MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvr1 Unicode version

Theorem dvr1 15723
Description: A cancellation law for division. (div1 9641 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvr1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvr1.d  |-  ./  =  (/r
`  R )
dvr1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvr1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  ./  .1.  )  =  X )

Proof of Theorem dvr1
StepHypRef Expression
1 id 20 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  B )
2 eqid 2389 . . . 4  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
3 dvr1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 31unit 15692 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  (Unit `  R ) )
5 dvr1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 eqid 2389 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7 eqid 2389 . . . 4  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
8 dvr1.d . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
95, 6, 2, 7, 8dvrval 15719 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  .1.  e.  (Unit `  R
) )  ->  ( X  ./  .1.  )  =  ( X ( .r
`  R ) ( ( invr `  R
) `  .1.  )
) )
101, 4, 9syl2anr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  ./  .1.  )  =  ( X ( .r
`  R ) ( ( invr `  R
) `  .1.  )
) )
117, 31rinv 15713 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (
invr `  R ) `  .1.  )  =  .1.  )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( invr `  R ) `  .1.  )  =  .1.  )
1312oveq2d 6038 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  .1.  ) )  =  ( X ( .r
`  R )  .1.  ) )
145, 6, 3rngridm 15617 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R )  .1.  )  =  X )
1510, 13, 143eqtrd 2425 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  ./  .1.  )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   .rcmulr 13459   Ringcrg 15589   1rcur 15591  Unitcui 15673   invrcinvr 15705  /rcdvr 15716
This theorem is referenced by:  qqh0  24169  qqh1  24170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676  df-invr 15706  df-dvr 15717
  Copyright terms: Public domain W3C validator