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Theorem dvradcnv 20294
Description: The radius of convergence of the (formal) derivative  H of the power series  G is at least as large as the radius of convergence of  G. (In fact they are equal, but we don't have as much use for the negative side of this claim.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
dvradcnv.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
dvradcnv.h  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( n  +  1 )  x.  ( A `  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) ) )
dvradcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
dvradcnv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dvradcnv.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
dvradcnv  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    x, n, A    G, r    n, r, X, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( r)    R( x, n, r)    G( x, n)    H( x, n, r)

Proof of Theorem dvradcnv
Dummy variables  k 
i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10480 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 1nn0 10197 . . 3  |-  1  e.  NN0
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
4 ax-1cn 9008 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 nn0cn 10191 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
65adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
7 nn0ex 10187 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
87mptex 5929 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  e. 
_V
98shftval4 11851 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
)  =  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
104, 6, 9sylancr 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
11 addcom 9212 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
124, 6, 11sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
1312fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  =  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
14 peano2nn0 10220 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
1514adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
16 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  i  =  ( k  +  1 ) )
17 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G `  X
) `  i )  =  ( ( G `
 X ) `  ( k  +  1 ) ) )
1817fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
1916, 18oveq12d 6062 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
i  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
20 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )
21 ovex 6069 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  _V
2219, 20, 21fvmpt 5769 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
2315, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
24 dvradcnv.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
25 dvradcnv.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
2625pserval2 20284 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) )
2724, 14, 26syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2827fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
2928oveq2d 6060 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3023, 29eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3110, 13, 303eqtrd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
3215nn0red 10235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
33 dvradcnv.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
34 ffvelrn 5831 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( A `  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
3533, 14, 34syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
36 expcl 11358 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( X ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC )
3724, 14, 36syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( X ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3835, 37mulcld 9068 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
3938abscld 12197 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
4032, 39remulcld 9076 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
4131, 40eqeltrd 2482 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  e.  RR )
42 oveq1 6051 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
4342fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  ( n  +  1 ) )  =  ( A `  ( k  +  1 ) ) )
4442, 43oveq12d 6062 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 )  x.  ( A `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) ) )
45 oveq2 6052 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( X ^ n )  =  ( X ^ k
) )
4644, 45oveq12d 6062 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( n  + 
1 )  x.  ( A `  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )
47 dvradcnv.h . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( n  +  1 )  x.  ( A `  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) ) )
48 ovex 6069 . . . . 5  |-  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  e. 
_V
4946, 47, 48fvmpt 5769 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( H `
 k )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
5049adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
5115nn0cnd 10236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
5251, 35mulcld 9068 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
53 expcl 11358 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( X ^ k
)  e.  CC )
5424, 53sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( X ^ k )  e.  CC )
5552, 54mulcld 9068 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  e.  CC )
5650, 55eqeltrd 2482 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
57 dvradcnv.r . . . . . . . 8  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
58 dvradcnv.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
59 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  i  =  k )
60 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( G `  X
) `  i )  =  ( ( G `
 X ) `  k ) )
6160fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  k )
) )
6259, 61oveq12d 6062 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
i  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
6362cbvmptv 4264 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
6425, 33, 57, 24, 58, 63radcnvlt1 20291 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  e.  dom  ~~>  /\  seq  0 (  +  , 
( abs  o.  ( G `  X )
) )  e.  dom  ~~>  ) )
6564simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
66 climdm 12307 . . . . . 6  |-  (  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
6765, 66sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) ) ) )
68 0z 10253 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
69 1z 10271 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
70 znegcl 10273 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
7169, 70ax-mp 8 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ZZ
728isershft 12416 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  (  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) ) )  <->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) ) )
7368, 71, 72mp2an 654 . . . . 5  |-  (  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  <->  seq  ( 0  +  -u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
7467, 73sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
75 seqex 11284 . . . . 5  |-  seq  (
0  +  -u 1
) (  +  , 
( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
_V
76 fvex 5705 . . . . 5  |-  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  e. 
