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Theorem dvmulbr 19386
Description: The product rule for derivatives at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvadd.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvadd.g  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
dvadd.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
dvaddbr.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvadd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
dvadd.l  |-  ( ph  ->  L  e.  V )
dvadd.bf  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
dvadd.bg  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
dvadd.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dvmulbr  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) ( ( K  x.  ( G `  C )
)  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) ) )

Proof of Theorem dvmulbr
Dummy variables  y 
z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) K )
2 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  S )
3 dvadd.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
4 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
5 dvaddbr.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 dvadd.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
7 dvadd.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 19346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) K  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
91, 8mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  K  e.  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
109simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
) )
11 dvadd.bg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  G ) L )
12 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
13 dvadd.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Y --> CC )
14 dvadd.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 19346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  G ) L  <-> 
( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) ) )
1611, 15mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y )  /\  L  e.  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) ) )
1716simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y
) )
18 elin 3434 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  /\  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
1910, 17, 18sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
203cnfldtopon 18388 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
21 resttopon 16992 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
2220, 5, 21sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
23 topontop 16764 . . . . 5  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
2422, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
25 toponuni 16765 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
2622, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
277, 26sseqtrd 3290 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ( Jt  S ) )
2814, 26sseqtrd 3290 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  U. ( Jt  S ) )
29 eqid 2358 . . . . 5  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
3029ntrin 16898 . . . 4  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  Y  C_ 
U. ( Jt  S ) )  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X
)  i^i  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3124, 27, 28, 30syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  X )  i^i  (
( int `  ( Jt  S ) ) `  Y ) ) )
3219, 31eleqtrrd 2435 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
336adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  F : X --> CC )
34 inss1 3465 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
35 eldifi 3374 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
3635adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( X  i^i  Y ) )
3734, 36sseldi 3254 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  X )
38 ffvelrn 5743 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> CC  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
3933, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
405, 6, 7dvbss 19349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  X
)
41 reldv 19318 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( S  _D  F )
42 releldm 4990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( S  _D  F )  /\  C
( S  _D  F
) K )  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
4341, 1, 42sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
4440, 43sseldd 3257 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
45 ffvelrn 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> CC  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
466, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
4746adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
4839, 47subcld 9244 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
497, 5sstrd 3265 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
5049adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  X  C_  CC )
5150, 37sseldd 3257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  CC )
5249, 44sseldd 3257 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5352adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
5451, 53subcld 9244 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
55 eldifsni 3826 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  -> 
z  =/=  C )
5655adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  =/=  C )
57 subeq0 9160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( z  -  C )  =  0  <-> 
z  =  C ) )
5851, 53, 57syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( z  -  C )  =  0  <-> 
z  =  C ) )
5958necon3bid 2556 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( z  -  C )  =/=  0  <->  z  =/=  C ) )
6056, 59mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  =/=  0 )
6148, 54, 60divcld 9623 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
6213adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  G : Y --> CC )
63 inss2 3466 . . . . . . . 8  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
6463sseli 3252 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( X  i^i  Y )  ->  z  e.  Y )
6536, 64syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  Y )
66 ffvelrn 5743 . . . . . 6  |-  ( ( G : Y --> CC  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  e.  CC )
6762, 65, 66syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
6861, 67mulcld 8942 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( G `  z )
)  e.  CC )
69 ssdif 3387 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  Y  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
7063, 69mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
