Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvreacos Structured version   Unicode version

Theorem dvreacos 26282
Description: Real derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvreacos  |-  ( RR 
_D  (arccos  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem dvreacos
StepHypRef Expression
1 acosf 20707 . . . . . . . 8  |- arccos : CC --> CC
21a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
-> arccos : CC --> CC )
3 ioossre 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
4 ax-resscn 9040 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3350 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  CC )
72, 6feqresmpt 5773 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  (arccos `  x )
) )
8 elioore 10939 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  RR )
98recnd 9107 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  CC )
10 acosval 20716 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (arccos `  x )  =  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (arccos `  x )  =  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )
1211mpteq2ia 4284 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arccos `  x ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) )
137, 12syl6eq 2484 . . . . 5  |-  (  T. 
->  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) )
1413oveq2d 6090 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) ) )
15 reex 9074 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
1615prid1 3905 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
1716a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
18 pire 20365 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
1918recni 9095 . . . . . . 7  |-  pi  e.  CC
20 2cn 10063 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
21 2ne0 10076 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
2219, 20, 21divcli 9749 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( pi  /  2
)  e.  CC )
24 0cn 9077 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
0  e.  CC )
2622a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
2724a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
2822a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( pi  /  2
)  e.  CC )
2917, 28dvmptc 19837 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( pi  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
303a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  RR )
31 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3231tgioo2 18827 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
33 iooretop 18793 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
3517, 26, 27, 29, 30, 32, 31, 34dvmptres 19842 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( pi  /  2
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  0 ) )
36 asincl 20706 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
379, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
3837adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
(arcsin `  x )  e.  CC )
39 ovex 6099 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
41 dvreasin 26281 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
42 asinf 20705 . . . . . . . . 9  |- arcsin : CC --> CC
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
-> arcsin : CC --> CC )
4443, 6feqresmpt 5773 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  (arcsin `  x )
) )
4544oveq2d 6090 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) 
|->  (arcsin `  x )
) ) )
4641, 45syl5reqr 2483 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  (arcsin `  x )
) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4717, 23, 25, 35, 38, 40, 46dvmptsub 19846 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4814, 47eqtrd 2468 . . 3  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4948trud 1332 . 2  |-  ( RR 
_D  (arccos  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 0  -  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
50 df-neg 9287 . . . 4  |-  -u (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 0  -  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
51 ax-1cn 9041 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5251a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  CC )
539sqcld 11514 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
5452, 53subcld 9404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
5554sqrcld 12232 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
569abscld 12231 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
57 eliooord 10963 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) )
58 1re 9083 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
608, 59absltd 12225 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
6157, 60mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( abs `  x )  <  1 )
6256, 61ltned 9202 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( abs `  x )  =/=  1 )
6351a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  1  e.  CC )
6453adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  e.  CC )
6554adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
66 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
6765, 66sqr00d 12236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  =  0 )
68 subid 9314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  -  1 )  =  0 )
6951, 68mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
7067, 69eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  =  ( 1  -  1 ) )
7163, 64, 63, 70subcand 9445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  =  1 )
72 sq1 11469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
7371, 72syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
748adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  x  e.  RR )
75 sqabs 12105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( abs `  x
)  =  ( abs `  1 ) ) )
7674, 58, 75sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( ( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  x
)  =  ( abs `  1 ) ) )
7773, 76mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( abs `  x
)  =  ( abs `  1 ) )
78 abs1 12095 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
7977, 78syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( abs `  x
)  =  1 )
8079ex 424 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( abs `  x
)  =  1 ) )
8180necon3d 2637 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( abs `  x
)  =/=  1  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
8262, 81mpd 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
8352, 55, 82divnegd 9796 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
8450, 83syl5eqr 2482 . . 3  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
0  -  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
8584mpteq2ia 4284 . 2  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
8649, 85eqtri 2456 1  |-  ( RR 
_D  (arccos  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   _Vcvv 2949    C_ wss 3313   {cpr 3808   class class class wbr 4205    e. cmpt 4259   ran crn 4872    |` cres 4873   -->wf 5443   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   CCcc 8981   RRcr 8982   0cc0 8983   1c1 8984    < clt 9113    - cmin 9284   -ucneg 9285    / cdiv 9670   2c2 10042   (,)cioo 10909   ^cexp 11375   sqrcsqr 12031   abscabs 12032   picpi 12662   TopOpenctopn 13642   topGenctg 13658  ℂfldccnfld 16696    _D cdv 19743  arcsincasin 20695  arccoscacos 20696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061  ax-addf 9062  ax-mulf 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-pm 7014  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-fi 7409  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-cda 8041  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-q 10568  df-rp 10606  df-xneg 10703  df-xadd 10704  df-xmul 10705  df-ioo 10913  df-ioc 10914  df-ico 10915  df-icc 10916  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-fl 11195  df-mod 11244  df-seq 11317  df-exp 11376  df-fac 11560  df-bc 11587  df-hash 11612  df-shft 11875  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-limsup 12258  df-clim 12275  df-rlim 12276  df-sum 12473  df-ef 12663  df-sin 12665  df-cos 12666  df-tan 12667  df-pi 12668  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-starv 13537  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-ple 13542  df-ds 13544  df-unif 13545  df-hom 13546  df-cco 13547  df-rest 13643  df-topn 13644  df-topgen 13660  df-pt 13661  df-prds 13664  df-xrs 13719  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-qtop 13726  df-imas 13727  df-xps 13729  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-mulg 14808  df-cntz 15109  df-cmn 15407  df-psmet 16687  df-xmet 16688  df-met 16689  df-bl 16690  df-mopn 16691  df-fbas 16692  df-fg 16693  df-cnfld 16697  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-topsp 16960  df-cld 17076  df-ntr 17077  df-cls 17078  df-nei 17155  df-lp 17193  df-perf 17194  df-cn 17284  df-cnp 17285  df-haus 17372  df-cmp 17443  df-tx 17587  df-hmeo 17780  df-fil 17871  df-fm 17963  df-flim 17964  df-flf 17965  df-xms 18343  df-ms 18344  df-tms 18345  df-cncf 18901  df-limc 19746  df-dv 19747  df-log 20447  df-cxp 20448  df-asin 20698  df-acos 20699
  Copyright terms: Public domain W3C validator