MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres3 Structured version   Unicode version

Theorem dvmptres3 19844
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptres3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
dvmptres3.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvmptres3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
dvmptres3.y  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  X
)  =  Y )
dvmptres3.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptres3.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptres3.d  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
Assertion
Ref Expression
dvmptres3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    S( x)    J( x)    V( x)

Proof of Theorem dvmptres3
StepHypRef Expression
1 dvmptres3.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvmptres3.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
42, 3fmptd 5895 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
5 dvmptres3.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
6 dvmptres3.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
76dmeqd 5074 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
8 dvmptres3.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
98ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  V )
10 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
1110fnmpt 5573 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  V  ->  ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X
)
13 fndm 5546 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
157, 14eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  X )
16 dvmptres3.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1716dvres3a 19803 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )  /\  ( X  e.  J  /\  dom  ( CC  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  X ) )  ->  ( S  _D  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S ) )
181, 4, 5, 15, 17syl22anc 1186 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S )
)
19 rescom 5173 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  |`  X )
20 resres 5161 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  |`  X )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )
2119, 20eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )
22 dvmptres3.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  X
)  =  Y )
2322reseq2d 5148 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  ( S  i^i  X ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )
)
2421, 23syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y ) )
25 ffn 5593 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC  ->  ( x  e.  X  |->  A )  Fn  X )
26 fnresdm 5556 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  Fn  X  -> 
( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
274, 25, 263syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
2827reseq1d 5147 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )
29 inss2 3564 . . . . . 6  |-  ( S  i^i  X )  C_  X
3022, 29syl6eqssr 3401 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
31 resmpt 5193 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3230, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3324, 28, 323eqtr3d 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  S )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
3433oveq2d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  S ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  Y  |->  A ) ) )
35 rescom 5173 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  S )  |`  X )
36 resres 5161 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  S )  |`  X )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )
3735, 36eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )
3822reseq2d 5148 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  ( S  i^i  X ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )
)
3937, 38syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y ) )
40 fnresdm 5556 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  Fn  X  -> 
( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
4112, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
4241, 6eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  =  ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )
4342reseq1d 5147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  X )  |`  S )  =  ( ( CC 
_D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S ) )
44 resmpt 5193 . . . 4  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4530, 44syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  B )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4639, 43, 453eqtr3d 2478 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  X  |->  A ) )  |`  S )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
4718, 34, 463eqtr3d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  Y  |->  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {cpr 3817    e. cmpt 4268   dom cdm 4880    |` cres 4882    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   TopOpenctopn 13651  ℂfldccnfld 16705    _D cdv 19752
This theorem is referenced by:  dvmptid  19845  dvmptc  19846  taylthlem1  20291  taylthlem2  20292  pige3  20427  dvcxp1  20628  dvreasin  26292  areacirclem1  26294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-limc 19755  df-dv 19756
  Copyright terms: Public domain W3C validator