 15, 17, 20syl22anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
22 resmpt 5133 . . . 4  |-  ( Z 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z )  =  ( x  e.  Z  |->  A ) )
2316, 22syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Z )  =  ( x  e.  Z  |->  A ) )
2423oveq2d 6038 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Z ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Z  |->  A ) ) )
257reseq1d 5087 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( ( int `  J ) `  Z ) ) )
26 dvmptres2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  =  Y )
2726reseq2d 5088 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )
)
2818cnfldtopon 18690 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
29 resttopon 17149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3028, 3, 29sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3119, 30syl5eqel 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  S ) )
32 topontop 16916 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  J  e.  Top )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
34 toponuni 16917 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. J )
3531, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. J
)
3617, 35sseqtrd 3329 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  C_  U. J )
37 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
3837ntrss2 17046 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Z  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  Z
)  C_  Z )
3933, 36, 38syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  J
) `  Z )  C_  Z )
4026, 39eqsstr3d 3328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  Z )
4140, 16sstrd 3303 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
42 resmpt 5133 . . . 4  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4341, 42syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4425, 27, 433eqtrd 2425 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  ( ( int `  J
) `  Z )
)  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4521, 24, 443eqtr3d 2429 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Z  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651    C_ wss 3265   {cpr 3760   U.cuni 3959    e. cmpt 4209   dom cdm 4820    |` cres 4822   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   ↾t crest 13577   TopOpenctopn 13578  ℂfldccnfld 16628   Topctop 16883  TopOnctopon 16884   intcnt 17006    _D cdv 19619
This theorem is referenced by:  dvmptres  19718  dvmptcmul  19719  rolle  19743  mvth  19745  taylthlem1  20158  pige3  20294  logccv  20423  lgamgulmlem2  24595  lhe4.4ex1a  27217  itgsinexplem1  27418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-fz 10978  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-cnp 17216  df-xms 18261  df-ms 18262  df-limc 19622  df-dv 19623
  Copyright terms: Public domain W3C validator