) )
7170sselda 3256 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
z  e.  ( Y 
\  { C }
) )
7214, 5sstrd 3265 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
735, 13, 14dvbss 19349 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  C_  Y
)
74 reldv 19318 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ( S  _D  G )
75 releldm 4990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Rel  ( S  _D  G )  /\  C
( S  _D  G
) L )  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
7674, 11, 75sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )
7773, 76sseldd 3257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Y )
7813, 72, 77dvlem 19344 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
7971, 78syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
8079, 47mulcld 8942 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
)  e.  CC )
81 ssid 3273 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
8281a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
83 txtopon 17386 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
8420, 20, 83mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( J 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
8584toponunii 16770 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( J  tX  J )
8685restid 13431 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  ->  ( ( J 
tX  J )t  ( CC 
X.  CC ) )  =  ( J  tX  J ) )
8784, 86ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )  =  ( J 
tX  J )
8887eqcomi 2362 . . . 4  |-  ( J 
tX  J )  =  ( ( J  tX  J )t  ( CC  X.  CC ) )
899simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
906, 49, 44dvlem 19344 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
9190, 4fmptd 5764 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( X  \  { C } ) --> CC )
92 ssdif 3387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  ->  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
9334, 92mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
) )
94 difss 3379 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  { C }
)  C_  X
9594, 49syl5ss 3266 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  \  { C } )  C_  CC )
96 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
9734, 7syl5ss 3266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  S )
9897, 26sseqtrd 3290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  U. ( Jt  S ) )
99 difss 3379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. ( Jt  S )  \  X
)  C_  U. ( Jt  S )
10099a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  X ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
10198, 100unssd 3427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
102 ssun1 3414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )
103102a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X ) ) )
10429ntrss 16892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
10524, 101, 103, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
106105, 32sseldd 3257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) ) )
107 elin 3434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  /\  C  e.  X )
)
108106, 44, 107sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
10934a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  X )
110 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( ( Jt  S )t  X )
11129, 110restntr 17012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  X  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  X )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
11224, 27, 109, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X ) )
1133cnfldtop 18389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  e. 
Top
114113a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
115 cnex 8905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  e.  _V
116 ssexg 4239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
1175, 115, 116sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
118 restabs 16996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
119114, 7, 117, 118syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  X )  =  ( Jt  X ) )
120119fveq2d 5609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  X ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
121120fveq1d 5607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
122112, 121eqtr3d 2392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  X
) ) )  i^i 
X )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
123108, 122eleqtrd 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
124 undif1 3605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( X  u.  { C } )
12544snssd 3839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { C }  C_  X )
126 ssequn2 3424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { C }  C_  X  <->  ( X  u.  { C } )  =  X )
127125, 126sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  u.  { C } )  =  X )
128124, 127syl5eq 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  X )
129128oveq2d 5958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( X 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  X ) )
130129fveq2d 5609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  X ) ) )
131 undif1 3605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( ( X  i^i  Y
)  u.  { C } )
132 elin 3434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( C  e.  X  /\  C  e.  Y ) )
13344, 77, 132sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
134133snssd 3839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { C }  C_  ( X  i^i  Y ) )
135 ssequn2 3424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { C }  C_  ( X  i^i  Y )  <->  ( ( X  i^i  Y )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
136134, 135sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  { C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
137131, 136syl5eq 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  ( X  i^i  Y ) )
138130, 137fveq12d 5611 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  X ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
139123, 138eleqtrrd 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( X  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
14091, 93, 95, 3, 96, 139limcres 19334 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
141 resmpt 5079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
14293, 141syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
143142oveq1d 5957 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
144140, 143eqtr3d 2392 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
14589, 144eleqtrd 2434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
146 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
