Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvply1 Structured version   Unicode version

Theorem dvply1 20201
 Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvply1.f
dvply1.g
dvply1.a
dvply1.b
dvply1.n
Assertion
Ref Expression
dvply1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem dvply1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvply1.f . . 3
21oveq2d 6097 . 2
3 eqid 2436 . . . . . 6 fld fld
43cnfldtop 18818 . . . . 5 fld
53cnfldtopon 18817 . . . . . . 7 fld TopOn
65toponunii 16997 . . . . . 6 fld
76restid 13661 . . . . 5 fld fldt fld
84, 7ax-mp 8 . . . 4 fldt fld
98eqcomi 2440 . . 3 fld fldt
10 cnex 9071 . . . . 5
1110prid2 3913 . . . 4
1211a1i 11 . . 3
136topopn 16979 . . . 4 fld fld
144, 13mp1i 12 . . 3 fld
15 fzfid 11312 . . 3
16 dvply1.a . . . . . . 7
17 elfznn0 11083 . . . . . . 7
18 ffvelrn 5868 . . . . . . 7
1916, 17, 18syl2an 464 . . . . . 6
2019adantr 452 . . . . 5
21 simpr 448 . . . . . 6
2217ad2antlr 708 . . . . . 6
2321, 22expcld 11523 . . . . 5
2420, 23mulcld 9108 . . . 4
25243impa 1148 . . 3
26193adant3 977 . . . 4
27 0cn 9084 . . . . . 6
2827a1i 11 . . . . 5
29 simpl2 961 . . . . . . . 8
3029, 17syl 16 . . . . . . 7
3130nn0cnd 10276 . . . . . 6
32 simpl3 962 . . . . . . 7
33 simpr 448 . . . . . . . . 9
34 elnn0 10223 . . . . . . . . . 10
3530, 34sylib 189 . . . . . . . . 9
36 orel2 373 . . . . . . . . 9
3733, 35, 36sylc 58 . . . . . . . 8
38 nnm1nn0 10261 . . . . . . . 8
3937, 38syl 16 . . . . . . 7
4032, 39expcld 11523 . . . . . 6
4131, 40mulcld 9108 . . . . 5
4228, 41ifclda 3766 . . . 4
4326, 42mulcld 9108 . . 3
4411a1i 11 . . . 4
45 c0ex 9085 . . . . . 6
46 ovex 6106 . . . . . 6
4745, 46ifex 3797 . . . . 5
4847a1i 11 . . . 4
4917adantl 453 . . . . 5
50 dvexp2 19840 . . . . 5
5149, 50syl 16 . . . 4
5244, 23, 48, 51, 19dvmptcmul 19850 . . 3
539, 3, 12, 14, 15, 25, 43, 52dvmptfsum 19859 . 2
54 elfznn 11080 . . . . . . . . . . 11
5554nnne0d 10044 . . . . . . . . . 10
5655neneqd 2617 . . . . . . . . 9
5756adantl 453 . . . . . . . 8
58 iffalse 3746 . . . . . . . 8
5957, 58syl 16 . . . . . . 7
6059oveq2d 6097 . . . . . 6
6160sumeq2dv 12497 . . . . 5
62 1nn0 10237 . . . . . . . 8
63 nn0uz 10520 . . . . . . . 8
6462, 63eleqtri 2508 . . . . . . 7
65 fzss1 11091 . . . . . . 7
6664, 65mp1i 12 . . . . . 6
6716adantr 452 . . . . . . . 8
6854nnnn0d 10274 . . . . . . . 8
6967, 68, 18syl2an 464 . . . . . . 7
7055adantl 453 . . . . . . . . . 10
7170neneqd 2617 . . . . . . . . 9
7271, 58syl 16 . . . . . . . 8
7368adantl 453 . . . . . . . . . 10
7473nn0cnd 10276 . . . . . . . . 9
75 simplr 732 . . . . . . . . . 10
7654, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11
7776adantl 453 . . . . . . . . . 10
7875, 77expcld 11523 . . . . . . . . 9
7974, 78mulcld 9108 . . . . . . . 8
8072, 79eqeltrd 2510 . . . . . . 7
8169, 80mulcld 9108 . . . . . 6
82 eldifn 3470 . . . . . . . . . . . 12
83 0p1e1 10093 . . . . . . . . . . . . . 14
8483oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . 13
8584eleq2i 2500 . . . . . . . . . . . 12
8682, 85sylnibr 297 . . . . . . . . . . 11
8786adantl 453 . . . . . . . . . 10
88 eldifi 3469 . . . . . . . . . . . 12
8988adantl 453 . . . . . . . . . . 11
90 dvply1.n . . . . . . . . . . . . . 14
9190, 63syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . 13
9291ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
93 elfzp12 11126 . . . . . . . . . . . 12
