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Theorem dvreasin 26243
Description: Real derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvreasin  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem dvreasin
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 asinf 20702 . . . . . . 7  |- arcsin : CC --> CC
21a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
-> arcsin : CC --> CC )
3 ioossre 10962 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
4 ax-resscn 9037 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3349 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  CC )
72, 6feqresmpt 5772 . . . . 5  |-  (  T. 
->  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  (arcsin `  x )
) )
87trud 1332 . . . 4  |-  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  x ) )
9 elioore 10936 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  RR )
109recnd 9104 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  CC )
11 asinval 20712 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (arcsin `  x )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (arcsin `  x )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1312mpteq2ia 4283 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  x ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
148, 13eqtri 2455 . . 3  |-  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1514oveq2i 6084 . 2  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
16 reex 9071 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1716prid1 3904 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
1817a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
19 ax-icn 9039 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
21 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
2220, 21mulcld 9098 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
23 ax-1cn 9038 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
25 sqcl 11434 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
2624, 25subcld 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
2726sqrcld 12229 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2822, 27addcld 9097 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
29 asinlem 20698 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3028, 29logcld 20458 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3110, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3231adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
33 ovex 6098 . . . . 5  |-  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
35 cnex 9061 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3635prid2 3905 . . . . . . 7  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
3810, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
40 asinlem3 20701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
Re `  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
42 rere 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
4342breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  <->  0  <_  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4443adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( Re `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  <->  0  <_  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4541, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
4629adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
4739, 45, 46ne0gt0d 9200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
48 0re 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
5049, 39ltnled 9210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
5147, 50mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
)
5251ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
5310, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
54 imor 402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
5553, 54sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
5655orcomd 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )
5756olcd 383 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
58 3ianor 951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )  <->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
59 3orrot 942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/ 
-.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )
60 3orass 939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  <-> 
( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
6158, 59, 603bitrri 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  ( (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
62 mnfxr 10704 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e.  RR*
63 elioc2 10963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) ) )
6462, 48, 63mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
6561, 64xchbinxr 303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
6657, 65sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
6738, 66eldifd 3323 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
6867adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )
69 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
71 eldifi 3461 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  y  e.  CC )
72 eldifn 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  -.  y  e.  (  -oo (,] 0
) )
73 0xr 9121 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
74 mnflt 10712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
7548, 74ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  <  0
76 ubioc1 10955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  -oo  <  0 )  ->  0  e.  (  -oo (,] 0
) )
7762, 73, 75, 76mp3an 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  (  -oo (,] 0
)
78 eleq1 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  0  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
7977, 78mpbiri 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  y  e.  (  -oo (,] 0
) )
8079necon3bi 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  y  =/=  0 )
8172, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  y  =/=  0 )
8271, 81logcld 20458 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
8382adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
84 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
8584a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  /  y )  e. 
_V )
8610, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
8786adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( _i  x.  x
)  e.  CC )
8819a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  _i  e.  CC )
8910adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  x  e.  CC )
9023a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
1  e.  CC )
91 recn 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
9291adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
9323a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
9418dvmptid 19833 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
953a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  RR )
96 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9796tgioo2 18824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
98 iooretop 18790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9998a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
10018, 92, 93, 94, 95, 97, 96, 99dvmptres 19839 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  x ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  1 ) )
10119a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
10218, 89, 90, 100, 101dvmptcmul 19840 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
10319mulid1i 9082 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
104103mpteq2i 4284 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  _i )
105102, 104syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  _i ) )
10610, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
107106adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
108 ovex 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
109108a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( -u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
110 1re 9080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
1129resqcld 11539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
113111, 112resubcld 9455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
114110renegcli 9352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  RR
115114rexri 9127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  RR*
116110rexri 9127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
117 elioo2 10947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
118115, 116, 117mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) )
11991abscld 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
120110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  1  e.  RR )
12191absge0d 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
122 0le1 9541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  1 )
124119, 120, 121, 123lt2sqd 11547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
125 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
126125, 120absltd 12222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
127 absresq 12097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
128 sq1 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
130127, 129breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x ^ 2 )  <  1 ) )
131 resqcl 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
132131, 120posdifd 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
133130, 132bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
134124, 126, 1333bitr3d 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  <->  0  <  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
135134biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  ->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
1361353impib 1151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 )  -> 
0  <  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )
137118, 136sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )
138113, 137elrpd 10636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
139138adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
140 negex 9294 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  x.  x )  e.  _V
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  -u ( 2  x.  x
)  e.  _V )
142 rpcn 10610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
143142sqrcld 12229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
144143adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
145 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V
146145a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V )
14723a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  1  e.  CC )
14891sqcld 11511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
149147, 148subcld 9401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
150149adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
151140a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  _V )
15248a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
15323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
15418, 153dvmptc 19834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
155148adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
156 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  x )  e. 
