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Theorem dvntaylp 19766
Description: The  M-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the  M-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvntaylp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvntaylp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvntaylp.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
dvntaylp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dvntaylp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  M )
) )
Assertion
Ref Expression
dvntaylp  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )

Proof of Theorem dvntaylp
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
2 nn0uz 10278 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2386 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 eluzfz2b 10821 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  M  e.  (
0 ... M ) )
53, 4sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
6 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) ` 
0 ) )
7 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  0 ) )
87oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 0 ) ) )
9 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( M  -  m )  =  ( M  - 
0 ) )
109oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  0 ) ) )
11 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  B  =  B )
128, 10, 11oveq123d 5895 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  - 
0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 0 ) ) B ) )
136, 12eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) ` 
0 )  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  0
) ) B ) ) )
1413imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  0 )  =  ( ( N  +  ( M  - 
0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 0 ) ) B ) ) ) )
15 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n ) )
16 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  n ) )
1716oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) )
18 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  n ) )
1918oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
20 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  B  =  B )
2117, 19, 20oveq123d 5895 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) )
2215, 21eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) ) )
2322imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) ) ) )
24 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) ) )
25 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( n  +  1 ) ) )
2625oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
27 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  ( n  +  1
) ) )
2827oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) )
29 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  B  =  B )
3026, 28, 29oveq123d 5895 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B ) )
3124, 30eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) )
3231imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B ) ) ) )
33 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M ) )
34 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  M ) )
3534oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) )
36 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  M ) )
3736oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  M ) ) )
38 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  B  =  B )
3935, 37, 38oveq123d 5895 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) )
4033, 39eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  M
) ) B ) ) )
4140imbi2d 307 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) ) ) )
42 ssid 3210 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
4342a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
44 mapsspm 6817 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
^m  CC )  C_  ( CC  ^pm  CC )
45 dvntaylp.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
46 dvntaylp.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
47 dvntaylp.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
48 dvntaylp.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4948, 1nn0addcld 10038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  NN0 )
50 dvntaylp.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  M )
) )
51 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B )  =  ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )
5245, 46, 47, 49, 50, 51taylpf 19761 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) : CC --> CC )
53 cnex 8834 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
5453, 53elmap 6812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^m  CC ) 
<->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) : CC --> CC )
5552, 54sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  e.  ( CC  ^m  CC ) )
5644, 55sseldi 3191 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
57 dvn0 19289 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  (
( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  0 )  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
5843, 56, 57syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
59 recnprss 19270 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
6045, 59syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6153a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
62 elpm2r 6804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
6361, 45, 46, 47, 62syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
64 dvn0 19289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  D n F ) `  0
)  =  F )
6560, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  0
)  =  F )
6665oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0 ) )  =  ( S Tayl 
F ) )
671nn0cnd 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
6867subid1d 9162 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  -  0 )  =  M )
6968oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  0 ) )  =  ( N  +  M ) )
70 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  B )
7166, 69, 70oveq123d 5895 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( M  -  0
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0
) ) B )  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
7258, 71eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0 ) ) B ) )
7372a1i 10 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0 ) ) B ) ) )
74 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B )  ->  ( CC  _D  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n ) )  =  ( CC  _D  (
( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) ) )
7542a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  CC  C_  CC )
7656adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B )  e.  ( CC 
^pm  CC ) )
77 elfzouz 10895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
7877adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
7978, 2syl6eleqr 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  NN0 )
80 dvnp1 19290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  (
( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n ) ) )
8175, 76, 79, 80syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n ) ) )
8245adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
8363adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
84 dvnf 19292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 n ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 n ) --> CC )
8582, 83, 79, 84syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n F ) `
 n ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 n ) --> CC )
86 dvnbss 19293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  n ) 
C_  dom  F )
8782, 83, 79, 86syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 n )  C_  dom  F )
88 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
8946, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
9089adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  F  =  A )
9187, 90sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 n )  C_  A )
9247adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  C_  S
)
9391, 92sstrd 3202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 n )  C_  S )
9448adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  NN0 )
95 fzofzp1 10932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
9695adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... M ) )
97 fznn0sub 10840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  ( n  +  1
) )  e.  NN0 )
9994, 98nn0addcld 10038 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( M  -  (
n  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
10050adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  M )
) )
101 elfzofz 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  n  e.  ( 0 ... M
) )
102101adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  ( 0 ... M ) )
103 fznn0sub 10840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  n )  e.  NN0 )
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  n )  e.  NN0 )
10594, 104nn0addcld 10038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( M  -  n
) )  e.  NN0 )
106 dvnadd 19294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( N  +  ( M  -  n ) )  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( n  +  ( N  +  ( M  -  n )
) ) ) )
10782, 83, 79, 105, 106syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( n  +  ( N  +  ( M  -  n )
) ) ) )
10848nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
109108adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  CC )
11098nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  ( n  +  1
) )  e.  CC )
111 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
112111a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  1  e.  CC )
113109, 110, 112addassd 8873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 )  =  ( N  +  ( ( M  -  ( n  +  1 ) )  +  1 ) ) )
11467adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  CC )
11579nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  CC )
116114, 115, 112nppcan2d 9199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( M  -  ( n  + 
1 ) )  +  1 )  =  ( M  -  n ) )
117116oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( ( M  -  ( n  +  1
) )  +  1 ) )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
118113, 117eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
119118fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
120115, 114pncan3d 9176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( n  +  ( M  -  n
) )  =  M )
121120oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( n  +  ( M  -  n )
) )  =  ( N  +  M ) )
122114, 115subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  n )  e.  CC )
123109, 115, 122add12d 9049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( n  +  ( M  -  n )
) )  =  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
124121, 123eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  M )  =  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
125124fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n F ) `
 ( N  +  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  (
n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) ) )
126107, 119, 1253eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( N  +  M ) ) )
127126dmeqd 4897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  M ) ) )
128100, 127eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 n ) ) `
 ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ) )
12982, 85, 93, 99, 128dvtaylp 19765 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( CC  _D  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n
) ) B ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) ) B ) )
130118oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) )
131130oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( CC  _D  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n
) ) B ) )  =  ( CC 
_D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) ) )
13260adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  C_  CC )
133 dvnp1 19290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  n
) ) )
134132, 83, 79, 133syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  n
) ) )
135134oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  n
) ) ) )
136135eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
137136oveqd 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  n
) ) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( n  +  1 ) ) ) B ) )
138129, 131, 1373eqtr3rd 2337 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B )  =  ( CC  _D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n ) ) B ) ) )
13981, 138eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  (
n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B )  <-> 
( CC  _D  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  n ) )  =  ( CC 
_D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) ) ) )
14074, 139syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n
) ) B )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) )
141140expcom 424 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
142141a2d 23 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) )  ->  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
14314, 23, 32, 41, 73, 142fzind2 10939 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... M )  ->  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  M
) ) B ) ) )
1445, 143mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
14567subidd 9161 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  -  M
)  =  0 )
146145oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  M ) )  =  ( N  +  0 ) )
147108addid1d 9028 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  0 )  =  N )
148146, 147eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  M ) )  =  N )
149148oveq1d 5889 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( M  -  M
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B )  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) )
150144, 149eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {cpr 3654   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788    ^pm cpm 6789   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886    _D cdv 19229    D ncdvn 19230   Tayl ctayl 19748
This theorem is referenced by:  dvntaylp0  19767  taylthlem1  19768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tsms 17825  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-dvn 19234  df-tayl 19750
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