MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp0 Unicode version

Theorem dvntaylp0 19751
Description: The first  N derivatives of the Taylor polynomial at  B match the derivatives of the function from which it is derived. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp0.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvntaylp0.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvntaylp0.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvntaylp0.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
dvntaylp0.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
dvntaylp0.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
Assertion
Ref Expression
dvntaylp0  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
)

Proof of Theorem dvntaylp0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp0.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
2 elfz3nn0 10823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
31, 2syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
43nn0cnd 10020 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
61, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
76nn0cnd 10020 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
84, 7npcand 9161 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  +  M
)  =  N )
98oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
10 dvntaylp0.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
119, 10syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  =  T )
1211oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  D n
( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) )  =  ( CC  D n T ) )
1312fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( CC  D n T ) `  M ) )
14 dvntaylp0.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
15 dvntaylp0.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
16 dvntaylp0.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
17 fznn0sub 10824 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
181, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
19 dvntaylp0.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  N
) )
208fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
( N  -  M
)  +  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N ) )
2120dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
2219, 21eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  (
( N  -  M
)  +  M ) ) )
2314, 15, 16, 6, 18, 22dvntaylp 19750 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
2413, 23eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( CC  D n T ) `  M
)  =  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) )
2524fveq1d 5527 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B ) `
 B ) )
26 cnex 8818 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
2726a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
28 elpm2r 6788 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
2927, 14, 15, 16, 28syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
30 dvnf 19276 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 M ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 M ) --> CC )
3114, 29, 6, 30syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  M
) : dom  (
( S  D n F ) `  M
) --> CC )
32 dvnbss 19277 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  M ) 
C_  dom  F )
3314, 29, 6, 32syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 M )  C_  dom  F )
34 fdm 5393 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
3515, 34syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
3633, 35sseqtrd 3214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 M )  C_  A )
3736, 16sstrd 3189 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 M )  C_  S )
3818orcd 381 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  \/  ( N  -  M
)  =  +oo )
)
39 dvnadd 19278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  ( N  -  M
) ) ) )
4014, 29, 6, 18, 39syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) ) )
417, 4pncan3d 9160 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
4241fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 N ) )
4340, 42eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  =  ( ( S  D n F ) `  N
) )
4443dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) )  =  dom  ( ( S  D n F ) `  N ) )
4519, 44eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  ( N  -  M )
) )
4614, 31, 37, 18, 45taylplem1 19742 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] ( N  -  M
) )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  k ) )
47 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B )  =  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B )
4814, 31, 37, 38, 46, 47tayl0 19741 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  dom  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M
) ) B )  /\  ( ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `  M ) ) B ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
) )
4948simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  D n F ) `
 M ) ) B ) `  B
)  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
)
5025, 49eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  D n T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( S  D n F ) `  M
) `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {cpr 3641   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    +oocpnf 8864    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ...cfz 10782    D ncdvn 19214   Tayl ctayl 19732
This theorem is referenced by:  taylthlem1  19752  taylthlem2  19753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-tsms 17809  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-dvn 19218  df-tayl 19734
  Copyright terms: Public domain W3C validator