MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp0 Unicode version

Theorem dvntaylp0 19767
Description: The first  N derivatives of the Taylor polynomial at  B match the derivatives of the function from which it is derived. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp0.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvntaylp0.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvntaylp0.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvntaylp0.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
dvntaylp0.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
dvntaylp0.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
Assertion
Ref Expression
dvntaylp0  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
)

Proof of Theorem dvntaylp0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp0.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
2 elfz3nn0 10839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
31, 2syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
43nn0cnd 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
61, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
76nn0cnd 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
84, 7npcand 9177 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  +  M
)  =  N )
98oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
10 dvntaylp0.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
119, 10syl6eqr 2346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  =  T )
1211oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  D n
( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) )  =  ( CC  D n T ) )
1312fveq1d 5543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( CC  D n T ) `  M ) )
14 dvntaylp0.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
15 dvntaylp0.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
16 dvntaylp0.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
17 fznn0sub 10840 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
181, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
19 dvntaylp0.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
208fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
( N  -  M
)  +  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N ) )
2120dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
2219, 21eleqtrrd 2373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  (
( N  -  M
)  +  M ) ) )
2314, 15, 16, 6, 18, 22dvntaylp 19766 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
2413, 23eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  M
)  =  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
2524fveq1d 5543 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B ) `
 B ) )
26 cnex 8834 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
2726a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
28 elpm2r 6804 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
2927, 14, 15, 16, 28syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
30 dvnf 19292 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 M ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 M ) --> CC )
3114, 29, 6, 30syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  M
) : dom  (
( S  D n F ) `  M
) --> CC )
32 dvnbss 19293 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  M ) 
C_  dom  F )
3314, 29, 6, 32syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 M )  C_  dom  F )
34 fdm 5409 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
3515, 34syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
3633, 35sseqtrd 3227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 M )  C_  A )
3736, 16sstrd 3202 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 M )  C_  S )
3818orcd 381 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  \/  ( N  -  M
)  =  +oo )
)
39 dvnadd 19294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  ( N  -  M
) ) ) )
4014, 29, 6, 18, 39syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) ) )
417, 4pncan3d 9176 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
4241fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
4340, 42eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N
) )
4443dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  N ) )
4519, 44eleqtrrd 2373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  ( N  -  M )
) )
4614, 31, 37, 18, 45taylplem1 19758 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] ( N  -  M
) )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  k ) )
47 eqid 2296 . . . 4  |-  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B )  =  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B )
4814, 31, 37, 38, 46, 47tayl0 19757 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  dom  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B )  /\  ( ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
) )
4948simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) `  B
)  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
)
5025, 49eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {cpr 3654   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^pm cpm 6789   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    +oocpnf 8880    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ...cfz 10798    D ncdvn 19230   Tayl ctayl 19748
This theorem is referenced by:  taylthlem1  19768  taylthlem2  19769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tsms 17825  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-dvn 19234  df-tayl 19750
  Copyright terms: Public domain W3C validator