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Theorem dvntaylp 20292
Description: The  M-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the  M-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvntaylp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvntaylp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvntaylp.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
dvntaylp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dvntaylp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  M )
) )
Assertion
Ref Expression
dvntaylp  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )

Proof of Theorem dvntaylp
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
2 nn0uz 10525 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2528 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 eluzfz2b 11071 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  M  e.  (
0 ... M ) )
53, 4sylib 190 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
6 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) ` 
0 ) )
7 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  0 ) )
87oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 0 ) ) )
9 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( M  -  m )  =  ( M  - 
0 ) )
109oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  0 ) ) )
11 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  B  =  B )
128, 10, 11oveq123d 6105 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  - 
0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 0 ) ) B ) )
136, 12eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) ` 
0 )  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  0
) ) B ) ) )
1413imbi2d 309 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  0 )  =  ( ( N  +  ( M  - 
0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 0 ) ) B ) ) ) )
15 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n ) )
16 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  n ) )
1716oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) )
18 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  n ) )
1918oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
20 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  B  =  B )
2117, 19, 20oveq123d 6105 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) )
2215, 21eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) ) )
2322imbi2d 309 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) ) ) )
24 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) ) )
25 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( n  +  1 ) ) )
2625oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
27 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  ( n  +  1
) ) )
2827oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) )
29 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  B  =  B )
3026, 28, 29oveq123d 6105 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B ) )
3124, 30eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) )
3231imbi2d 309 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B ) ) ) )
33 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M ) )
34 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
( S  D n F ) `  m
)  =  ( ( S  D n F ) `  M ) )
3534oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) )
36 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  M ) )
3736oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  M ) ) )
38 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  B  =  B )
3935, 37, 38oveq123d 6105 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) )
4033, 39eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  M
) ) B ) ) )
4140imbi2d 309 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  m
) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) ) ) )
42 ssid 3369 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
4342a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
44 mapsspm 7050 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
^m  CC )  C_  ( CC  ^pm  CC )
45 dvntaylp.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
46 dvntaylp.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
47 dvntaylp.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
48 dvntaylp.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4948, 1nn0addcld 10283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  NN0 )
50 dvntaylp.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  M )
) )
51 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B )  =  ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )
5245, 46, 47, 49, 50, 51taylpf 20287 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) : CC --> CC )
53 cnex 9076 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
5453, 53elmap 7045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^m  CC ) 
<->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) : CC --> CC )
5552, 54sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  e.  ( CC  ^m  CC ) )
5644, 55sseldi 3348 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
57 dvn0 19815 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  (
( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  0 )  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
5843, 56, 57syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
59 recnprss 19796 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
6045, 59syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6153a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
62 elpm2r 7037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
6361, 45, 46, 47, 62syl22anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
64 dvn0 19815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  D n F ) `  0
)  =  F )
6560, 63, 64syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  0
)  =  F )
6665oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0 ) )  =  ( S Tayl 
F ) )
671nn0cnd 10281 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
6867subid1d 9405 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  -  0 )  =  M )
6968oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  0 ) )  =  ( N  +  M ) )
70 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  B )
7166, 69, 70oveq123d 6105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( M  -  0
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0
) ) B )  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
7258, 71eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0 ) ) B ) )
7372a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  0 ) ) B ) ) )
74 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B )  ->  ( CC  _D  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n ) )  =  ( CC  _D  (
( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) ) )
7542a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  CC  C_  CC )
7656adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B )  e.  ( CC 
^pm  CC ) )
77 elfzouz 11149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
7877adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
7978, 2syl6eleqr 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  NN0 )
80 dvnp1 19816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  (
( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n ) ) )
8175, 76, 79, 80syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n ) ) )
8245adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
8363adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
84 dvnf 19818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 n ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 n ) --> CC )
