MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmul Unicode version

Theorem dvmul 19290
Description: The product rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvadd.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvadd.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
dvadd.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
dvadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvadd.df  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
dvadd.dg  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
Assertion
Ref Expression
dvmul  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) `  C )  =  ( ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  ( G `  C )
)  +  ( ( ( S  _D  G
) `  C )  x.  ( F `  C
) ) ) )

Proof of Theorem dvmul
StepHypRef Expression
1 dvadd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 19256 . . 3  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) : dom  ( S  _D  ( F  o F  x.  G )
) --> CC )
3 ffun 5391 . . 3  |-  ( ( S  _D  ( F  o F  x.  G
) ) : dom  ( S  _D  ( F  o F  x.  G
) ) --> CC  ->  Fun  ( S  _D  ( F  o F  x.  G
) ) )
41, 2, 33syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) )
5 dvadd.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
6 dvadd.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
7 dvadd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
8 dvadd.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
9 recnprss 19254 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
101, 9syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
11 fvex 5539 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) `
 C )  e. 
_V
1211a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  _V )
13 fvex 5539 . . . 4  |-  ( ( S  _D  G ) `
 C )  e. 
_V
1413a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  G ) `  C
)  e.  _V )
15 dvadd.df . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
16 dvfg 19256 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
171, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
18 ffun 5391 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
19 funfvbrb 5638 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  C )
) )
2017, 18, 193syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )
2115, 20mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) )
22 dvadd.dg . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
23 dvfg 19256 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC )
241, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : dom  ( S  _D  G ) --> CC )
25 ffun 5391 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  G ) )
26 funfvbrb 5638 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  G
)  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  G )  <->  C ( S  _D  G ) ( ( S  _D  G
) `  C )
) )
2724, 25, 263syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  G
)  <->  C ( S  _D  G ) ( ( S  _D  G ) `
 C ) ) )
2822, 27mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) ( ( S  _D  G ) `
 C ) )
29 eqid 2283 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
305, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 21, 28, 29dvmulbr 19288 . 2  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) ( ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  ( G `  C )
)  +  ( ( ( S  _D  G
) `  C )  x.  ( F `  C
) ) ) )
31 funbrfv 5561 . 2  |-  ( Fun  ( S  _D  ( F  o F  x.  G
) )  ->  ( C ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) ( ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  ( G `  C )
)  +  ( ( ( S  _D  G
) `  C )  x.  ( F `  C
) ) )  -> 
( ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) `  C )  =  ( ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  ( G `  C )
)  +  ( ( ( S  _D  G
) `  C )  x.  ( F `  C
) ) ) ) )
324, 30, 31sylc 56 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) `  C )  =  ( ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  ( G `  C )
)  +  ( ( ( S  _D  G
) `  C )  x.  ( F `  C
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {cpr 3641   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740    x. cmul 8742   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvmulf  19292  dvcmul  19293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator