MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp0 Structured version   Unicode version

Theorem dvntaylp0 20290
Description: The first  N derivatives of the Taylor polynomial at  B match the derivatives of the function from which it is derived. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp0.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvntaylp0.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvntaylp0.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvntaylp0.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
dvntaylp0.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
dvntaylp0.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
Assertion
Ref Expression
dvntaylp0  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
)

Proof of Theorem dvntaylp0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp0.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
2 elfz3nn0 11086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
43nn0cnd 10278 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5 elfznn0 11085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
61, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
76nn0cnd 10278 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
84, 7npcand 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  +  M
)  =  N )
98oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
10 dvntaylp0.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
119, 10syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  =  T )
1211oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  D n
( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) )  =  ( CC  D n T ) )
1312fveq1d 5732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( CC  D n T ) `  M ) )
14 dvntaylp0.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
15 dvntaylp0.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
16 dvntaylp0.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
17 fznn0sub 11087 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
181, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
19 dvntaylp0.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
208fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
( N  -  M
)  +  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N ) )
2120dmeqd 5074 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
2219, 21eleqtrrd 2515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  (
( N  -  M
)  +  M ) ) )
2314, 15, 16, 6, 18, 22dvntaylp 20289 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
2413, 23eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  M
)  =  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
2524fveq1d 5732 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B ) `
 B ) )
26 cnex 9073 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
28 elpm2r 7036 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
2927, 14, 15, 16, 28syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
30 dvnf 19815 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 M ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 M ) --> CC )
3114, 29, 6, 30syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  M
) : dom  (
( S  D n F ) `  M
) --> CC )
32 dvnbss 19816 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  M ) 
C_  dom  F )
3314, 29, 6, 32syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 M )  C_  dom  F )
34 fdm 5597 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
3515, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
3633, 35sseqtrd 3386 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 M )  C_  A )
3736, 16sstrd 3360 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 M )  C_  S )
3818orcd 383 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  \/  ( N  -  M
)  =  +oo )
)
39 dvnadd 19817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  ( N  -  M
) ) ) )
4014, 29, 6, 18, 39syl22anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) ) )
417, 4pncan3d 9416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
4241fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
4340, 42eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N
) )
4443dmeqd 5074 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  N ) )
4519, 44eleqtrrd 2515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  ( N  -  M )
) )
4614, 31, 37, 18, 45taylplem1 20281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] ( N  -  M
) )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  k ) )
47 eqid 2438 . . . 4  |-  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B )  =  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B )
4814, 31, 37, 38, 46, 47tayl0 20280 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  dom  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B )  /\  ( ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
) )
4948simprd 451 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) `  B
)  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
)
5025, 49eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {cpr 3817   dom cdm 4880   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^pm cpm 7021   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992    + caddc 8995    +oocpnf 9119    - cmin 9293   NN0cn0 10223   ...cfz 11045    D ncdvn 19753   Tayl ctayl 20271
This theorem is referenced by:  taylthlem1  20291  taylthlem2  20292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-tsms 18158  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-dvn 19757  df-tayl 20273
  Copyright terms: Public domain W3C validator