_V
7775, 76breldm 5037 . . . 4  |-  (  seq  ( 0  +  -u
1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  ->  seq  ( 0  +  -u
1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
7874, 77syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
79 eqid 2408 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) )
80 neg1cn 10027 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
8180addid2i 9214 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  -u 1 )  = 
-u 1
82 0le1 9511 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
83 1re 9050 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
84 le0neg2 9497 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
8583, 84ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
8682, 85mpbi 200 . . . . . . 7  |-  -u 1  <_  0
8781, 86eqbrtri 4195 . . . . . 6  |-  ( 0  +  -u 1 )  <_ 
0
8881, 71eqeltri 2478 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  -u 1 )  e.  ZZ
8988eluz1i 10455 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  (
0  +  -u 1
)  <_  0 ) )
9068, 87, 89mpbir2an 887 . . . . 5  |-  0  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) )
9190a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u
1 ) ) )
92 eluzelz 10456 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  k  e.  ZZ )
9392zcnd 10336 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  k  e.  CC )
9493adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
954, 94, 9sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
96 nn0re 10190 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
9796adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  RR )
9825, 33, 24psergf 20285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
9998ffvelrnda 5833 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  i )  e.  CC )
10099abscld 12197 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) )  e.  RR )
10197, 100remulcld 9076 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) )  e.  RR )
102101recnd 9074 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) )  e.  CC )
103102, 20fmptd 5856 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) : NN0 --> CC )
1044, 93, 11sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
105 eluzp1p1 10471 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( 0  +  -u
1 )  +  1 ) ) )
10681oveq1i 6054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 )
1074negidi 9329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
1084, 80, 107addcomli 9218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
109106, 108eqtri 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  0
110109fveq2i 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( ( 0  + 
-u 1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  0 )
1111, 110eqtr4i 2431 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  ( (
0  +  -u 1
)  +  1 ) )
112105, 111syl6eleqr 2499 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN0 )
113104, 112eqeltrd 2482 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
1  +  k )  e.  NN0 )
114 ffvelrn 5831 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) : NN0 --> CC  /\  ( 1  +  k )  e.  NN0 )  ->  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  e.  CC )
115103, 113, 114syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  e.  CC )
11695, 115eqeltrd 2482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  e.  CC )
11779, 91, 116iserex 12409 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  ( 0  +  -u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  0 (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  ) )
11878, 117mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
11983a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  = 
0 )  ->  1  e.  RR )
120 df-ne 2573 . . . . . 6  |-  ( X  =/=  0  <->  -.  X  =  0 )
121120biimpri 198 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  0  ->  X  =/=  0 )
122 absrpcl 12052 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 )  -> 
( abs `  X
)  e.  RR+ )
12324, 121, 122syl2an 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( abs `  X
)  e.  RR+ )
124123rprecred 10619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( 1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR )
125119, 124ifclda 3730 . 2  |-  ( ph  ->  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
126 oveq1 6051 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  -> 
( 1  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
127126breq2d 4188 . . . 4  |-  ( 1  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
128 oveq1 6051 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  ->  ( (
1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
129128breq2d 4188 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
130 elnnuz 10482 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
131 nnnn0 10188 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
132130, 131sylbir 205 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  k  e.  NN0 )
13315nn0ge0d 10237 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( k  +  1 ) )
13438absge0d 12205 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
13532, 39, 133, 134mulge0d 9563 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
136132, 135sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
137136adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
138 oveq1 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  0  ->  ( X ^ k )  =  ( 0 ^ k
) )
139 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
140139, 130sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  NN )
1411400expd 11498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 0 ^ k )  =  0 )
142138, 141sylan9eqr 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( X ^ k )  =  0 )
143142oveq2d 6060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  0 ) )
14452mul01d 9225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
145132, 144sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
146145adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
147143, 146eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  0 )
148147abs00bd 12055 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  =  0 )
14940recnd 9074 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
150149mulid2d 9066 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
151132, 150sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
152151adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
153137, 148, 1523brtr4d 4206 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
15455abscld 12197 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  e.  RR )
15551, 35, 54mulassd 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
156155fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
15735, 54mulcld 9068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
k ) )  e.  CC )
15851, 157absmuld 12215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
k  +  1 ) )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
15932, 133absidd 12184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( k  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
160159oveq1d 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( k  +  1 ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
161156, 158, 1603eqtrd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
162 eqle 9136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
163154, 161, 162syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
164163adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
16524adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  X  e.  CC )
166122rpreccld 10618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
167165, 166sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
168167rpcnd 10610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  X ) )  e.  CC )
16951adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
17039adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
171170recnd 9074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
172168, 169, 171mul12d 9235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
17338adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
17424ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  X  e.  CC )
175 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  X  =/=  0 )
176173, 174, 175absdivd 12216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  /  X ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( abs `  X ) ) )
17735adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( A `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
17837adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
179177, 178, 174, 175divassd 9785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  /  X )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  (
( X ^ (
k  +  1 ) )  /  X ) ) )
1806adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  k  e.  CC )
181 pncan 9271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
182180, 4, 181sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
183182oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( X ^ k
) )
18415nn0zd 10333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
185184adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
186174, 175, 185expm1d 11492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) )
187183, 186eqtr3d 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ k )  =  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) )
188187oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) ) )
189179, 188eqtr4d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  /  X )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
190189fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  /  X ) )  =  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
19124abscld 12197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
192191ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
193192recnd 9074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
194165, 122sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR+ )
195194rpne0d 10613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  =/=  0 )
196171, 193, 195divrec2d 9754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( abs `  X ) )  =  ( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
197176, 190, 1963eqtr3rd 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
198197oveq2d 6060 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( k  +  1 )  x.  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
199172, 198eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
200164, 199breqtrrd 4202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
201132, 200sylanl2 633 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
202120, 201sylan2br 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
203127, 129, 153, 202ifbothda 3733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
20450fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  =  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
205132, 204sylan2 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  =  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
20631oveq2d 6060 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
207132, 206sylan2 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
208203, 205, 2073brtr4d 4206 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) ) )
2091, 3, 41, 56, 118, 125, 208cvgcmpce 12556 1  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   {crab 2674   ifcif 3703   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   dom cdm 4841    o. ccom 4845   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   supcsup 7407   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251   -ucneg 9252    / cdiv 9637   NNcn 9960   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   RR+crp 10572    seq cseq 11282   ^cexp 11341    shift cshi 11840   abscabs 11998    ~~> cli 12237
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  20301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439
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