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Theorem dvradcnv 20337
Description: The radius of convergence of the (formal) derivative  H of the power series  G is at least as large as the radius of convergence of  G. (In fact they are equal, but we don't have as much use for the negative side of this claim.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
dvradcnv.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
dvradcnv.h  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( n  +  1 )  x.  ( A `  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) ) )
dvradcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
dvradcnv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dvradcnv.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
dvradcnv  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    x, n, A    G, r    n, r, X, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( r)    R( x, n, r)    G( x, n)    H( x, n, r)

Proof of Theorem dvradcnv
Dummy variables  k 
i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10520 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 1nn0 10237 . . 3  |-  1  e.  NN0
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
4 ax-1cn 9048 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 nn0cn 10231 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
65adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
7 nn0ex 10227 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
87mptex 5966 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  e. 
_V
98shftval4 11892 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
)  =  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
104, 6, 9sylancr 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
11 addcom 9252 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
124, 6, 11sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
1312fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  =  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
14 peano2nn0 10260 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
1514adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
16 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  i  =  ( k  +  1 ) )
17 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G `  X
) `  i )  =  ( ( G `
 X ) `  ( k  +  1 ) ) )
1817fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
1916, 18oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
i  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
20 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )
21 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  _V
2219, 20, 21fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
2315, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
24 dvradcnv.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
25 dvradcnv.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
2625pserval2 20327 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) )
2724, 14, 26syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2827fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
2928oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3023, 29eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3110, 13, 303eqtrd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
3215nn0red 10275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
33 dvradcnv.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
34 ffvelrn 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( A `  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
3533, 14, 34syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
36 expcl 11399 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( X ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC )
3724, 14, 36syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( X ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3835, 37mulcld 9108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
3938abscld 12238 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
4032, 39remulcld 9116 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
4131, 40eqeltrd 2510 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  e.  RR )
42 oveq1 6088 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
4342fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  ( n  +  1 ) )  =  ( A `  ( k  +  1 ) ) )
4442, 43oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 )  x.  ( A `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) ) )
45 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( X ^ n )  =  ( X ^ k
) )
4644, 45oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( n  + 
1 )  x.  ( A `  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )
47 dvradcnv.h . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( n  +  1 )  x.  ( A `  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) ) )
48 ovex 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  e. 
_V
4946, 47, 48fvmpt 5806 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( H `
 k )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
5049adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
5115nn0cnd 10276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
5251, 35mulcld 9108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
53 expcl 11399 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( X ^ k
)  e.  CC )
5424, 53sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( X ^ k )  e.  CC )
5552, 54mulcld 9108 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  e.  CC )
5650, 55eqeltrd 2510 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
57 dvradcnv.r . . . . . . . 8  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
58 dvradcnv.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
59 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  i  =  k )
60 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( G `  X
) `  i )  =  ( ( G `
 X ) `  k ) )
6160fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  k )
) )
6259, 61oveq12d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
i  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
6362cbvmptv 4300 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
6425, 33, 57, 24, 58, 63radcnvlt1 20334 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  e.  dom  ~~>  /\  seq  0 (  +  , 
( abs  o.  ( G `  X )
) )  e.  dom  ~~>  ) )
6564simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
66 climdm 12348 . . . . . 6  |-  (  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
6765, 66sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) ) ) )
68 0z 10293 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
69 1z 10311 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
70 znegcl 10313 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
7169, 70ax-mp 8 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ZZ
728isershft 12457 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  (  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) ) )  <->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) ) )
7368, 71, 72mp2an 654 . . . . 5  |-  (  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  <->  seq  ( 0  +  -u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
7467, 73sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
75 seqex 11325 . . . . 5  |-  seq  (
0  +  -u 1
) (  +  , 
( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
_V
76 fvex 5742 . . . . 5  |-  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  e. 
