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Theorem dvmulbr 19782
Description: The product rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvadd.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvadd.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
dvadd.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
dvaddbr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvadd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
dvadd.l  |-  ( ph  ->  L  e.  V )
dvadd.bf  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
dvadd.bg  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
dvadd.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvmulbr  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) ( ( K  x.  ( G `  C )
)  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) ) )

Proof of Theorem dvmulbr
Dummy variables  y 
z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
2 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
3 dvadd.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
4 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvaddbr.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvadd.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
7 dvadd.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 19742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) K  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
91, 8mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
109simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
) )
11 dvadd.bg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
12 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
13 dvadd.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
14 dvadd.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 19742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
1611, 15mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
1716simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y
) )
18 elin 3494 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
1910, 17, 18sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
203cnfldtopon 18774 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
21 resttopon 17183 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2220, 5, 21sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
23 topontop 16950 . . . . 5  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
25 toponuni 16951 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
2622, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
277, 26sseqtrd 3348 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ( Jt  S ) )
2814, 26sseqtrd 3348 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  U. ( Jt  S ) )
29 eqid 2408 . . . . 5  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
3029ntrin 17084 . . . 4  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  Y  C_ 
U. ( Jt  S ) )  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3124, 27, 28, 30syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3219, 31eleqtrrd 2485 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
336adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  F : X --> CC )
34 inss1 3525 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
35 eldifi 3433 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
3635adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
3734, 36sseldi 3310 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  X )
3833, 37ffvelrnd 5834 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
395, 6, 7dvbss 19745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  X
)
40 reldv 19714 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( S  _D  F )
41 releldm 5065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( S  _D  F )  /\  C
( S  _D  F
) K )  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
4240, 1, 41sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
4339, 42sseldd 3313 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
446, 43ffvelrnd 5834 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
4544adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
4638, 45subcld 9371 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
477, 5sstrd 3322 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
4847adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  X  C_  CC )
4948, 37sseldd 3313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  CC )
5047, 43sseldd 3313 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5150adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
5249, 51subcld 9371 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
53 eldifsni 3892 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  =/=  C )
5453adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  =/=  C )
5549, 51, 54subne0d 9380 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  =/=  0 )
5646, 52, 55divcld 9750 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
5713adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  G : Y --> CC )
58 inss2 3526 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
5958, 36sseldi 3310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  Y )
6057, 59ffvelrnd 5834 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
6156, 60mulcld 9068 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( G `  z )
)  e.  CC )
62 ssdif 3446 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  Y  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
6358, 62mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
6463sselda 3312 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( Y 
\  { C }
) )
6514, 5sstrd 3322 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
665, 13, 14dvbss 19745 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  C_  Y
)
67 reldv 19714 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ( S  _D  G )
68 releldm 5065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Rel  ( S  _D  G )  /\  C
( S  _D  G
) L )  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
6967, 11, 68sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
7066, 69sseldd 3313 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
7113, 65, 70dvlem 19740 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
7264, 71syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
7372, 45mulcld 9068 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
)  e.  CC )
74 ssid 3331 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
7574a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
76 txtopon 17580 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
7720, 20, 76mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
7877toponunii 16956 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
7978restid 13620 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( J 
tX  J )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( J  tX  J ) )
8077, 79ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( J 
tX  J )
8180eqcomi 2412 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
829simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
836, 47, 43dvlem 19740 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
8483, 4fmptd 5856 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( X  \  { C } ) --> CC )
85 ssdif 3446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
8634, 85mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
8747ssdifssd 3449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  \  { C } )  C_  CC )
88 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
8934, 7syl5ss 3323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  S )
9089, 26sseqtrd 3348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  U. ( Jt  S ) )
91 difssd 3439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  X ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
9290, 91unssd 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
93 ssun1 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X ) ) )
9529ntrss 17078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
9624, 92, 94, 95syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
9796, 32sseldd 3313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
98 elin 3494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  /\  C  e.  X )
)
9997, 43, 98sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
10034a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  X )
101 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( ( Jt  S )t  X )
10229, 101restntr 17204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  X )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
10324, 27, 100, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
1043cnfldtop 18775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  e. 
