MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmulbr Structured version   Unicode version

Theorem dvmulbr 19830
Description: The product rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvadd.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvadd.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
dvadd.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
dvaddbr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvadd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
dvadd.l  |-  ( ph  ->  L  e.  V )
dvadd.bf  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
dvadd.bg  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
dvadd.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvmulbr  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) ( ( K  x.  ( G `  C )
)  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) ) )

Proof of Theorem dvmulbr
Dummy variables  y 
z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
2 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
3 dvadd.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
4 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvaddbr.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvadd.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
7 dvadd.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 19790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) K  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
91, 8mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
109simpld 447 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
) )
11 dvadd.bg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
12 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
13 dvadd.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
14 dvadd.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 19790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
1611, 15mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
1716simpld 447 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y
) )
18 elin 3532 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
1910, 17, 18sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
203cnfldtopon 18822 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
21 resttopon 17230 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2220, 5, 21sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
23 topontop 16996 . . . . 5  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
25 toponuni 16997 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
2622, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
277, 26sseqtrd 3386 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ( Jt  S ) )
2814, 26sseqtrd 3386 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  U. ( Jt  S ) )
29 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
3029ntrin 17130 . . . 4  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  Y  C_ 
U. ( Jt  S ) )  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3124, 27, 28, 30syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3219, 31eleqtrrd 2515 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
336adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  F : X --> CC )
34 inss1 3563 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
35 eldifi 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
3635adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
3734, 36sseldi 3348 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  X )
3833, 37ffvelrnd 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
395, 6, 7dvbss 19793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  X
)
40 reldv 19762 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( S  _D  F )
41 releldm 5105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( S  _D  F )  /\  C
( S  _D  F
) K )  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
4240, 1, 41sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
4339, 42sseldd 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
446, 43ffvelrnd 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
4544adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
4638, 45subcld 9416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
477, 5sstrd 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
4847adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  X  C_  CC )
4948, 37sseldd 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  CC )
5047, 43sseldd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5150adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
5249, 51subcld 9416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
53 eldifsni 3930 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  =/=  C )
5453adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  =/=  C )
5549, 51, 54subne0d 9425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  =/=  0 )
5646, 52, 55divcld 9795 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
5713adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  G : Y --> CC )
58 inss2 3564 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
5958, 36sseldi 3348 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  Y )
6057, 59ffvelrnd 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
6156, 60mulcld 9113 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( G `  z )
)  e.  CC )
62 ssdif 3484 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  Y  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
6358, 62mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
6463sselda 3350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( Y 
\  { C }
) )
6514, 5sstrd 3360 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
665, 13, 14dvbss 19793 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  C_  Y
)
67 reldv 19762 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ( S  _D  G )
68 releldm 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Rel  ( S  _D  G )  /\  C
( S  _D  G
) L )  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
6967, 11, 68sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
7066, 69sseldd 3351 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
7113, 65, 70dvlem 19788 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
7264, 71syldan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
7372, 45mulcld 9113 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
)  e.  CC )
74 ssid 3369 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
7574a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
76 txtopon 17628 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
7720, 20, 76mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
7877toponunii 17002 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
7978restid 13666 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( J 
tX  J )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( J  tX  J ) )
8077, 79ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( J 
tX  J )
8180eqcomi 2442 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
829simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
836, 47, 43dvlem 19788 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
8483, 4fmptd 5896 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( X  \  { C } ) --> CC )
85 ssdif 3484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
8634, 85mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
8747ssdifssd 3487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  \  { C } )  C_  CC )
88 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
8934, 7syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  S )
9089, 26sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  U. ( Jt  S ) )
91 difssd 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  X ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
9290, 91unssd 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
93 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X ) ) )
9529ntrss 17124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
9624, 92, 94, 95syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
9796, 32sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
98 elin 3532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  /\  C  e.  X )
)
9997, 43, 98sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
10034a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  X )
101 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( ( Jt  S )t  X )
10229, 101restntr 17251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  X )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
10324, 27, 100, 102syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
1043cnfldtop 18823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  e. 
