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Theorem dvntaylp 20248
Description: The  M-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the  M-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvntaylp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvntaylp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvntaylp.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
dvntaylp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dvntaylp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  M )
) )
Assertion
Ref Expression
dvntaylp  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )

Proof of Theorem dvntaylp
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
2 nn0uz 10484 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2502 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 eluzfz2b 11030 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  M  e.  (
0 ... M ) )
53, 4sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
6 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) ` 
0 ) )
7 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  0 ) )
87oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 0 ) ) )
9 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( M  -  m )  =  ( M  - 
0 ) )
109oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  0 ) ) )
11 eqidd 2413 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  B  =  B )
128, 10, 11oveq123d 6069 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  - 
0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 0 ) ) B ) )
136, 12eqeq12d 2426 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) ` 
0 )  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  0
) ) B ) ) )
1413imbi2d 308 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  0 )  =  ( ( N  +  ( M  - 
0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 0 ) ) B ) ) ) )
15 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n ) )
16 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  n ) )
1716oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) )
18 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  n ) )
1918oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
20 eqidd 2413 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  B  =  B )
2117, 19, 20oveq123d 6069 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) )
2215, 21eqeq12d 2426 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) ) )
2322imbi2d 308 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) ) ) )
24 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) ) )
25 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( n  +  1 ) ) )
2625oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
27 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  ( n  +  1
) ) )
2827oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) )
29 eqidd 2413 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  B  =  B )
3026, 28, 29oveq123d 6069 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B ) )
3124, 30eqeq12d 2426 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) )
3231imbi2d 308 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B ) ) ) )
33 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M ) )
34 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  M ) )
3534oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) )
36 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  M ) )
3736oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  M ) ) )
38 eqidd 2413 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  B  =  B )
3935, 37, 38oveq123d 6069 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) )
4033, 39eqeq12d 2426 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  M
) ) B ) ) )
4140imbi2d 308 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) ) ) )
42 ssid 3335 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
4342a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
44 mapsspm 7014 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
^m  CC )  C_  ( CC  ^pm  CC )
45 dvntaylp.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
46 dvntaylp.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
47 dvntaylp.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
48 dvntaylp.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4948, 1nn0addcld 10242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  NN0 )
50 dvntaylp.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  M )
) )
51 eqid 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B )  =  ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )
5245, 46, 47, 49, 50, 51taylpf 20243 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) : CC --> CC )
53 cnex 9035 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
5453, 53elmap 7009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^m  CC ) 
<->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) : CC --> CC )
5552, 54sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  e.  ( CC  ^m  CC ) )
5644, 55sseldi 3314 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
57 dvn0 19771 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  (
( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  0 )  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
5843, 56, 57syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
59 recnprss 19752 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
6045, 59syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6153a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
62 elpm2r 7001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
6361, 45, 46, 47, 62syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
64 dvn0 19771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  D n F ) `  0
)  =  F )
6560, 63, 64syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  0
)  =  F )
6665oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0 ) )  =  ( S Tayl 
F ) )
671nn0cnd 10240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
6867subid1d 9364 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  -  0 )  =  M )
6968oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  0 ) )  =  ( N  +  M ) )
70 eqidd 2413 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  B )
7166, 69, 70oveq123d 6069 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( M  -  0
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0
) ) B )  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
7258, 71eqtr4d 2447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0 ) ) B ) )
7372a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0 ) ) B ) ) )
74 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B )  ->  ( CC  _D  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n ) )  =  ( CC  _D  (
( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) ) )
7542a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  CC  C_  CC )
7656adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B )  e.  ( CC 
^pm  CC ) )
77 elfzouz 11107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
7877adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
7978, 2syl6eleqr 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  NN0 )
80 dvnp1 19772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  (
( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n ) ) )
8175, 76, 79, 80syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n ) ) )
8245adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
8363adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
