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Theorem dvreasin 25982
Description: Real derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvreasin  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem dvreasin
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 asinf 20581 . . . . . . 7  |- arcsin : CC --> CC
21a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
-> arcsin : CC --> CC )
3 ioossre 10906 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
4 ax-resscn 8982 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3302 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  CC )
72, 6feqresmpt 5721 . . . . 5  |-  (  T. 
->  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  (arcsin `  x )
) )
87trud 1329 . . . 4  |-  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  x ) )
9 elioore 10880 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  RR )
109recnd 9049 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  CC )
11 asinval 20591 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (arcsin `  x )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (arcsin `  x )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1312mpteq2ia 4234 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  x ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
148, 13eqtri 2409 . . 3  |-  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1514oveq2i 6033 . 2  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
16 reex 9016 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1716prid1 3857 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
1817a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
19 ax-icn 8984 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
21 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
2220, 21mulcld 9043 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
23 ax-1cn 8983 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
25 sqcl 11373 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
2624, 25subcld 9345 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
2726sqrcld 12168 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2822, 27addcld 9042 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
29 asinlem 20577 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3028, 29logcld 20337 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3110, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3231adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
33 ovex 6047 . . . . 5  |-  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
35 cnex 9006 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3635prid2 3858 . . . . . . 7  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
3810, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
40 asinlem3 20580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
Re `  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
42 rere 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
4342breq2d 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  <->  0  <_  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4443adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( Re `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  <->  0  <_  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4541, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
4629adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
4739, 45, 46ne0gt0d 9144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
48 0re 9026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
5049, 39ltnled 9154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
5147, 50mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
)
5251ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
5310, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
54 imor 402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
5553, 54sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
5655orcomd 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )
5756olcd 383 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
58 3ianor 951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )  <->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
59 3orrot 942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/ 
-.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )
60 3orass 939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  <-> 
( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
6158, 59, 603bitrri 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  ( (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
62 mnfxr 10648 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e.  RR*
63 elioc2 10907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) ) )
6462, 48, 63mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
6561, 64xchbinxr 303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
6657, 65sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
6738, 66eldifd 3276 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
6867adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )
69 ovex 6047 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
71 eldifi 3414 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  y  e.  CC )
72 eldifn 3415 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  -.  y  e.  (  -oo (,] 0
) )
73 0xr 9066 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
74 mnflt 10656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
7548, 74ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  <  0
76 ubioc1 10899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  -oo  <  0 )  ->  0  e.  (  -oo (,] 0
) )
7762, 73, 75, 76mp3an 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  (  -oo (,] 0
)
78 eleq1 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  0  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
7977, 78mpbiri 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  y  e.  (  -oo (,] 0
) )
8079necon3bi 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  y  =/=  0 )
8172, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  y  =/=  0 )
8271, 81logcld 20337 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
8382adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
84 ovex 6047 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
8584a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  /  y )  e. 
_V )
8610, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
8786adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( _i  x.  x
)  e.  CC )
8819a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  _i  e.  CC )
8910adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  x  e.  CC )
9023a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
1  e.  CC )
91 recn 9015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
9291adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
9323a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
9418dvmptid 19712 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
953a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  RR )
96 eqid 2389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9796tgioo2 18707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
98 iooretop 18673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9998a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
10018, 92, 93, 94, 95, 97, 96, 99dvmptres 19718 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  x ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  1 ) )
10119a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
10218, 89, 90, 100, 101dvmptcmul 19719 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
10319mulid1i 9027 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
104103mpteq2i 4235 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  _i )
105102, 104syl6eq 2437 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  _i ) )
10610, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
107106adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
108 ovex 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
109108a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( -u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
110 1re 9025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
1129resqcld 11478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
113111, 112resubcld 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
114110renegcli 9296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  RR
115114rexri 9072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  RR*
116110rexri 9072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
117 elioo2 10891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
118115, 116, 117mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) )
11991abscld 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
120110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  1  e.  RR )
12191absge0d 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
122 0le1 9485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  1 )
124119, 120, 121, 123lt2sqd 11486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
125 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
126125, 120absltd 12161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
127 absresq 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
128 sq1 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
130127, 129breq12d 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x ^ 2 )  <  1 ) )
131 resqcl 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
132131, 120posdifd 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
133130, 132bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
134124, 126, 1333bitr3d 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  <->  0  <  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
135134biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  ->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
1361353impib 1151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 )  -> 
0  <  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )
137118, 136sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )
138113, 137elrpd 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
139138adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
140 negex 9238 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  x.  x )  e.  _V
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  -u ( 2  x.  x
)  e.  _V )
142 rpcn 10554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
143142sqrcld 12168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
144143adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
145 ovex 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V
146145a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V )
14723a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  1  e.  CC )
14891sqcld 11450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
149147, 148subcld 9345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
150149adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
151140a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  _V )
15248a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
15323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
15418, 153dvmptc 19713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
155148adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
156 ovex 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  x )  e. 