8582, 83, 79, 84syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n F ) `
 n ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 n ) --> CC )
86 dvnbss 19819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  n ) 
C_  dom  F )
8782, 83, 79, 86syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 n )  C_  dom  F )
88 fdm 5598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
8946, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
9089adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  F  =  A )
9187, 90sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 n )  C_  A )
9247adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  C_  S
)
9391, 92sstrd 3360 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 n )  C_  S )
9448adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  NN0 )
95 fzofzp1 11194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
9695adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... M ) )
97 fznn0sub 11090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  ( n  +  1
) )  e.  NN0 )
9994, 98nn0addcld 10283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( M  -  (
n  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
10050adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  M )
) )
101 elfzofz 11159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  n  e.  ( 0 ... M
) )
102101adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  ( 0 ... M ) )
103 fznn0sub 11090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  n )  e.  NN0 )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  n )  e.  NN0 )
10594, 104nn0addcld 10283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( M  -  n
) )  e.  NN0 )
106 dvnadd 19820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( N  +  ( M  -  n ) )  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( n  +  ( N  +  ( M  -  n )
) ) ) )
10782, 83, 79, 105, 106syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( n  +  ( N  +  ( M  -  n )
) ) ) )
10848nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
109108adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  CC )
11098nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  ( n  +  1
) )  e.  CC )
111 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  1  e.  CC )
113109, 110, 112addassd 9115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 )  =  ( N  +  ( ( M  -  ( n  +  1 ) )  +  1 ) ) )
11467adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  CC )
11579nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  CC )
116114, 115, 112nppcan2d 9442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( M  -  ( n  + 
1 ) )  +  1 )  =  ( M  -  n ) )
117116oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( ( M  -  ( n  +  1
) )  +  1 ) )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
118113, 117eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
119118fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
120115, 114pncan3d 9419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( n  +  ( M  -  n
) )  =  M )
121120oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( n  +  ( M  -  n )
) )  =  ( N  +  M ) )
122114, 115subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  n )  e.  CC )
123109, 115, 122add12d 9292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( n  +  ( M  -  n )
) )  =  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
124121, 123eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  M )  =  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
125124fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n F ) `
 ( N  +  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  (
n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) ) )
126107, 119, 1253eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( N  +  M ) ) )
127126dmeqd 5075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  M ) ) )
128100, 127eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 n ) ) `
 ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ) )
12982, 85, 93, 99, 128dvtaylp 20291 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( CC  _D  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n
) ) B ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) ) B ) )
130118oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) )
131130oveq2d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( CC  _D  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n
) ) B ) )  =  ( CC 
_D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) ) )
13260adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  C_  CC )
133 dvnp1 19816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  n
) ) )
134132, 83, 79, 133syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  D n F ) `  n
) ) )
135134oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  n
) ) ) )
136135eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
137136oveqd 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  n
) ) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( n  +  1 ) ) ) B ) )
138129, 131, 1373eqtr3rd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B )  =  ( CC  _D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n ) ) B ) ) )
13981, 138eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  (
n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B )  <-> 
( CC  _D  (
( CC  D n
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  n ) )  =  ( CC 
_D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 n ) ) B ) ) ) )
14074, 139syl5ibr 214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( CC  D n ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  n
) ) B )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) )
141140expcom 426 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B )  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
142141a2d 25 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  n
) ) B ) )  ->  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  ( n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
14314, 23, 32, 41, 73, 142fzind2 11203 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... M )  ->  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  (
( S  D n F ) `  M
) ) B ) ) )
1445, 143mpcom 35 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
14567subidd 9404 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  -  M
)  =  0 )
146145oveq2d 6100 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  M ) )  =  ( N  +  0 ) )
147108addid1d 9271 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  0 )  =  N )
148146, 147eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  M ) )  =  N )
149148oveq1d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( M  -  M
) ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B )  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) )
150144, 149eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {cpr 3817   dom cdm 4881   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021    ^pm cpm 7022   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    - cmin 9296   NN0cn0 10226   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048  ..^cfzo 11140    _D cdv 19755    D ncdvn 19756   Tayl ctayl 20274
This theorem is referenced by:  dvntaylp0  20293  taylthlem1  20294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-tsms 18161  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-dvn 19760  df-tayl 20276
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