Top
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
106 cnex 9076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  e.  _V
107 ssexg 4352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
1085, 106, 107sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
109 restabs 17234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
110105, 7, 108, 109syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
111110fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  X ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
112111fveq1d 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
113103, 112eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
11499, 113eleqtrd 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
115 undif1 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( X  u.  { C } )
11643snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { C }  C_  X )
117 ssequn2 3522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { C }  C_  X  <->  ( X  u.  { C } )  =  X )
118116, 117sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  u.  { C } )  =  X )
119115, 118syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  X )
120119oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  X ) )
121120fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
122 undif1 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( ( X  i^i  Y
)  u.  { C } )
123 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( C  e.  X  /\  C  e.  Y ) )
12443, 70, 123sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
125124snssd 3945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { C }  C_  ( X  i^i  Y ) )
126 ssequn2 3522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { C }  C_  ( X  i^i  Y )  <->  ( ( X  i^i  Y )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
127125, 126sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  { C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
128122, 127syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
129121, 128fveq12d 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
130114, 129eleqtrrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
13184, 86, 87, 3, 88, 130limcres 19778 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
132 resmpt 5194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
13386, 132syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
134133oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
135131, 134eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
13682, 135eleqtrd 2514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
137 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
138137, 3dvcnp2 19811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  G : Y --> CC  /\  Y  C_  S )  /\  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C ) )
1395, 13, 14, 69, 138syl31anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )
)
1403, 137cnplimc 19779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  C  e.  Y )  ->  ( G  e.  ( (
( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) ) )
14165, 70, 140syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C
) ) ) )
142139, 141mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) )
143142simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( G lim
CC  C ) )
144 difss 3476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  ( X  i^i  Y )
145144, 58sstri 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  Y
146145a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  Y
)
147 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) )
148 difssd 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
14990, 148unssd 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
150 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) ) )
15229ntrss 17124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
15324, 149, 151, 152syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
154153, 32sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
155 elin 3532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  /\  C  e.  Y )
)
156154, 70, 155sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
15758a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  Y )
158 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( ( Jt  S )t  Y )
15929, 158restntr 17251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  Y  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  Y )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
16024, 28, 157, 159syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
161 restabs 17234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
162105, 14, 108, 161syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
163162fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
164163fveq1d 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
165160, 164eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
166156, 165eleqtrd 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
16770snssd 3945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { C }  C_  Y )
168 ssequn2 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { C }  C_  Y  <->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
169167, 168sylib 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
170169oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) )  =  ( Jt  Y ) )
171170fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
172171, 128fveq12d 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
173166, 172eleqtrrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
17413, 146, 65, 3, 147, 173limcres 19778 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( G lim CC  C ) )
17513, 146feqresmpt 5783 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  |`  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) )
176175oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) lim
CC  C ) )
177174, 176eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  C
)  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
178143, 177eleqtrd 2514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
1793mulcn 18902 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
1805, 6, 7dvcl 19791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
1811, 180mpdan 651 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
18213, 70ffvelrnd 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
183 opelxpi 4913 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( G `  C )  e.  CC )  ->  <. K ,  ( G `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
184181, 182, 183syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. K ,  ( G `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
18578cncnpi 17347 . . . . . 6  |-  ( (  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  ( G `  C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  ( G `  C ) >. )
)
186179, 184, 185sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  ( G `  C )
>. ) )
18756, 60, 75, 75, 3, 81, 136, 178, 186limccnp2 19784 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( G `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z
) ) ) lim CC  C ) )
18816simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
18971, 12fmptd 5896 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( Y  \  { C } ) --> CC )
19065ssdifssd 3487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  \  { C } )  C_  CC )
191 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
192 undif1 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( Y  u.  { C } )
193192, 169syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  Y )
194193oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  Y ) )
195194fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
196195, 128fveq12d 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
197166, 196eleqtrrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
198189, 63, 190, 3, 191, 197limcres 19778 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
199 resmpt 5194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
20063, 199syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
201200oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
202198, 201eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
203188, 202eleqtrd 2514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
20489, 5sstrd 3360 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  CC )
205 cncfmptc 18946 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
)  e.  CC  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) )  e.  ( ( X  i^i  Y ) -cn-> CC ) )
20644, 204, 75, 205syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  i^i  Y ) 
|->  ( F `  C
) )  e.  ( ( X  i^i  Y
) -cn-> CC ) )
207 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( F `  C )  =  ( F `  C ) )
208206, 124, 207cnmptlimc 19782 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C ) )
20944adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
210 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) )  =  ( z  e.  ( X  i^i  Y ) 
|->  ( F `  C
) )
211209, 210fmptd 5896 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  i^i  Y ) 
|->  ( F `  C
) ) : ( X  i^i  Y ) --> CC )
212211limcdif 19768 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C )  =  ( ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C ) )
213 resmpt 5194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  i^i  Y )  -> 
( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) )
214144, 213mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) )
215214oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) lim
CC  C ) )
216212, 215eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) lim
CC  C ) )
217208, 216eleqtrd 2514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C ) )
2185, 13, 14dvcl 19791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
21911, 218mpdan 651 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
220 opelxpi 4913 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  CC  /\  ( F `  C )  e.  CC )  ->  <. L ,  ( F `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
221219, 44, 220syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. L ,  ( F `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
22278cncnpi 17347 . . . . . 6  |-  ( (  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. L ,  ( F `  C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. L ,  ( F `  C ) >. )
)
223179, 221, 222sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. L ,  ( F `  C )
>. ) )
22472, 45, 75, 75, 3, 81, 203, 217, 223limccnp2 19784 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( F `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( F `  C
) ) ) lim CC  C ) )
2253addcn 18900 . . . . 5  |-  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
226181, 182mulcld 9113 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( G `  C )
)  e.  CC )
227219, 44mulcld 9113 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( F `  C )
)  e.  CC )
228 opelxpi 4913 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  x.  ( G `  C )
)  e.  CC  /\  ( L  x.  ( F `  C )
)  e.  CC )  ->  <. ( K  x.  ( G `  C ) ) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
229226, 227, 228syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( K  x.  ( G `  C )
) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
23078cncnpi 17347 . . . . 5  |-  ( (  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <.
