MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcan1 Structured version   Unicode version

Theorem dvrcan1 15801
Description: A cancellation law for division. (divcan1 9692 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvrass.o  |-  U  =  (Unit `  R )
dvrass.d  |-  ./  =  (/r
`  R )
dvrass.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvrcan1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  ./  Y
)  .x.  Y )  =  X )

Proof of Theorem dvrcan1
StepHypRef Expression
1 dvrass.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 dvrass.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3 dvrass.o . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
5 dvrass.d . . . . 5  |-  ./  =  (/r
`  R )
61, 2, 3, 4, 5dvrval 15795 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  ./  Y
)  =  ( X 
.x.  ( ( invr `  R ) `  Y
) ) )
763adant1 976 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  ./  Y )  =  ( X  .x.  (
( invr `  R ) `  Y ) ) )
87oveq1d 6099 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  ./  Y
)  .x.  Y )  =  ( ( X 
.x.  ( ( invr `  R ) `  Y
) )  .x.  Y
) )
9 simp1 958 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  R  e.  Ring )
10 simp2 959 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  B )
113, 4, 1rnginvcl 15786 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  Y )  e.  B
)
12113adant2 977 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  Y )  e.  B
)
131, 3unitcl 15769 . . . . 5  |-  ( Y  e.  U  ->  Y  e.  B )
14133ad2ant3 981 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  B )
151, 2rngass 15685 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( invr `  R
) `  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .x.  ( ( invr `  R
) `  Y )
)  .x.  Y )  =  ( X  .x.  ( ( ( invr `  R ) `  Y
)  .x.  Y )
) )
169, 10, 12, 14, 15syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  (
( invr `  R ) `  Y ) )  .x.  Y )  =  ( X  .x.  ( ( ( invr `  R
) `  Y )  .x.  Y ) ) )
17 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
183, 4, 2, 17unitlinv 15787 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (
( ( invr `  R
) `  Y )  .x.  Y )  =  ( 1r `  R ) )
19183adant2 977 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( ( invr `  R
) `  Y )  .x.  Y )  =  ( 1r `  R ) )
2019oveq2d 6100 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( ( (
invr `  R ) `  Y )  .x.  Y
) )  =  ( X  .x.  ( 1r
`  R ) ) )
211, 2, 17rngridm 15693 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  ( 1r `  R ) )  =  X )
22213adant3 978 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( 1r `  R ) )  =  X )
2320, 22eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( ( (
invr `  R ) `  Y )  .x.  Y
) )  =  X )
2416, 23eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  (
( invr `  R ) `  Y ) )  .x.  Y )  =  X )
258, 24eqtrd 2470 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  ./  Y
)  .x.  Y )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   .rcmulr 13535   Ringcrg 15665   1rcur 15667  Unitcui 15749   invrcinvr 15781  /rcdvr 15792
This theorem is referenced by:  dvreq1  15803  irredrmul  15817  isdrng2  15850  cnflddiv  16736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793
  Copyright terms: Public domain W3C validator