147146, 3dvcnp2 19367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  G : Y --> CC  /\  Y  C_  S )  /\  C  e.  dom  ( S  _D  G ) )  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C ) )
1485, 13, 14, 76, 147syl31anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )
)
1493, 146cnplimc 19335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  C  e.  Y )  ->  ( G  e.  ( (
( Jt  Y )  CnP  J
) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) ) )
15072, 77, 149syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( Jt  Y )  CnP  J ) `  C )  <->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C
) ) ) )
151148, 150mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G : Y --> CC  /\  ( G `  C )  e.  ( G lim CC  C ) ) )
152151simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( G lim
CC  C ) )
153 difss 3379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  ( X  i^i  Y )
154153, 63sstri 3264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  C_  Y
155154a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  C_  Y
)
156 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) )
157 difss 3379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. ( Jt  S )  \  Y
)  C_  U. ( Jt  S )
158157a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) 
C_  U. ( Jt  S ) )
15998, 158unssd 3427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S ) )
160 ssun1 3414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )
161160a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y ) ) )
16229ntrss 16892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) )  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  -> 
( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
16324, 159, 161, 162syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
164163, 32sseldd 3257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) ) )
165 elin 3434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  (
( X  i^i  Y
)  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  /\  C  e.  Y )
)
166164, 77, 165sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
16763a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  Y )
168 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( ( Jt  S )t  Y )
16929, 168restntr 17012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  Y  C_  U. ( Jt  S )  /\  ( X  i^i  Y )  C_  Y )  ->  (
( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
17024, 28, 167, 169syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y ) )
171 restabs 16996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
172114, 14, 117, 171syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  S )t  Y )  =  ( Jt  Y ) )
173172fveq2d 5609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
174173fveq1d 5607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( Jt  S )t  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
175170, 174eqtr3d 2392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( ( X  i^i  Y )  u.  ( U. ( Jt  S )  \  Y
) ) )  i^i 
Y )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
176166, 175eleqtrd 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
177134, 167sstrd 3265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { C }  C_  Y )
178 ssequn2 3424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { C }  C_  Y  <->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
179177, 178sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  u.  { C } )  =  Y )
180179oveq2d 5958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) )  =  ( Jt  Y ) )
181180fveq2d 5609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
182181, 137fveq12d 5611 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
183176, 182eleqtrrd 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( Y  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
18413, 155, 72, 3, 156, 183limcres 19334 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( G lim CC  C ) )
18513feqmptd 5655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  Y  |->  ( G `
 z ) ) )
186185reseq1d 5033 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  |`  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } ) )  =  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) )
187 resmpt 5079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  Y  ->  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) )
188155, 187syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Y  |->  ( G `  z ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) )
189186, 188eqtrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  |`  (
( X  i^i  Y
)  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) )
190189oveq1d 5957 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( G `
 z ) ) lim
CC  C ) )
191184, 190eqtr3d 2392 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  C
)  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
192152, 191eleqtrd 2434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( G `  z ) ) lim CC  C ) )
1933mulcn 18468 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
1945, 6, 7dvcl 19347 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  F ) K )  ->  K  e.  CC )
1951, 194mpdan 649 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
196 ffvelrn 5743 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : Y --> CC  /\  C  e.  Y )  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
19713, 77, 196syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  CC )
198 opelxpi 4800 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( G `  C )  e.  CC )  ->  <. K ,  ( G `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
199195, 197, 198syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. K ,  ( G `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
20085cncnpi 17107 . . . . . 6  |-  ( (  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. K ,  ( G `  C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. K ,  ( G `  C ) >. )
)
201193, 199, 200sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. K ,  ( G `  C )
>. ) )
20261, 67, 82, 82, 3, 88, 145, 192, 201limccnp2 19340 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( G `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z
) ) ) lim CC  C ) )
20316simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
20478, 12fmptd 5764 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) : ( Y  \  { C } ) --> CC )
205 difss 3379 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
\  { C }
)  C_  Y
206205, 72syl5ss 3266 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  \  { C } )  C_  CC )
207 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )
208 undif1 3605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( Y  u.  { C } )