_V
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
2  x.  x )  e.  _V )
15896cnfldtopon 18807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
159 toponmax 16983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
160158, 159mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
161 df-ss 3326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
1624, 161mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
i^i  CC )  =  RR
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
16425adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
165156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
2  x.  x )  e.  _V )
166 2nn 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN
167 dvexp 19829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
168166, 167ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) )
169 2m1e1 10085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  -  1 )  =  1
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  -  1 )  =  1 )
171170oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( x ^
1 ) )
172 exp1 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
173171, 172eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  x )
174173oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( x ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
175174mpteq2ia 4283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
176168, 175eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) ) )
17896, 18, 160, 163, 164, 165, 177dvmptres3 19832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 2  x.  x ) ) )
17918, 93, 152, 154, 155, 157, 178dvmptsub 19843 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) ) )
180 df-neg 9284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
2  x.  x )  =  ( 0  -  ( 2  x.  x
) )
181180mpteq2i 4284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  -u (
2  x.  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) )
182179, 181syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( 2  x.  x
) ) )
18318, 150, 151, 182, 95, 97, 96, 99dvmptres 19839 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  -u ( 2  x.  x ) ) )
184 dvsqr 20618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR+  |->  ( sqr `  y
) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR+  |->  ( sqr `  y ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) )
186 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
187186oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
2  x.  ( sqr `  y ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
188187oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
18918, 18, 139, 141, 144, 146, 183, 185, 186, 188dvmptco 19848 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x
) ) ) )
190 2cn 10060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
191190a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  e.  CC )
192191, 10mulneg2d 9477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  -u x
)  =  -u (
2  x.  x ) )
193192oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( 2  x.  x )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
19410negcld 9388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u x  e.  CC )
195 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  x  =  1 )
196 ubioo 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  1  e.  ( -u 1 (,) 1 )
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  -.  1  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
198195, 197eqneltrd 2528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
199198con2i 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  x  =  1 )
200 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  =  -u 1 )
201 lbioo 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  -u 1  e.  ( -u 1 (,) 1 )
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u 1  ->  -.  -u 1  e.  ( -u
1 (,) 1 ) )
203200, 202eqneltrd 2528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  -u 1  ->  -.  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
204203con2i 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  x  =  -u 1 )
205 ioran 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  <->  ( -.  x  =  1  /\  -.  x  =  -u 1
) )
206199, 204, 205sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
) )
20723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  1  e.  CC )
20810sqcld 11511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
209208adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  e.  CC )
210207, 209subcld 9401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
211 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
212210, 211sqr00d 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  =  0 )
213207, 209, 212subeq0d 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  1  =  ( x ^ 2 ) )
214128, 213syl5req 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
215214ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) ) )
216 sqeqor 11485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
21710, 23, 216sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1 ) ) )
218215, 217sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
219218necon3bd 2635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
220206, 219mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
221 2ne0 10073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  =/=  0 )
223194, 106, 191, 220, 222divcan5d 9806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
224191, 10mulcld 9098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
225224negcld 9388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
226190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  2  e.  CC )
227226, 27mulcld 9098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
22810, 227syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
229191, 106, 222, 220mulne0d 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
230225, 228, 229divrec2d 9784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u ( 2  x.  x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u (
2  x.  x ) ) )
231193, 223, 2303eqtr3rd 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
232231mpteq2ia 4283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
