Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvreacos Unicode version

Theorem dvreacos 24924
Description: Real derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvreacos  |-  ( RR 
_D  (arccos  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem dvreacos
StepHypRef Expression
1 acosf 20170 . . . . . . . 8  |- arccos : CC --> CC
21a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
-> arccos : CC --> CC )
3 ioossre 10712 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
4 ax-resscn 8794 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3188 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC
65a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  CC )
72, 6feqresmpt 5576 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  (arccos `  x )
) )
8 elioore 10686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  RR )
98recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  CC )
10 acosval 20179 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (arccos `  x )  =  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )
119, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (arccos `  x )  =  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )
1211mpteq2ia 4102 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arccos `  x ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) )
137, 12syl6eq 2331 . . . . 5  |-  (  T. 
->  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) )
1413oveq2d 5874 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) ) )
15 reex 8828 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
1615prid1 3734 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
1716a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
18 pire 19832 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
1918recni 8849 . . . . . . 7  |-  pi  e.  CC
20 2cn 9816 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
21 2ne0 9829 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
2219, 20, 21divcli 9502 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
2322a1i 10 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( pi  /  2
)  e.  CC )
24 0cn 8831 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2524a1i 10 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
0  e.  CC )
2622a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
2724a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
2822a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( pi  /  2
)  e.  CC )
2917, 28dvmptc 19307 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( pi  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
303a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  RR )
31 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3231tgioo2 18309 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
33 iooretop 18275 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
3433a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
3517, 26, 27, 29, 30, 32, 31, 34dvmptres 19312 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( pi  /  2
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  0 ) )
36 asincl 20169 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
379, 36syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
3837adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
(arcsin `  x )  e.  CC )
39 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
4039a1i 10 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
41 dvreasin 24923 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
42 asinf 20168 . . . . . . . . 9  |- arcsin : CC --> CC
4342a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
-> arcsin : CC --> CC )
4443, 6feqresmpt 5576 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  (arcsin `  x )
) )
4544oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) 
|->  (arcsin `  x )
) ) )
4641, 45syl5reqr 2330 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  (arcsin `  x )
) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4717, 23, 25, 35, 38, 40, 46dvmptsub 19316 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4814, 47eqtrd 2315 . . 3  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4948trud 1314 . 2  |-  ( RR 
_D  (arccos  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 0  -  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
50 df-neg 9040 . . . 4  |-  -u (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 0  -  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
51 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5251a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  CC )
539sqcld 11243 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
5452, 53subcld 9157 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
5554sqrcld 11919 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
569abscld 11918 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
57 eliooord 10710 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) )
58 1re 8837 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
5958a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
608, 59absltd 11912 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
6157, 60mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( abs `  x )  <  1 )
6256, 61ltned 8955 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( abs `  x )  =/=  1 )
6351a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  1  e.  CC )
6453adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  e.  CC )
6554adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
66 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
6765, 66sqr00d 11923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  =  0 )
68 subid 9067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  -  1 )  =  0 )
6951, 68mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
7067, 69eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  =  ( 1  -  1 ) )
7163, 64, 63, 70subcand 9198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  =  1 )
72 sq1 11198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
7371, 72syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
748adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  x  e.  RR )
75 sqabs 11792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( abs `  x
)  =  ( abs `  1 ) ) )
7674, 58, 75sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( ( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  x
)  =  ( abs `  1 ) ) )
7773, 76mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( abs `  x
)  =  ( abs `  1 ) )
78 abs1 11782 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
7977, 78syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( abs `  x
)  =  1 )
8079ex 423 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( abs `  x
)  =  1 ) )
8180necon3d 2484 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( abs `  x
)  =/=  1  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
8262, 81mpd 14 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
8352, 55, 82divnegd 9549 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
8450, 83syl5eqr 2329 . . 3  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
0  -  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
8584mpteq2ia 4102 . 2  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
8649, 85eqtri 2303 1  |-  ( RR 
_D  (arccos  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   (,)cioo 10656   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   picpi 12348   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377    _D cdv 19213  arcsincasin 20158  arccoscacos 20159
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-asin 20161  df-acos 20162
  Copyright terms: Public domain W3C validator