_V
7775, 76breldm 5074 . . . 4  |-  (  seq  ( 0  +  -u
1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  ->  seq  ( 0  +  -u
1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
7874, 77syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
79 eqid 2436 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) )
80 neg1cn 10067 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
8180addid2i 9254 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  -u 1 )  = 
-u 1
82 0le1 9551 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
83 1re 9090 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
84 le0neg2 9537 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
8583, 84ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
8682, 85mpbi 200 . . . . . . 7  |-  -u 1  <_  0
8781, 86eqbrtri 4231 . . . . . 6  |-  ( 0  +  -u 1 )  <_ 
0
8881, 71eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  -u 1 )  e.  ZZ
8988eluz1i 10495 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  (
0  +  -u 1
)  <_  0 ) )
9068, 87, 89mpbir2an 887 . . . . 5  |-  0  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) )
9190a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u
1 ) ) )
92 eluzelz 10496 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  k  e.  ZZ )
9392zcnd 10376 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  k  e.  CC )
9493adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
954, 94, 9sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
96 nn0re 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
9796adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  RR )
9825, 33, 24psergf 20328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
9998ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  i )  e.  CC )
10099abscld 12238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) )  e.  RR )
10197, 100remulcld 9116 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) )  e.  RR )
102101recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) )  e.  CC )
103102, 20fmptd 5893 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) : NN0 --> CC )
1044, 93, 11sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
105 eluzp1p1 10511 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( 0  +  -u
1 )  +  1 ) ) )
10681oveq1i 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 )
1074negidi 9369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
1084, 80, 107addcomli 9258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
109106, 108eqtri 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  0
110109fveq2i 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( ( 0  + 
-u 1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  0 )
1111, 110eqtr4i 2459 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  ( (
0  +  -u 1
)  +  1 ) )
112105, 111syl6eleqr 2527 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN0 )
113104, 112eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
1  +  k )  e.  NN0 )
114 ffvelrn 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) : NN0 --> CC  /\  ( 1  +  k )  e.  NN0 )  ->  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  e.  CC )
115103, 113, 114syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  e.  CC )
11695, 115eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  e.  CC )
11779, 91, 116iserex 12450 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  ( 0  +  -u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  0 (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  ) )
11878, 117mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
11983a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  = 
0 )  ->  1  e.  RR )
120 df-ne 2601 . . . . . 6  |-  ( X  =/=  0  <->  -.  X  =  0 )
121120biimpri 198 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  0  ->  X  =/=  0 )
122 absrpcl 12093 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 )  -> 
( abs `  X
)  e.  RR+ )
12324, 121, 122syl2an 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( abs `  X
)  e.  RR+ )
124123rprecred 10659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( 1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR )
125119, 124ifclda 3766 . 2  |-  ( ph  ->  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
126 oveq1 6088 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  -> 
( 1  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
127126breq2d 4224 . . . 4  |-  ( 1  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
128 oveq1 6088 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  ->  ( (
1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
129128breq2d 4224 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
130 elnnuz 10522 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
131 nnnn0 10228 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
132130, 131sylbir 205 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  k  e.  NN0 )
13315nn0ge0d 10277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( k  +  1 ) )
13438absge0d 12246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
13532, 39, 133, 134mulge0d 9603 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
136132, 135sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
137136adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
138 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  0  ->  ( X ^ k )  =  ( 0 ^ k
) )
139 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
140139, 130sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  NN )
1411400expd 11539 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 0 ^ k )  =  0 )
142138, 141sylan9eqr 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( X ^ k )  =  0 )
143142oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  0 ) )
14452mul01d 9265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
145132, 144sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
146145adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
147143, 146eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  0 )
148147abs00bd 12096 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  =  0 )
14940recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
150149mulid2d 9106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
151132, 150sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
152151adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
153137, 148, 1523brtr4d 4242 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
15455abscld 12238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  e.  RR )
15551, 35, 54mulassd 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
156155fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
15735, 54mulcld 9108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
k ) )  e.  CC )
15851, 157absmuld 12256 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
k  +  1 ) )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
15932, 133absidd 12225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( k  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
160159oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( k  +  1 ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
161156, 158, 1603eqtrd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
162 eqle 9176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
163154, 161, 162syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
164163adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
16524adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  X  e.  CC )
166122rpreccld 10658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
167165, 166sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
168167rpcnd 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  X ) )  e.  CC )
16951adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
17039adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
171170recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
172168, 169, 171mul12d 9275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
17338adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
17424ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  X  e.  CC )
175 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  X  =/=  0 )
176173, 174, 175absdivd 12257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  /  X ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( abs `  X ) ) )
17735adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( A `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
17837adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
179177, 178, 174, 175divassd 9825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  /  X )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  (
( X ^ (
k  +  1 ) )  /  X ) ) )
1806adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  k  e.  CC )
181 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
182180, 4, 181sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
183182oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( X ^ k
) )
18415nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
185184adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
186174, 175, 185expm1d 11533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) )
187183, 186eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ k )  =  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) )
188187oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) ) )
189179, 188eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  /  X )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
190189fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  /  X ) )  =  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
19124abscld 12238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
192191ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
193192recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
194165, 122sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR+ )
195194rpne0d 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  =/=  0 )
196171, 193, 195divrec2d 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( abs `  X ) )  =  ( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
197176, 190, 1963eqtr3rd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
198197oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( k  +  1 )  x.  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
199172, 198eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
200164, 199breqtrrd 4238 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
201132, 200sylanl2 633 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
202120, 201sylan2br 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
203127, 129, 153, 202ifbothda 3769 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
20450fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  =  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
205132, 204sylan2 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  =  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
20631oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
207132, 206sylan2 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
208203, 205, 2073brtr4d 4242 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) ) )
2091, 3, 41, 56, 118, 125, 208cvgcmpce 12597 1  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   {crab 2709   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612    seq cseq 11323   ^cexp 11382    shift cshi 11881   abscabs 12039    ~~> cli 12278
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  20344
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480
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