209208, 179syl5eq 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  Y )
210209oveq2d 5958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ( Y 
\  { C }
)  u.  { C } ) )  =  ( Jt  Y ) )
211210fveq2d 5609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) )  =  ( int `  ( Jt  Y ) ) )
212211, 137fveq12d 5611 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  ( Jt  Y ) ) `  ( X  i^i  Y ) ) )
213176, 212eleqtrrd 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( Jt  ( ( Y  \  { C } )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  u.  { C } ) ) )
214204, 70, 206, 3, 207, 213limcres 19334 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
215 resmpt 5079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( Y  \  { C }
)  ->  ( (
z  e.  ( Y 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
21670, 215syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) )
217216oveq1d 5957 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
218214, 217eqtr3d 2392 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) ) lim
CC  C ) )
219203, 218eleqtrd 2434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
22097, 5sstrd 3265 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  C_  CC )
221 cncfmptc 18512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
)  e.  CC  /\  ( X  i^i  Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) )  e.  ( ( X  i^i  Y ) -cn-> CC ) )
22246, 220, 82, 221syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  i^i  Y ) 
|->  ( F `  C
) )  e.  ( ( X  i^i  Y
) -cn-> CC ) )
223 eqidd 2359 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( F `  C )  =  ( F `  C ) )
224222, 133, 223cnmptlimc 19338 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C ) )
22546adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
226 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) )  =  ( z  e.  ( X  i^i  Y ) 
|->  ( F `  C
) )
227225, 226fmptd 5764 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  i^i  Y ) 
|->  ( F `  C
) ) : ( X  i^i  Y ) --> CC )
228227limcdif 19324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C )  =  ( ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C ) )
229 resmpt 5079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  C_  ( X  i^i  Y )  -> 
( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) )
230153, 229mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) )
231230oveq1d 5957 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  ( X  i^i  Y )  |->  ( F `  C ) )  |`  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) lim
CC  C ) )
232228, 231eqtrd 2390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( X  i^i  Y
)  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( F `
 C ) ) lim
CC  C ) )
233224, 232eleqtrd 2434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( F `  C ) ) lim CC  C ) )
2345, 13, 14dvcl 19347 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C ( S  _D  G ) L )  ->  L  e.  CC )
23511, 234mpdan 649 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
236 opelxpi 4800 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  CC  /\  ( F `  C )  e.  CC )  ->  <. L ,  ( F `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
237235, 46, 236syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. L ,  ( F `
 C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
23885cncnpi 17107 . . . . . 6  |-  ( (  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <. L ,  ( F `  C ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  x.  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. L ,  ( F `  C ) >. )
)
239193, 237, 238sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. L ,  ( F `  C )
>. ) )
24079, 47, 82, 82, 3, 88, 219, 233, 239limccnp2 19340 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( F `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( F `  C
) ) ) lim CC  C ) )
2413addcn 18466 . . . . 5  |-  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
242195, 197mulcld 8942 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  x.  ( G `  C )
)  e.  CC )
243235, 46mulcld 8942 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  x.  ( F `  C )
)  e.  CC )
244 opelxpi 4800 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  x.  ( G `  C )
)  e.  CC  /\  ( L  x.  ( F `  C )
)  e.  CC )  ->  <. ( K  x.  ( G `  C ) ) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
245242, 243, 244syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( K  x.  ( G `  C )
) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
24685cncnpi 17107 . . . . 5  |-  ( (  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  <.
( K  x.  ( G `  C )
) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  +  e.  ( ( ( J 
tX  J )  CnP 
J ) `  <. ( K  x.  ( G `
 C ) ) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >. ) )
247241, 245, 246sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( J  tX  J
)  CnP  J ) `  <. ( K  x.  ( G `  C ) ) ,  ( L  x.  ( F `  C ) ) >.
) )
24868, 80, 82, 82, 3, 88, 202, 240, 247limccnp2 19340 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  ( G `  C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( G `  z )
)  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( F `  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
24944adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  X )
25033, 249, 45syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
25139, 250subcld 9244 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
252251, 67mulcld 8942 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `
 z ) )  e.  CC )
25377adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  Y )
25462, 253, 196syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( G `  C
)  e.  CC )
25567, 254subcld 9244 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  e.  CC )
256255, 250mulcld 8942 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  e.  CC )
25750, 249sseldd 3257 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
25851, 257subcld 9244 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( z  -  C
)  e.  CC )
259252, 256, 258, 60divdird 9661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  x.  ( G `
 z ) )  /  ( z  -  C ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `  C
) )  /  (
z  -  C ) ) ) )
26039, 67mulcld 8942 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  e.  CC )
261250, 67mulcld 8942 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
)  e.  CC )
262250, 254mulcld 8942 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  C )  x.  ( G `  C )
)  e.  CC )
263260, 261, 262npncand 9268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
)  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  C ) ) ) )  =  ( ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  x.  ( G `  C
) ) ) )
26439, 250, 67subdird 9323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  z )
) ) )
265255, 250mulcomd 8943 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 C )  x.  ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
) ) )
266250, 67, 254subdid 9322 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  C )  x.  (
( G `  z
)  -  ( G `
 C ) ) )  =  ( ( ( F `  C
)  x.  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  x.  ( G `  C
) ) ) )
267265, 266eqtrd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  =  ( ( ( F `  C )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  C )
) ) )
268264, 267oveq12d 5960 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `  z
) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  x.  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  z ) ) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( G `  z ) )  -  ( ( F `  C )  x.  ( G `  C )
) ) ) )
269 ffn 5469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> CC  ->  F  Fn  X )
2706, 269syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
271270adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  F  Fn  X )
272 ffn 5469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : Y --> CC  ->  G  Fn  Y )
27313, 272syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  Y )
274273adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  G  Fn  Y )
275 ssexg 4239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
27649, 115, 275sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
277276adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  X  e.  _V )
278 ssexg 4239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
27972, 115, 278sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
280279adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  Y  e.  _V )
281 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  =  ( X  i^i  Y
)
282 eqidd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  =  ( F `
 z ) )
283 eqidd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  Y )  ->  ( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
284271, 274, 277, 280, 281, 282, 283ofval 6171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  z  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )
28536, 284mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  z )  =  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )
286133adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  ->  C  e.  ( X  i^i  Y ) )
287 eqidd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  X )  ->  ( F `  C
)  =  ( F `
 C ) )
288 eqidd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  Y )  ->  ( G `  C
)  =  ( G `
 C ) )
289271, 274, 277, 280, 281, 287, 288ofval 6171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  /\  C  e.  ( X  i^i  Y ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  x.  ( G `
 C ) ) )
290286, 289mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( F  o F  x.  G ) `  C )  =  ( ( F `  C
)  x.  ( G `
 C ) ) )
291285, 290oveq12d 5960 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  =  ( ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  -  ( ( F `
 C )  x.  ( G `  C
) ) ) )
292263, 268, 2913eqtr4d 2400 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `  z
) )  +  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  x.  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) ) )
293292oveq1d 5957 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )
294251, 67, 258, 60div23d 9660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C ) )  x.  ( G `  z
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) ) )
295255, 250, 258, 60div23d 9660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( F `  C ) ) )
296294, 295oveq12d 5960 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 C ) )  x.  ( G `  z ) )  / 
( z  -  C
) )  +  ( ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  x.  ( F `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  C )
)  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) )
297259, 293, 2963eqtr3d 2398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z
)  -  ( ( F  o F  x.  G ) `  C
) )  /  (
z  -  C ) )  =  ( ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) )
298297mpteq2dva 4185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) ) )
299298oveq1d 5957 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C )  =  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  x.  ( G `  z ) )  +  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) )  x.  ( F `  C )
) ) ) lim CC  C ) )
300248, 299eleqtrrd 2435 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  ( G `  C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) )
301 eqid 2358 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( ( X  i^i  Y )  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G
) `  z )  -  ( ( F  o F  x.  G
) `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
302 mulcl 8908 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
303302adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
304303, 6, 13, 276, 279, 281off 6177 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G ) : ( X  i^i  Y
) --> CC )
3052, 3, 301, 5, 304, 97eldv 19346 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  ( F  o F  x.  G )
) ( ( K  x.  ( G `  C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C )
) )  <->  ( C  e.  ( ( int `  ( Jt  S ) ) `  ( X  i^i  Y ) )  /\  ( ( K  x.  ( G `
 C ) )  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( X  i^i  Y
)  \  { C } )  |->  ( ( ( ( F  o F  x.  G ) `  z )  -  (
( F  o F  x.  G ) `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) ) )
30632, 300, 305mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  ( F  o F  x.  G ) ) ( ( K  x.  ( G `  C )
)  +  ( L  x.  ( F `  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    u. cun 3226    i^i cin 3227    C_ wss 3228   {csn 3716   <.cop 3719   U.cuni 3906   class class class wbr 4102    e. cmpt 4156    X. cxp 4766   dom cdm 4768    |` cres 4770   Rel wrel 4773    Fn wfn 5329   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    o Fcof 6160   CCcc 8822   0cc0 8824    + caddc 8827    x. cmul 8829    - cmin 9124    / cdiv 9510   ↾t crest 13418   TopOpenctopn 13419  ℂfldccnfld 16476   Topctop 16731  TopOnctopon 16732   intcnt 16854    Cn ccn 17054    CnP ccnp 17055    tX ctx 17355   -cn->ccncf 18477   lim CC climc 19310    _D cdv 19311
This theorem is referenced by:  dvmul  19388  dvmulf  19390  dvef  19425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-cncf 18479  df-limc 19314  df-dv 19315
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