233189, 232syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
23418, 87, 88, 105, 107, 109, 233dvmptadd 19836 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
23519a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  _i  e.  CC )
236235, 106mulcld 9098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
237236, 194, 106, 220divdird 9818 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
238 ixi 9641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  _i )  =  -u 1 )
240239oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( -u 1  x.  x ) )
24120, 20, 21mulassd 9101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
242 mulm1 9465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
243240, 241, 2423eqtr3rd 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
24410, 243syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u x  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
245244oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
246236, 194addcomd 9258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
247235, 86, 106adddid 9102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
248245, 246, 2473eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
249248oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
250235, 106, 220divcan4d 9786 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  _i )
251250oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  +  (
-u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
252237, 249, 2513eqtr3rd 2476 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
253252mpteq2ia 4283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
254234, 253syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
255 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
256255dvlog 20532 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  / 
y ) )
257 logf1o 20452 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
258 f1of 5666 . . . . . . . . . 10  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
259257, 258mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
260 snssi 3934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 ) )
26177, 260ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 )
262 sscon 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 )  -> 
( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
263261, 262mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
264259, 263feqresmpt 5772 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
|->  ( log `  y
) ) )
265264oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) ) )
266256, 265syl5reqr 2482 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  y ) ) )
267 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
268 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )
26918, 37, 68, 70, 83, 85, 254, 266, 267, 268dvmptco 19848 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
27028, 29reccld 9773 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
27110, 270syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
272235, 38mulcld 9098 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
273271, 272, 106, 220divassd 9815 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
27410, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
275272, 38, 274divrec2d 9784 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
276235, 38, 274divcan4d 9786 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  _i )
277275, 276eqtr3d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  _i )
278277oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
279273, 278eqtr3d 2469 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
280279mpteq2ia 4283 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
281269, 280syl6eq 2483 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
28219negcli 9358 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
283282a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  -u _i  e.  CC )
28418, 32, 34, 281, 283dvmptcmul 19840 . . 3  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
285284trud 1332 . 2  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
286282a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u _i  e.  CC )
287286, 235, 106, 220divassd 9815 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
28819, 19mulneg1i 9469 . . . . . . 7  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
289238negeqi 9289 . . . . . . 7  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
29023negnegi 9360 . . . . . . 7  |-  -u -u 1  =  1
291288, 289, 2903eqtri 2459 . . . . . 6  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
292291a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u _i  x.  _i )  =  1 )
293292oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
294287, 293eqtr3d 2469 . . 3  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u _i  x.  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
295294mpteq2ia 4283 . 2  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( _i  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
29615, 285, 2953eqtri 2459 1  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   {csn 3806   {cpr 3807   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ran crn 4871    |` cres 4872   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981   _ici 8982    + caddc 8983    x. cmul 8985    -oocmnf 9108   RR*cxr 9109    < clt 9110    <_ cle 9111    - cmin 9281   -ucneg 9282    / cdiv 9667   NNcn 9990   2c2 10039   RR+crp 10602   (,)cioo 10906   (,]cioc 10907   ^cexp 11372   Recre 11892   sqrcsqr 12028   abscabs 12029   TopOpenctopn 13639   topGenctg 13655  ℂfldccnfld 16693  TopOnctopon 16949    _D cdv 19740   logclog 20442  arcsincasin 20692
This theorem is referenced by:  dvreacos  26244  areacirclem2  26245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ioc 10911  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-ef 12660  df-sin 12662  df-cos 12663  df-tan 12664  df-pi 12665  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-cmp 17440  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744  df-log 20444  df-cxp 20445  df-asin 20695
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