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Theorem dvradcnv 20015
Description: The radius of convergence of the (formal) derivative  H of the power series  G is at least as large as the radius of convergence of  G. (In fact they are equal, but we don't have as much use for the negative side of this claim.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
dvradcnv.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
dvradcnv.h  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( n  +  1 )  x.  ( A `  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) ) )
dvradcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
dvradcnv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dvradcnv.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
dvradcnv  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    x, n, A    G, r    n, r, X, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( r)    R( x, n, r)    G( x, n)    H( x, n, r)

Proof of Theorem dvradcnv
Dummy variables  k 
i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10413 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 1nn0 10130 . . 3  |-  1  e.  NN0
32a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
4 ax-1cn 8942 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 nn0cn 10124 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
65adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
7 nn0ex 10120 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
87mptex 5866 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  e. 
_V
98shftval4 11779 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
)  =  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
104, 6, 9sylancr 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
11 addcom 9145 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
124, 6, 11sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
1312fveq2d 5636 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  =  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
14 peano2nn0 10153 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
1514adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
16 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  i  =  ( k  +  1 ) )
17 fveq2 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G `  X
) `  i )  =  ( ( G `
 X ) `  ( k  +  1 ) ) )
1817fveq2d 5636 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
1916, 18oveq12d 5999 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
i  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
20 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )
21 ovex 6006 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  _V
2219, 20, 21fvmpt 5709 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
2315, 22syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
24 dvradcnv.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
25 dvradcnv.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
2625pserval2 20005 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) )
2724, 14, 26syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2827fveq2d 5636 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
2928oveq2d 5997 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3023, 29eqtrd 2398 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3110, 13, 303eqtrd 2402 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
3215nn0red 10168 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
33 dvradcnv.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
34 ffvelrn 5770 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( A `  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
3533, 14, 34syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
36 expcl 11286 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( X ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC )
3724, 14, 36syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( X ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3835, 37mulcld 9002 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
3938abscld 12125 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
4032, 39remulcld 9010 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
4131, 40eqeltrd 2440 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  e.  RR )
42 oveq1 5988 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
4342fveq2d 5636 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  ( n  +  1 ) )  =  ( A `  ( k  +  1 ) ) )
4442, 43oveq12d 5999 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 )  x.  ( A `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) ) )
45 oveq2 5989 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( X ^ n )  =  ( X ^ k
) )
4644, 45oveq12d 5999 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( n  + 
1 )  x.  ( A `  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )
47 dvradcnv.h . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( n  +  1 )  x.  ( A `  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) ) )
48 ovex 6006 . . . . 5  |-  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  e. 
_V
4946, 47, 48fvmpt 5709 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( H `
 k )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
5049adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
5115nn0cnd 10169 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
5251, 35mulcld 9002 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
53 expcl 11286 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( X ^ k
)  e.  CC )
5424, 53sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( X ^ k )  e.  CC )
5552, 54mulcld 9002 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  e.  CC )
5650, 55eqeltrd 2440 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
57 dvradcnv.r . . . . . . . 8  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
58 dvradcnv.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
59 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  i  =  k )
60 fveq2 5632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( G `  X
) `  i )  =  ( ( G `
 X ) `  k ) )
6160fveq2d 5636 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  k )
) )
6259, 61oveq12d 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
i  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
6362cbvmptv 4213 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
6425, 33, 57, 24, 58, 63radcnvlt1 20012 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  e.  dom  ~~>  /\  seq  0 (  +  , 
( abs  o.  ( G `  X )
) )  e.  dom  ~~>  ) )
6564simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
66 climdm 12235 . . . . . 6  |-  (  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
6765, 66sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) ) ) )
68 0z 10186 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
69 1z 10204 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
70 znegcl 10206 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
7169, 70ax-mp 8 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ZZ
728isershft 12344 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  (  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) ) )  <->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) ) )
7368, 71, 72mp2an 653 . . . . 5  |-  (  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  <->  seq  ( 0  +  -u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
7467, 73sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
75 seqex 11212 . . . . 5  |-  seq  (
0  +  -u 1
) (  +  , 
( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
_V
76 fvex 5646 . . . . 5  |-  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  e. 