Top
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
106 cnex 9031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  e.  _V
107 ssexg 4313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
1085, 106, 107sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
109 restabs 17187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
110105, 7, 108, 109syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
111110fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  X ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
112111fveq1d 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
113103, 112eqtr3d 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
11499, 113eleqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
115 undif1 3667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( X  u.  { C } )
11643snssd 3907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { C }  C_  X )
117 ssequn2 3484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { C }  C_  X  <->  ( X  u.  { C } )  =  X )
118116, 117sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  u.  { C } )  =  X )
119115, 118syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  X )
120119oveq2d 6060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  X ) )
121120fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
122 undif1 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( ( X  i^i  Y
)  u.  { C } )
123 elin 3494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( C  e.  X  /\  C  e.  Y ) )
12443, 70, 123sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
125124snssd 3907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { C }  C_  ( X  i^i  Y ) )
126 ssequn2 3484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { C }  C_  ( X  i^i  Y )  <->  ( ( X  i^i  Y )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
127125, 126sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  { C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
128122, 127syl5eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
129121, 128fveq12d 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
130114, 129eleqtrrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
13184, 86, 87, 3, 88, 130limcres 19730 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
132 resmpt 5154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
13386, 132syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
134133oveq1d 6059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
135131, 134eqtr3d 2442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
13682, 135eleqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
137 eqid 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
138137, 3dvcnp2 19763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  G : Y --> CC  /\  Y  C_  S )  /\  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C ) )
1395, 13, 14, 69, 138syl31anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )
)
1403, 137cnplimc 19731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  C  e.  Y )  ->  ( G  e.  ( (
( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) ) )
14165, 70, 140syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C
) ) ) )
142139, 141mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) )
143142simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( G lim
CC  C ) )
144 difss 3438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  ( X  i^i  Y )
145144, 58sstri 3321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  Y
146145a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  Y
)
147 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) )
148 difssd 3439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
14990, 148unssd 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
150 ssun1 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) ) )
15229ntrss 17078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
15324, 149, 151, 152syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
154153, 32sseldd 3313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
155 elin 3494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  /\  C  e.  Y )
)
156154, 70, 155sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
15758a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  Y )
158 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( ( Jt  S )t  Y )
15929, 158restntr 17204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  Y  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  Y )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
16024, 28, 157, 159syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
161 restabs 17187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
162105, 14, 108, 161syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
163162fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
164163fveq1d 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
165160, 164eqtr3d 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
166156, 165eleqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
16770snssd 3907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { C }  C_  Y )
168 ssequn2 3484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { C }  C_  Y  <->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
169167, 168sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
170169oveq2d 6060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) )  =  ( Jt  Y ) )
171170fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
172171, 128fveq12d 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
173166, 172eleqtrrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
17413, 146, 65, 3, 147, 173limcres 19730 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( G lim CC  C ) )
17513, 146feqresmpt 5743 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  |`  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) )
176175oveq1d 6059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) lim
CC  C ) )
177174, 176eqtr3d 2442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  C
)  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
178143, 177eleqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
1793mulcn 18854 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
1805, 6, 7dvcl 19743 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
1811, 180mpdan 650 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
18213, 70ffvelrnd 5834 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
183 opelxpi 4873 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( G `  C )  e.  CC )  ->  <. K ,  ( G `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
184181, 182, 183syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. K ,  ( G `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
18578cncnpi 17300 . . . . . 6  |-  ( (  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  ( G `  C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  ( G `  C ) >. )
)
186179, 184, 185sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  ( G `  C )
>. ) )
18756, 60, 75, 75, 3, 81, 136, 178, 186limccnp2 19736 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( G `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z
) ) ) lim CC  C ) )
18816simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
18971, 12fmptd 5856 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( Y  \  { C } ) --> CC )
19065ssdifssd 3449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  \  { C } )  C_  CC )
191 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
192 undif1 3667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( Y  u.  { C } )
193192, 169syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  Y )
194193oveq2d 6060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  Y ) )
195194fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
196195, 128fveq12d 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
197166, 196eleqtrrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
198189, 63, 190, 3, 191, 197limcres 19730 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
199 resmpt 5154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
20063, 199syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
201200oveq1d 6059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
202198, 201eqtr3d 2442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
203188, 202eleqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
20489, 5sstrd 3322 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  CC )
205 cncfmptc 18898 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
)  e.  CC  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) )  e.  ( ( X  i^i  Y ) -cn-> CC ) )
20644, 204, 75, 205syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  i^i  Y ) 
|->  ( F `  C
) )  e.  ( ( X  i^i  Y
) -cn-> CC ) )
207 eqidd 2409 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( F `  C )  =  ( F `  C ) )
208206, 124, 207cnmptlimc 19734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C ) )
20944adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
210 eqid 2408 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) )  =  ( z  e.  ( X  i^i  Y ) 
|->  ( F `  C
) )
211209, 210fmptd 5856 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  i^i  Y ) 
|->  ( F `  C
) ) : ( X  i^i  Y ) --> CC )
212211limcdif 19720 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C )  =  ( ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C ) )
213 resmpt 5154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  i^i  Y )  -> 
( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) )
214144, 213mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) )
215214oveq1d 6059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) lim
CC  C ) )
216212, 215eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) lim
CC  C ) )
217208, 216eleqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C ) )
2185, 13, 14dvcl 19743 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
21911, 218mpdan 650 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
220 opelxpi 4873 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  CC  /\  ( F `  C )  e.  CC )  ->  <. L ,  ( F `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
221219, 44, 220syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. L ,  ( F `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
22278cncnpi 17300 . . . . . 6  |-  ( (  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. L ,  ( F `  C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. L ,  ( F `  C ) >. )
)
223179, 221, 222sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. L ,  ( F `  C )
>. ) )
22472, 45, 75, 75, 3, 81, 203, 217, 223limccnp2 19736 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( F `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( F `  C
) ) ) lim CC  C ) )
2253addcn 18852 . . . . 5  |-  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
226181, 182mulcld 9068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( G `  C )
)  e.  CC )
227219, 44mulcld 9068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( F `  C )
)  e.  CC )
228 opelxpi 4873 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  x.  ( G `  C )
)  e.  CC  /\  ( L  x.  ( F `  C )
)  e.  CC )  ->  <. ( K  x.  ( G `  C ) ) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
229226, 227, 228syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( K  x.  ( G `  C )
) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
23078cncnpi 17300 . . . . 5  |-  ( (  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <.
