MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnf Unicode version

Theorem dvnf 19674
Description: The N-times derivative is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvnf  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 N ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) --> CC )

Proof of Theorem dvnf
StepHypRef Expression
1 dvnff 19670 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  D n F ) : NN0 --> ( CC 
^pm  dom  F ) )
21ffvelrnda 5803 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( S  D n F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  dom  F ) )
323impa 1148 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 N )  e.  ( CC  ^pm  dom  F ) )
4 cnex 8998 . . . 4  |-  CC  e.  _V
5 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  S  e.  { RR ,  CC }
)
6 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S ) )
7 elpm2g 6963 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  -> 
( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) ) )
84, 5, 7sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S
)  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
96, 8mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
109simprd 450 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  dom  F  C_  S )
115, 10ssexd 4285 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  dom  F  e. 
_V )
12 elpm2g 6963 . . . 4  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  dom  F  e.  _V )  ->  ( ( ( S  D n F ) `
 N )  e.  ( CC  ^pm  dom  F )  <->  ( ( ( S  D n F ) `  N ) : dom  ( ( S  D n F ) `  N ) --> CC  /\  dom  (
( S  D n F ) `  N
)  C_  dom  F ) ) )
134, 11, 12sylancr 645 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( (
( S  D n F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  dom  F )  <->  ( (
( S  D n F ) `  N
) : dom  (
( S  D n F ) `  N
) --> CC  /\  dom  ( ( S  D n F ) `  N
)  C_  dom  F ) ) )
143, 13mpbid 202 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( (
( S  D n F ) `  N
) : dom  (
( S  D n F ) `  N
) --> CC  /\  dom  ( ( S  D n F ) `  N
)  C_  dom  F ) )
1514simpld 446 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 N ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   _Vcvv 2893    C_ wss 3257   {cpr 3752   dom cdm 4812   -->wf 5384   ` cfv 5388  (class class class)co 6014    ^pm cpm 6949   CCcc 8915   RRcr 8916   NN0cn0 10147    D ncdvn 19612
This theorem is referenced by:  dvn2bss  19677  dvnres  19678  cpnord  19682  taylfvallem1  20134  tayl0  20139  taylply2  20145  taylply  20146  dvtaylp  20147  dvntaylp  20148  dvntaylp0  20149  taylthlem1  20150  taylthlem2  20151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-inf2 7523  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-iin 4032  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-oadd 6658  df-er 6835  df-map 6950  df-pm 6951  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-fi 7345  df-sup 7375  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-10 9992  df-n0 10148  df-z 10209  df-dec 10309  df-uz 10415  df-q 10501  df-rp 10539  df-xneg 10636  df-xadd 10637  df-xmul 10638  df-icc 10849  df-fz 10970  df-seq 11245  df-exp 11304  df-cj 11825  df-re 11826  df-im 11827  df-sqr 11961  df-abs 11962  df-struct 13392  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-plusg 13463  df-mulr 13464  df-starv 13465  df-tset 13469  df-ple 13470  df-ds 13472  df-unif 13473  df-rest 13571  df-topn 13572  df-topgen 13588  df-xmet 16613  df-met 16614  df-bl 16615  df-mopn 16616  df-fbas 16617  df-fg 16618  df-cnfld 16621  df-top 16880  df-bases 16882  df-topon 16883  df-topsp 16884  df-cld 17000  df-ntr 17001  df-cls 17002  df-nei 17079  df-lp 17117  df-perf 17118  df-cnp 17208  df-haus 17295  df-fil 17793  df-fm 17885  df-flim 17886  df-flf 17887  df-xms 18253  df-ms 18254  df-limc 19614  df-dv 19615  df-dvn 19616
  Copyright terms: Public domain W3C validator