_V
7775, 76breldm 4986 . . . 4  |-  (  seq  ( 0  +  -u
1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  ->  seq  ( 0  +  -u
1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
7874, 77syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
79 eqid 2366 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) )
80 neg1cn 9960 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
8180addid2i 9147 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  -u 1 )  = 
-u 1
82 0le1 9444 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
83 1re 8984 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
84 le0neg2 9430 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
8583, 84ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
8682, 85mpbi 199 . . . . . . 7  |-  -u 1  <_  0
8781, 86eqbrtri 4144 . . . . . 6  |-  ( 0  +  -u 1 )  <_ 
0
8881, 71eqeltri 2436 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  -u 1 )  e.  ZZ
8988eluz1i 10388 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  (
0  +  -u 1
)  <_  0 ) )
9068, 87, 89mpbir2an 886 . . . . 5  |-  0  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) )
9190a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u
1 ) ) )
92 eluzelz 10389 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  k  e.  ZZ )
9392zcnd 10269 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  k  e.  CC )
9493adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
954, 94, 9sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
96 nn0re 10123 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
9796adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  RR )
9825, 33, 24psergf 20006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
99 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  X
) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  i
)  e.  CC )
10098, 99sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  i )  e.  CC )
101100abscld 12125 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) )  e.  RR )
10297, 101remulcld 9010 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) )  e.  RR )
103102recnd 9008 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) )  e.  CC )
104103, 20fmptd 5795 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) : NN0 --> CC )
1054, 93, 11sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
106 eluzp1p1 10404 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( 0  +  -u
1 )  +  1 ) ) )
10781oveq1i 5991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 )
1084negidi 9262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
1094, 80, 108addcomli 9151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
110107, 109eqtri 2386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  0
111110fveq2i 5635 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( ( 0  + 
-u 1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  0 )
1121, 111eqtr4i 2389 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  ( (
0  +  -u 1
)  +  1 ) )
113106, 112syl6eleqr 2457 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN0 )
114105, 113eqeltrd 2440 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
1  +  k )  e.  NN0 )
115 ffvelrn 5770 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) : NN0 --> CC  /\  ( 1  +  k )  e.  NN0 )  ->  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  e.  CC )
116104, 114, 115syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  e.  CC )
11795, 116eqeltrd 2440 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  e.  CC )
11879, 91, 117iserex 12337 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  ( 0  +  -u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  0 (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  ) )
11978, 118mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
12083a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  = 
0 )  ->  1  e.  RR )
121 df-ne 2531 . . . . . 6  |-  ( X  =/=  0  <->  -.  X  =  0 )
122121biimpri 197 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  0  ->  X  =/=  0 )
123 absrpcl 11980 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 )  -> 
( abs `  X
)  e.  RR+ )
12424, 122, 123syl2an 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( abs `  X
)  e.  RR+ )
125124rprecred 10552 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( 1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR )
126120, 125ifclda 3681 . 2  |-  ( ph  ->  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
127 oveq1 5988 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  -> 
( 1  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
128127breq2d 4137 . . . 4  |-  ( 1  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
129 oveq1 5988 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  ->  ( (
1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
130129breq2d 4137 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
131 elnnuz 10415 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
132 nnnn0 10121 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
133131, 132sylbir 204 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  k  e.  NN0 )
13415nn0ge0d 10170 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( k  +  1 ) )
13538absge0d 12133 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
13632, 39, 134, 135mulge0d 9496 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
137133, 136sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
138137adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
139 oveq1 5988 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  0  ->  ( X ^ k )  =  ( 0 ^ k
) )
140 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
141140, 131sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  NN )
1421410expd 11426 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 0 ^ k )  =  0 )
143139, 142sylan9eqr 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( X ^ k )  =  0 )
144143oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  0 ) )
14552mul01d 9158 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
146133, 145sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
147146adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
148144, 147eqtrd 2398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  0 )
149148fveq2d 5636 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  =  ( abs `  0
) )
150 abs0 11977 . . . . . 6  |-  ( abs `  0 )  =  0
151149, 150syl6eq 2414 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  =  0 )
15240recnd 9008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
153152mulid2d 9000 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
154133, 153sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
155154adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
156138, 151, 1553brtr4d 4155 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
15755abscld 12125 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  e.  RR )
15851, 35, 54mulassd 9005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
159158fveq2d 5636 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
16035, 54mulcld 9002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
k ) )  e.  CC )
16151, 160absmuld 12143 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
k  +  1 ) )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
16232, 134absidd 12112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( k  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
163162oveq1d 5996 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( k  +  1 ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
164159, 161, 1633eqtrd 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
165 eqle 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
166157, 164, 165syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
167166adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
16824adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  X  e.  CC )
169123rpreccld 10551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
170168, 169sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
171170rpcnd 10543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  X ) )  e.  CC )
17251adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
17339adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
174173recnd 9008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
175171, 172, 174mul12d 9168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
17638adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
17724ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  X  e.  CC )
178 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  X  =/=  0 )
179176, 177, 178absdivd 12144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  /  X ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( abs `  X ) ) )
18035adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( A `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
18137adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
182180, 181, 177, 178divassd 9718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  /  X )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  (
( X ^ (
k  +  1 ) )  /  X ) ) )
1836adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  k  e.  CC )
184 pncan 9204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
185183, 4, 184sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
186185oveq2d 5997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( X ^ k
) )
18715nn0zd 10266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
188187adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
189177, 178, 188expm1d 11420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) )
190186, 189eqtr3d 2400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ k )  =  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) )
191190oveq2d 5997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) ) )
192182, 191eqtr4d 2401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  /  X )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
193192fveq2d 5636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  /  X ) )  =  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
19424abscld 12125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
195194ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
196195recnd 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
197168, 123sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR+ )
198197rpne0d 10546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  =/=  0 )
199174, 196, 198divrec2d 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( abs `  X ) )  =  ( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
200179, 193, 1993eqtr3rd 2407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
201200oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( k  +  1 )  x.  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
202175, 201eqtrd 2398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
203167, 202breqtrrd 4151 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
204133, 203sylanl2 632 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
205121, 204sylan2br 462 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
206128, 130, 156, 205ifbothda 3684 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
20750fveq2d 5636 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  =  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
208133, 207sylan2 460 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  =  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
20931oveq2d 5997 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
210133, 209sylan2 460 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
211206, 208, 2103brtr4d 4155 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) ) )
2121, 3, 41, 56, 119, 126, 211cvgcmpce 12484 1  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   {crab 2632   ifcif 3654   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   dom cdm 4792    o. ccom 4796   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   supcsup 7340   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184   -ucneg 9185    / cdiv 9570   NNcn 9893   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381   RR+crp 10505    seq cseq 11210   ^cexp 11269    shift cshi 11768   abscabs 11926    ~~> cli 12165
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  20022
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-shft 11769  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-limsup 12152  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367
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