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . 11
9589, 94mpbid 202 . . . . . . . . . 10
96 orel2 373 . . . . . . . . . 10
9787, 95, 96sylc 58 . . . . . . . . 9
98 iftrue 3745 . . . . . . . . 9
9997, 98syl 16 . . . . . . . 8
10099oveq2d 6097 . . . . . . 7
10167, 17, 18syl2an 464 . . . . . . . . 9
102101mul01d 9265 . . . . . . . 8
10388, 102sylan2 461 . . . . . . 7
104100, 103eqtrd 2468 . . . . . 6
105 fzfid 11312 . . . . . 6
10666, 81, 104, 105fsumss 12519 . . . . 5
107 elfznn0 11083 . . . . . . . . . . . . . . 15
108107adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
109108nn0cnd 10276 . . . . . . . . . . . . 13
110 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . 13
111 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . 13
112109, 110, 111sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12
113112oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11
114113oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10
115114oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
11616ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
117 peano2nn0 10260 . . . . . . . . . . . . 13
118107, 117syl 16 . . . . . . . . . . . 12
119118adantl 453 . . . . . . . . . . 11
120116, 119ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . 10
121119nn0cnd 10276 . . . . . . . . . 10
122 simplr 732 . . . . . . . . . . 11
123122, 108expcld 11523 . . . . . . . . . 10
124120, 121, 123mulassd 9111 . . . . . . . . 9
125120, 121mulcomd 9109 . . . . . . . . . 10
126125oveq1d 6096 . . . . . . . . 9
127115, 124, 1263eqtr2d 2474 . . . . . . . 8
128127sumeq2dv 12497 . . . . . . 7
129 1m1e0 10068 . . . . . . . . 9
130129oveq1i 6091 . . . . . . . 8
131130sumeq1i 12492 . . . . . . 7
132 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10
133132fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
134132, 133oveq12d 6099 . . . . . . . . 9
135 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
136134, 135oveq12d 6099 . . . . . . . 8
137136cbvsumv 12490 . . . . . . 7
138128, 131, 1373eqtr4g 2493 . . . . . 6
139 1z 10311 . . . . . . . 8
140139a1i 11 . . . . . . 7
14190adantr 452 . . . . . . . 8
142141nn0zd 10373 . . . . . . 7
14369, 79mulcld 9108 . . . . . . 7
144 fveq2 5728 . . . . . . . 8
145 id 20 . . . . . . . . 9
146 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10
147146oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
148145, 147oveq12d 6099 . . . . . . . 8
149144, 148oveq12d 6099 . . . . . . 7
150140, 140, 142, 143, 149fsumshftm 12564 . . . . . 6
151 elfznn0 11083 . . . . . . . . . 10
152151adantl 453 . . . . . . . . 9
153 ovex 6106 . . . . . . . . 9
154 dvply1.b . . . . . . . . . 10
155154fvmpt2 5812 . . . . . . . . 9
156152, 153, 155sylancl 644 . . . . . . . 8
157156oveq1d 6096 . . . . . . 7
158157sumeq2dv 12497 . . . . . 6
159138, 150, 1583eqtr4d 2478 . . . . 5
16061, 106, 1593eqtr3d 2476 . . . 4
161160mpteq2dva 4295 . . 3
162 dvply1.g . . 3
163161, 162eqtr4d 2471 . 2
1642, 53, 1633eqtrd 2472 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  cif 3739  cpr 3815   cmpt 4266  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   cmin 9291  cn 10000  cn0 10221  cz 10282  cuz 10488  cfz 11043  cexp 11382  csu 12479   ↾t crest 13648  ctopn 13649  ℂfldccnfld 16703  ctop 16958   cdv 19750 This theorem is referenced by:  dvply2g  20202 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754
 Copyright terms: Public domain W3C validator