MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmul Structured version   Unicode version

Theorem dvmul 19827
Description: The product rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvadd.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvadd.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
dvadd.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
dvadd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvadd.df  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
dvadd.dg  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
Assertion
Ref Expression
dvmul  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) `  C )  =  ( ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  ( G `  C )
)  +  ( ( ( S  _D  G
) `  C )  x.  ( F `  C
) ) ) )

Proof of Theorem dvmul
StepHypRef Expression
1 dvadd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 19793 . . 3  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) : dom  ( S  _D  ( F  o F  x.  G )
) --> CC )
3 ffun 5593 . . 3  |-  ( ( S  _D  ( F  o F  x.  G
) ) : dom  ( S  _D  ( F  o F  x.  G
) ) --> CC  ->  Fun  ( S  _D  ( F  o F  x.  G
) ) )
41, 2, 33syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) )
5 dvadd.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
6 dvadd.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
7 dvadd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
8 dvadd.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
9 recnprss 19791 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
101, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
11 fvex 5742 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) `
 C )  e. 
_V
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  _V )
13 fvex 5742 . . . 4  |-  ( ( S  _D  G ) `
 C )  e. 
_V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  G ) `  C
)  e.  _V )
15 dvadd.df . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
16 dvfg 19793 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
171, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
18 ffun 5593 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
19 funfvbrb 5843 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  C )
) )
2017, 18, 193syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )
2115, 20mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) )
22 dvadd.dg . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
23 dvfg 19793 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC )
241, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : dom  ( S  _D  G ) --> CC )
25 ffun 5593 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  G ) )
26 funfvbrb 5843 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  G
)  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  G )  <->  C ( S  _D  G ) ( ( S  _D  G
) `  C )
) )
2724, 25, 263syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  G
)  <->  C ( S  _D  G ) ( ( S  _D  G ) `
 C ) ) )
2822, 27mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) ( ( S  _D  G ) `
 C ) )
29 eqid 2436 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
305, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 21, 28, 29dvmulbr 19825 . 2  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) ( ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  ( G `  C )
)  +  ( ( ( S  _D  G
) `  C )  x.  ( F `  C
) ) ) )
31 funbrfv 5765 . 2  |-  ( Fun  ( S  _D  ( F  o F  x.  G
) )  ->  ( C ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) ( ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  ( G `  C )
)  +  ( ( ( S  _D  G
) `  C )  x.  ( F `  C
) ) )  -> 
( ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) `  C )  =  ( ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  ( G `  C )
)  +  ( ( ( S  _D  G
) `  C )  x.  ( F `  C
) ) ) ) )
324, 30, 31sylc 58 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) `  C )  =  ( ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  ( G `  C )
)  +  ( ( ( S  _D  G
) `  C )  x.  ( F `  C
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   {cpr 3815   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   Fun wfun 5448   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   CCcc 8988   RRcr 8989    + caddc 8993    x. cmul 8995   TopOpenctopn 13649  ℂfldccnfld 16703    _D cdv 19750
This theorem is referenced by:  dvmulf  19829  dvcmul  19830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754
  Copyright terms: Public domain W3C validator