( K  x.  ( G `  C )
) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. ( K  x.  ( G `
 C ) ) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >. ) )
231225, 229, 230sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. ( K  x.  ( G `  C ) ) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.
) )
23261, 73, 75, 75, 3, 81, 187, 224, 231limccnp2 19736 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  ( G `  C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( G `  z )
)  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( F `  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
23343adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  X )
23433, 233ffvelrnd 5834 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
23538, 234subcld 9371 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
236235, 60mulcld 9068 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `
 z ) )  e.  CC )
23770adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  Y )
23857, 237ffvelrnd 5834 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
23960, 238subcld 9371 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  e.  CC )
240239, 234mulcld 9068 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  e.  CC )
24148, 233sseldd 3313 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
24249, 241subcld 9371 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
243236, 240, 242, 55divdird 9788 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  x.  ( G `
 z ) )  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `  C
) )  /  (
z  -  C ) ) ) )
24438, 60mulcld 9068 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  e.  CC )
245234, 60mulcld 9068 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
)  e.  CC )
246234, 238mulcld 9068 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  C )  x.  ( G `  C )
)  e.  CC )
247244, 245, 246npncand 9395 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
)  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  C ) ) ) )  =  ( ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  x.  ( G `  C
) ) ) )
24838, 234, 60subdird 9450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
) ) )
249239, 234mulcomd 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 C )  x.  ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
) ) )
250234, 60, 238subdid 9449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  C )  x.  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  =  ( ( ( F `  C
)  x.  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  x.  ( G `  C
) ) ) )
251249, 250eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  =  ( ( ( F `  C )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  C )
) ) )
252248, 251oveq12d 6062 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `  z
) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  x.  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  z ) ) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  C )
) ) ) )
253 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> CC  ->  F  Fn  X )
2546, 253syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
255254adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  F  Fn  X )
256 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : Y --> CC  ->  G  Fn  Y )
25713, 256syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  Y )
258257adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  G  Fn  Y )
259 ssexg 4313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
26047, 106, 259sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
261260adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  X  e.  _V )
262 ssexg 4313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
26365, 106, 262sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
264263adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  Y  e.  _V )
265 eqid 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  =  ( X  i^i  Y
)
266 eqidd 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  =  ( F `
 z ) )
267 eqidd 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
268255, 258, 261, 264, 265, 266, 267ofval 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )
26936, 268mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )
270124adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
271 eqidd 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  =  ( F `
 C ) )
272 eqidd 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  Y )  ->  ( G `  C
)  =  ( G `
 C ) )
273255, 258, 261, 264, 265, 271, 272ofval 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  x.  ( G `
 C ) ) )
274270, 273mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  x.  ( G `
 C ) ) )
275269, 274oveq12d 6062 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  x.  ( G `  C
) ) ) )
276247, 252, 2753eqtr4d 2450 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `  z
) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  x.  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) ) )
277276oveq1d 6059 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )
278235, 60, 242, 55div23d 9787 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `  z
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) ) )
279239, 234, 242, 55div23d 9787 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( F `  C ) ) )
280278, 279oveq12d 6062 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  x.  ( G `  z ) )  / 
( z  -  C
) )  +  ( ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) )
281243, 277, 2803eqtr3d 2448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o F  x.  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) )
282281mpteq2dva 4259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) ) )
283282oveq1d 6059 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) ) lim CC  C ) )
284232, 283eleqtrrd 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  ( G `  C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) )
285 eqid 2408 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
286 mulcl 9034 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
287286adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
288287, 6, 13, 260, 263, 265off 6283 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G ) : ( X  i^i  Y
) --> CC )
2892, 3, 285, 5, 288, 89eldv 19742 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  ( F  o F  x.  G )
) ( ( K  x.  ( G `  C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C )
) )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  /\  ( ( K  x.  ( G `
 C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) ) )
29032, 284, 289mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) ( ( K  x.  ( G `  C )
)  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   _Vcvv 2920    \ cdif 3281    u. cun 3282    i^i cin 3283    C_ wss 3284   {csn 3778   <.cop 3781   U.cuni 3979   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230    X. cxp 4839   dom cdm 4841    |` cres 4843   Rel wrel 4846    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    o Fcof 6266   CCcc 8948    + caddc 8953    x. cmul 8955    - cmin 9251    / cdiv 9637   ↾t crest 13607   TopOpenctopn 13608  ℂfldccnfld 16662   Topctop 16917  TopOnctopon 16918   intcnt 17040    Cn ccn 17246    CnP ccnp 17247    tX ctx 17549   -cn->ccncf 18863   lim CC climc 19706    _D cdv 19707
This theorem is referenced by:  dvmul  19784  dvmulf  19786  dvef  19821
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711
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