84 dvnf 19774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 n ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 n ) --> CC )
8582, 83, 79, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n F ) `
 n ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 n ) --> CC )
86 dvnbss 19775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  n ) 
C_  dom  F )
8782, 83, 79, 86syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 n )  C_  dom  F )
88 fdm 5562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
8946, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
9089adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  F  =  A )
9187, 90sseqtrd 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 n )  C_  A )
9247adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  C_  S
)
9391, 92sstrd 3326 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 n )  C_  S )
9448adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  NN0 )
95 fzofzp1 11152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
9695adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... M ) )
97 fznn0sub 11049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  ( n  +  1
) )  e.  NN0 )
9994, 98nn0addcld 10242 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( M  -  (
n  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
10050adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  M )
) )
101 elfzofz 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  n  e.  ( 0 ... M
) )
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  ( 0 ... M ) )
103 fznn0sub 11049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  n )  e.  NN0 )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  n )  e.  NN0 )
10594, 104nn0addcld 10242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( M  -  n
) )  e.  NN0 )
106 dvnadd 19776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( N  +  ( M  -  n ) )  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( n  +  ( N  +  ( M  -  n )
) ) ) )
10782, 83, 79, 105, 106syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( n  +  ( N  +  ( M  -  n )
) ) ) )
10848nn0cnd 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
109108adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  CC )
11098nn0cnd 10240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  ( n  +  1
) )  e.  CC )
111 ax-1cn 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  1  e.  CC )
113109, 110, 112addassd 9074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 )  =  ( N  +  ( ( M  -  ( n  +  1 ) )  +  1 ) ) )
11467adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  CC )
11579nn0cnd 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  CC )
116114, 115, 112nppcan2d 9401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( M  -  ( n  + 
1 ) )  +  1 )  =  ( M  -  n ) )
117116oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( ( M  -  ( n  +  1
) )  +  1 ) )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
118113, 117eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
119118fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
120115, 114pncan3d 9378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( n  +  ( M  -  n
) )  =  M )
121120oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( n  +  ( M  -  n )
) )  =  ( N  +  M ) )
122114, 115subcld 9375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  n )  e.  CC )
123109, 115, 122add12d 9251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( n  +  ( M  -  n )
) )  =  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
124121, 123eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  M )  =  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
125124fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n F ) `
 ( N  +  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  (
n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) ) )
126107, 119, 1253eqtr4d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( N  +  M ) ) )
127126dmeqd 5039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  M ) ) )
128100, 127eleqtrrd 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 n ) ) `
 ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ) )
12982, 85, 93, 99, 128dvtaylp 20247 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( CC  _D  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n
) ) B ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) ) B ) )
130118oveq1d 6063 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) )
131130oveq2d 6064 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( CC  _D  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n
) ) B ) )  =  ( CC 
_D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) ) )
13260adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  C_  CC )
133 dvnp1 19772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  n
) ) )
134132, 83, 79, 133syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  n
) ) )
135134oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  n
) ) ) )
136135eqcomd 2417 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
137136oveqd 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  n
) ) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( n  +  1 ) ) ) B ) )
138129, 131, 1373eqtr3rd 2453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B )  =  ( CC  _D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n ) ) B ) ) )
13981, 138eqeq12d 2426 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  (
n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B )  <-> 
( CC  _D  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  n ) )  =  ( CC 
_D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) ) ) )
14074, 139syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n
) ) B )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) )
141140expcom 425 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
142141a2d 24 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) )  ->  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
14314, 23, 32, 41, 73, 142fzind2 11161 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... M )  ->  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  M
) ) B ) ) )
1445, 143mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
14567subidd 9363 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  -  M
)  =  0 )
146145oveq2d 6064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  M ) )  =  ( N  +  0 ) )
147108addid1d 9230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  0 )  =  N )
148146, 147eqtrd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  M ) )  =  N )
149148oveq1d 6063 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( M  -  M
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B )  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) )
150144, 149eqtrd 2444 1  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   {cpr 3783   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ^m cmap 6985    ^pm cpm 6986   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    - cmin 9255   NN0cn0 10185   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007  ..^cfzo 11098    _D cdv 19711    D ncdvn 19712   Tayl ctayl 20230
This theorem is referenced by:  dvntaylp0  20249  taylthlem1  20250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-tsms 18117  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-dvn 19716  df-tayl 20232
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