( K  x.  ( G `  C )
) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. ( K  x.  ( G `
 C ) ) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >. ) )
231225, 229, 230sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. ( K  x.  ( G `  C ) ) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.
) )
23261, 73, 75, 75, 3, 81, 187, 224, 231limccnp2 19784 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  ( G `  C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( G `  z )
)  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( F `  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
23343adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  X )
23433, 233ffvelrnd 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
23538, 234subcld 9416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
236235, 60mulcld 9113 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `
 z ) )  e.  CC )
23770adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  Y )
23857, 237ffvelrnd 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
23960, 238subcld 9416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  e.  CC )
240239, 234mulcld 9113 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  e.  CC )
24148, 233sseldd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
24249, 241subcld 9416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
243236, 240, 242, 55divdird 9833 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  x.  ( G `
 z ) )  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `  C
) )  /  (
z  -  C ) ) ) )
24438, 60mulcld 9113 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  e.  CC )
245234, 60mulcld 9113 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
)  e.  CC )
246234, 238mulcld 9113 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  C )  x.  ( G `  C )
)  e.  CC )
247244, 245, 246npncand 9440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
)  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  C ) ) ) )  =  ( ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  x.  ( G `  C
) ) ) )
24838, 234, 60subdird 9495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
) ) )
249239, 234mulcomd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 C )  x.  ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
) ) )
250234, 60, 238subdid 9494 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  C )  x.  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  =  ( ( ( F `  C
)  x.  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  x.  ( G `  C
) ) ) )
251249, 250eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  =  ( ( ( F `  C )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  C )
) ) )
252248, 251oveq12d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `  z
) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  x.  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  z ) ) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  C )
) ) ) )
253 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> CC  ->  F  Fn  X )
2546, 253syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
255254adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  F  Fn  X )
256 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : Y --> CC  ->  G  Fn  Y )
25713, 256syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  Y )
258257adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  G  Fn  Y )
259 ssexg 4352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
26047, 106, 259sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
261260adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  X  e.  _V )
262 ssexg 4352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
26365, 106, 262sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
264263adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  Y  e.  _V )
265 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  =  ( X  i^i  Y
)
266 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  =  ( F `
 z ) )
267 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
268255, 258, 261, 264, 265, 266, 267ofval 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )
26936, 268mpdan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )
270124adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
271 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  =  ( F `
 C ) )
272 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  Y )  ->  ( G `  C
)  =  ( G `
 C ) )
273255, 258, 261, 264, 265, 271, 272ofval 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  x.  ( G `
 C ) ) )
274270, 273mpdan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  x.  ( G `
 C ) ) )
275269, 274oveq12d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  x.  ( G `  C
) ) ) )
276247, 252, 2753eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `  z
) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  x.  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) ) )
277276oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )
278235, 60, 242, 55div23d 9832 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `  z
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) ) )
279239, 234, 242, 55div23d 9832 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( F `  C ) ) )
280278, 279oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  x.  ( G `  z ) )  / 
( z  -  C
) )  +  ( ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) )
281243, 277, 2803eqtr3d 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o F  x.  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) )
282281mpteq2dva 4298 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) ) )
283282oveq1d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) ) lim CC  C ) )
284232, 283eleqtrrd 2515 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  ( G `  C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) )
285 eqid 2438 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
286 mulcl 9079 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
287286adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
288287, 6, 13, 260, 263, 265off 6323 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G ) : ( X  i^i  Y
) --> CC )
2892, 3, 285, 5, 288, 89eldv 19790 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  ( F  o F  x.  G )
) ( ( K  x.  ( G `  C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C )
) )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  /\  ( ( K  x.  ( G `
 C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) ) )
29032, 284, 289mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) ( ( K  x.  ( G `  C )
)  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   dom cdm 4881    |` cres 4883   Rel wrel 4886    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306   CCcc 8993    + caddc 8998    x. cmul 9000    - cmin 9296    / cdiv 9682   ↾t crest 13653   TopOpenctopn 13654  ℂfldccnfld 16708   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   intcnt 17086    Cn ccn 17293    CnP ccnp 17294    tX ctx 17597   -cn->ccncf 18911   lim CC climc 19754    _D cdv 19755
This theorem is referenced by:  dvmul  19832  dvmulf  19834  dvef  19869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759
  Copyright terms: Public domain W3C validator