MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres3 Unicode version

Theorem dvmptres3 19321
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptres3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptres3.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptres3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
dvmptres3.y  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  X
)  =  Y )
dvmptres3.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptres3.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptres3.d  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptres3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    S( x)    J( x)    V( x)

Proof of Theorem dvmptres3
StepHypRef Expression
1 dvmptres3.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptres3.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
42, 3fmptd 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
5 dvmptres3.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
6 dvmptres3.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
76dmeqd 4897 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
8 dvmptres3.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
98ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
10 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
1110fnmpt 5386 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X )
129, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X
)
13 fndm 5359 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
1412, 13syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
157, 14eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
16 dvmptres3.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1716dvres3a 19280 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  e.  J  /\  dom  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  X ) )  ->  ( S  _D  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S ) )
181, 4, 5, 15, 17syl22anc 1183 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S )
)
19 rescom 4996 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  |`  X )
20 resres 4984 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  |`  X )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )
2119, 20eqtri 2316 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )
22 dvmptres3.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  X
)  =  Y )
2322reseq2d 4971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )
)
2421, 23syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )
25 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC  ->  ( x  e.  X  |->  A )  Fn  X )
26 fnresdm 5369 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  Fn  X  -> 
( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
274, 25, 263syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
2827reseq1d 4970 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )
29 inss2 3403 . . . . . . 7  |-  ( S  i^i  X )  C_  X
3029a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  X
)  C_  X )
3122, 30eqsstr3d 3226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
32 resmpt 5016 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3331, 32syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3424, 28, 333eqtr3d 2336 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3534oveq2d 5890 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
36 rescom 4996 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  S )  |`  X )
37 resres 4984 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  S )  |`  X )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )
3836, 37eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )
3922reseq2d 4971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )
)
4038, 39syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y ) )
41 fnresdm 5369 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X  -> 
( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
4212, 41syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
4342, 6eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )
4443reseq1d 4970 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( CC 
_D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S ) )
45 resmpt 5016 . . . 4  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4631, 45syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4740, 44, 463eqtr3d 2336 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4818, 35, 473eqtr3d 2336 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {cpr 3654    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  dvmptid  19322  dvmptc  19323  taylthlem1  19768  taylthlem2  19769  pige3  19901  dvcxp1  20098  dvreasin  25026  areacirclem2  25028  areacirclem3  25029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator