MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvn2bss Structured version   Unicode version

Theorem dvn2bss 19818
Description: An N-times differentiable point is an M-times differeentiable point, if  M  <_  N. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvn2bss  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  N
)  C_  dom  ( ( S  D n F ) `  M ) )

Proof of Theorem dvn2bss
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 simp2 959 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
3 elfznn0 11085 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
433ad2ant3 981 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  NN0 )
5 elfzuz3 11058 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
653ad2ant3 981 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7 uznn0sub 10519 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
9 dvnadd 19817 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  ( N  -  M
) ) ) )
101, 2, 4, 8, 9syl22anc 1186 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  ( N  -  M )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) ) )
114nn0cnd 10278 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  CC )
12 elfzuz2 11064 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13123ad2ant3 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
14 nn0uz 10522 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1513, 14syl6eleqr 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
1615nn0cnd 10278 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
1711, 16pncan3d 9416 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
1817fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  D n F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
1910, 18eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  ( N  -  M )
)  =  ( ( S  D n F ) `  N ) )
2019dmeqd 5074 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
21 cnex 9073 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  CC  e.  _V )
23 dvnf 19815 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 M ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 M ) --> CC )
243, 23syl3an3 1220 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  D n F ) `  M
) : dom  (
( S  D n F ) `  M
) --> CC )
25 dvnbss 19816 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  M ) 
C_  dom  F )
263, 25syl3an3 1220 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  M
)  C_  dom  F )
27 elpmi 7037 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
28273ad2ant2 980 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
2928simprd 451 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  F 
C_  S )
3026, 29sstrd 3360 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  M
)  C_  S )
31 elpm2r 7036 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  D n F ) `
 M ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 M ) --> CC 
/\  dom  ( ( S  D n F ) `
 M )  C_  S ) )  -> 
( ( S  D n F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )
3222, 1, 24, 30, 31syl22anc 1186 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  D n F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )
33 dvnbss 19816 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
( S  D n F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) ) 
C_  dom  ( ( S  D n F ) `
 M ) )
341, 32, 8, 33syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  C_  dom  ( ( S  D n F ) `  M
) )
3520, 34eqsstr3d 3385 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  N
)  C_  dom  ( ( S  D n F ) `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {cpr 3817   dom cdm 4880   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^pm cpm 7021   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992    + caddc 8995    - cmin 9293   NN0cn0 10223   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045    D ncdvn 19753
This theorem is referenced by:  taylplem1  20281  taylply2  20286  taylply  20287  taylthlem1  20291  taylthlem2  20292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-limc 19755  df-dv 19756  df-dvn 19757
  Copyright terms: Public domain W3C validator