Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp Structured version   Unicode version

Theorem dvntaylp 20292
 Description: The -th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the -th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp.s
dvntaylp.f
dvntaylp.a
dvntaylp.m
dvntaylp.n
dvntaylp.b
Assertion
Ref Expression
dvntaylp Tayl Tayl

Proof of Theorem dvntaylp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp.m . . . . 5
2 nn0uz 10525 . . . . 5
31, 2syl6eleq 2528 . . . 4
4 eluzfz2b 11071 . . . 4
53, 4sylib 190 . . 3
6 fveq2 5731 . . . . . 6 Tayl Tayl
7 fveq2 5731 . . . . . . . 8
87oveq2d 6100 . . . . . . 7 Tayl Tayl
9 oveq2 6092 . . . . . . . 8
109oveq2d 6100 . . . . . . 7
11 eqidd 2439 . . . . . . 7
128, 10, 11oveq123d 6105 . . . . . 6 Tayl Tayl
136, 12eqeq12d 2452 . . . . 5 Tayl Tayl Tayl Tayl
1413imbi2d 309 . . . 4 Tayl Tayl Tayl Tayl
15 fveq2 5731 . . . . . 6 Tayl Tayl
16 fveq2 5731 . . . . . . . 8
1716oveq2d 6100 . . . . . . 7 Tayl Tayl
18 oveq2 6092 . . . . . . . 8
1918oveq2d 6100 . . . . . . 7
20 eqidd 2439 . . . . . . 7
2117, 19, 20oveq123d 6105 . . . . . 6 Tayl Tayl
2215, 21eqeq12d 2452 . . . . 5 Tayl Tayl Tayl Tayl
2322imbi2d 309 . . . 4 Tayl Tayl Tayl Tayl
24 fveq2 5731 . . . . . 6 Tayl Tayl
25 fveq2 5731 . . . . . . . 8
2625oveq2d 6100 . . . . . . 7 Tayl Tayl
27 oveq2 6092 . . . . . . . 8
2827oveq2d 6100 . . . . . . 7
29 eqidd 2439 . . . . . . 7
3026, 28, 29oveq123d 6105 . . . . . 6 Tayl Tayl
3124, 30eqeq12d 2452 . . . . 5 Tayl Tayl Tayl Tayl
3231imbi2d 309 . . . 4 Tayl Tayl Tayl Tayl
33 fveq2 5731 . . . . . 6 Tayl Tayl
34 fveq2 5731 . . . . . . . 8
3534oveq2d 6100 . . . . . . 7 Tayl Tayl
36 oveq2 6092 . . . . . . . 8
3736oveq2d 6100 . . . . . . 7
38 eqidd 2439 . . . . . . 7
3935, 37, 38oveq123d 6105 . . . . . 6 Tayl Tayl
4033, 39eqeq12d 2452 . . . . 5 Tayl Tayl Tayl Tayl
4140imbi2d 309 . . . 4 Tayl Tayl Tayl Tayl
42 ssid 3369 . . . . . . . 8
4342a1i 11 . . . . . . 7
44 mapsspm 7050 . . . . . . . 8
45 dvntaylp.s . . . . . . . . . 10
46 dvntaylp.f . . . . . . . . . 10
47 dvntaylp.a . . . . . . . . . 10
48 dvntaylp.n . . . . . . . . . . 11
4948, 1nn0addcld 10283 . . . . . . . . . 10
50 dvntaylp.b . . . . . . . . . 10
51 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 Tayl Tayl
5245, 46, 47, 49, 50, 51taylpf 20287 . . . . . . . . 9 Tayl
53 cnex 9076 . . . . . . . . . 10
5453, 53elmap 7045 . . . . . . . . 9 Tayl Tayl
5552, 54sylibr 205 . . . . . . . 8 Tayl
5644, 55sseldi 3348 . . . . . . 7 Tayl
57 dvn0 19815 . . . . . . 7 Tayl Tayl Tayl
5843, 56, 57syl2anc 644 . . . . . 6 Tayl Tayl
59 recnprss 19796 . . . . . . . . . 10
6045, 59syl 16 . . . . . . . . 9
6153a1i 11 . . . . . . . . . 10
62 elpm2r 7037 . . . . . . . . . 10
6361, 45, 46, 47, 62syl22anc 1186 . . . . . . . . 9
64 dvn0 19815 . . . . . . . . 9
6560, 63, 64syl2anc 644 . . . . . . . 8
6665oveq2d 6100 . . . . . . 7 Tayl Tayl
671nn0cnd 10281 . . . . . . . . 9
6867subid1d 9405 . . . . . . . 8
6968oveq2d 6100 . . . . . . 7
70 eqidd 2439 . . . . . . 7
7166, 69, 70oveq123d 6105 . . . . . 6 Tayl Tayl
7258, 71eqtr4d 2473 . . . . 5 Tayl Tayl
7372a1i 11 . . . 4 Tayl Tayl
74 oveq2 6092 . . . . . . 7 Tayl Tayl Tayl Tayl
7542a1i 11 . . . . . . . . 9 ..^
7656adantr 453 . . . . . . . . 9 ..^ Tayl
77 elfzouz 11149 . . . . . . . . . . 11 ..^
7877adantl 454 . . . . . . . . . 10 ..^
7978, 2syl6eleqr 2529 . . . . . . . . 9 ..^
80 dvnp1 19816 . . . . . . . . 9 Tayl Tayl Tayl
8175, 76, 79, 80syl3anc 1185 . . . . . . . 8 ..^ Tayl Tayl
8245adantr 453 . . . . . . . . . 10 ..^
8363adantr 453 . . . . . . . . . . 11 ..^
84 dvnf 19818 . . . . . . . . . . 11
8582, 83, 79, 84syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10 ..^
86 dvnbss 19819 . . . . . . . . . . . . 13
8782, 83, 79, 86syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12 ..^
88 fdm 5598 . . . . . . . . . . . . . 14
8946, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
9089adantr 453 . . . . . . . . . . . 12 ..^
9187, 90sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . 11 ..^
9247adantr 453 . . . . . . . . . . 11 ..^
9391, 92sstrd 3360 . . . . . . . . . 10 ..^
9448adantr 453 . . . . . . . . . . 11 ..^
95 fzofzp1 11194 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
9695adantl 454 . . . . . . . . . . . 12 ..^
97 fznn0sub 11090 . . . . . . . . . . . 12
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . 11 ..^
9994, 98nn0addcld 10283 . . . . . . . . . 10 ..^
10050adantr 453 . . . . . . . . . . 11 ..^
101 elfzofz 11159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
102101adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
103 fznn0sub 11090 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
10594, 104nn0addcld 10283 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
106 dvnadd 19820 . . . . . . . . . . . . . 14
10782, 83, 79, 105, 106syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
10848nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
11098nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
111 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
113109, 110, 112addassd 9115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
11467adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
11579nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
116114, 115, 112nppcan2d 9442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
117116oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
118113, 117eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
119118fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
120115, 114pncan3d 9419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
121120oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
122114, 115subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
123109, 115, 122add12d 9292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
124121, 123eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
125124fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
126107, 119, 1253eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . 12 ..^
127126dmeqd 5075 . . . . . . . . . . 11 ..^
128100, 127eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . 10 ..^
12982, 85, 93, 99, 128dvtaylp 20291 . . . . . . . . 9 ..^ Tayl Tayl
130118oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10 ..^ Tayl Tayl
131130oveq2d 6100 . . . . . . . . 9 ..^ Tayl Tayl
13260adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
133 dvnp1 19816 . . . . . . . . . . . . 13
134132, 83, 79, 133syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12 ..^
135134oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11 ..^ Tayl Tayl
136135eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10 ..^ Tayl Tayl
137136oveqd 6101 . . . . . . . . 9 ..^ Tayl Tayl
138129, 131, 1373eqtr3rd 2479 . . . . . . . 8 ..^ Tayl Tayl
13981, 138eqeq12d 2452 . . . . . . 7 ..^ Tayl Tayl Tayl Tayl
14074, 139syl5ibr 214 . . . . . 6 ..^ Tayl Tayl Tayl Tayl
141140expcom 426 . . . . 5 ..^ Tayl Tayl Tayl Tayl
142141a2d 25 . . . 4 ..^ Tayl Tayl Tayl Tayl
14314, 23, 32, 41, 73, 142fzind2 11203 . . 3 Tayl Tayl
1445, 143mpcom 35 . 2 Tayl Tayl
14567subidd 9404 . . . . 5
146145oveq2d 6100 . . . 4
147108addid1d 9271 . . . 4
148146, 147eqtrd 2470 . . 3
149148oveq1d 6099 . 2 Tayl Tayl
150144, 149eqtrd 2470 1 Tayl Tayl
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   wss 3322  cpr 3817   cdm 4881  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmap 7021   cpm 7022  cc 8993  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cmin 9296  cn0 10226  cuz 10493  cfz 11048  ..^cfzo 11140   cdv 19755   cdvn 19756   Tayl ctayl 20274 This theorem is referenced by:  dvntaylp0  20293  taylthlem1  20294 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-tsms 18161  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-dvn 19760  df-tayl 20276
 Copyright terms: Public domain W3C validator