_V
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
2  x.  x )  e.  _V )
15896cnfldtopon 18690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
159 toponmax 16918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
160158, 159mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
161 df-ss 3279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
1624, 161mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
i^i  CC )  =  RR
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
16425adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
165156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
2  x.  x )  e.  _V )
166 2nn 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN
167 dvexp 19708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
168166, 167ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) )
169 2m1e1 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  -  1 )  =  1
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  -  1 )  =  1 )
171170oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( x ^
1 ) )
172 exp1 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
173171, 172eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  x )
174173oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( x ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
175174mpteq2ia 4234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
176168, 175eqtri 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) ) )
17896, 18, 160, 163, 164, 165, 177dvmptres3 19711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 2  x.  x ) ) )
17918, 93, 152, 154, 155, 157, 178dvmptsub 19722 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) ) )
180 df-neg 9228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
2  x.  x )  =  ( 0  -  ( 2  x.  x
) )
181180mpteq2i 4235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  -u (
2  x.  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) )
182179, 181syl6eqr 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( 2  x.  x
) ) )
18318, 150, 151, 182, 95, 97, 96, 99dvmptres 19718 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  -u ( 2  x.  x ) ) )
184 dvsqr 20497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR+  |->  ( sqr `  y
) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR+  |->  ( sqr `  y ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) )
186 fveq2 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
187186oveq2d 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
2  x.  ( sqr `  y ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
188187oveq2d 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
18918, 18, 139, 141, 144, 146, 183, 185, 186, 188dvmptco 19727 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x
) ) ) )
190 2cn 10004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
191190a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  e.  CC )
192191, 10mulneg2d 9421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  -u x
)  =  -u (
2  x.  x ) )
193192oveq1d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( 2  x.  x )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
19410negcld 9332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u x  e.  CC )
195 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  x  =  1 )
196 ubioo 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  1  e.  ( -u 1 (,) 1 )
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  -.  1  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
198195, 197eqneltrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
199198con2i 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  x  =  1 )
200 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  =  -u 1 )
201 lbioo 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  -u 1  e.  ( -u 1 (,) 1 )
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u 1  ->  -.  -u 1  e.  ( -u
1 (,) 1 ) )
203200, 202eqneltrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  -u 1  ->  -.  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
204203con2i 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  x  =  -u 1 )
205 ioran 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  <->  ( -.  x  =  1  /\  -.  x  =  -u 1
) )
206199, 204, 205sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
) )
20723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  1  e.  CC )
20810sqcld 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
209208adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  e.  CC )
210207, 209subcld 9345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
211 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
212210, 211sqr00d 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  =  0 )
213207, 209, 212subeq0d 9353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  1  =  ( x ^ 2 ) )
214128, 213syl5req 2434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
215214ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) ) )
216 sqeqor 11424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
21710, 23, 216sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1 ) ) )
218215, 217sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
219218necon3bd 2589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
220206, 219mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
221 2ne0 10017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  =/=  0 )
223194, 106, 191, 220, 222divcan5d 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
224191, 10mulcld 9043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
225224negcld 9332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
226190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  2  e.  CC )
227226, 27mulcld 9043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
22810, 227syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
229191, 106, 222, 220mulne0d 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
230225, 228, 229divrec2d 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u ( 2  x.  x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u (
2  x.  x ) ) )
231193, 223, 2303eqtr3rd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
232231mpteq2ia 4234 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
233189, 232syl6eq 2437 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
23418, 87, 88, 105, 107, 109, 233dvmptadd 19715 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
23519a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  _i  e.  CC )
236235, 106mulcld 9043 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
237236, 194, 106, 220divdird 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
238 ixi 9585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  _i )  =  -u 1 )
240239oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( -u 1  x.  x ) )
24120, 20, 21mulassd 9046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
242 mulm1 9409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
243240, 241, 2423eqtr3rd 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
24410, 243syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u x  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
245244oveq1d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
246236, 194addcomd 9202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
247235, 86, 106adddid 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
248245, 246, 2473eqtr4d 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
249248oveq1d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
250235, 106, 220divcan4d 9730 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  _i )
251250oveq1d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  +  (
-u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
252237, 249, 2513eqtr3rd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
253252mpteq2ia 4234 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
254234, 253syl6eq 2437 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
255 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
256255dvlog 20411 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  / 
y ) )
257 logf1o 20331 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
258 f1of 5616 . . . . . . . . . 10  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
259257, 258mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
260 snssi 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 ) )
26177, 260ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 )
262 sscon 3426 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 )  -> 
( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
263261, 262mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
264259, 263feqresmpt 5721 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
|->  ( log `  y
) ) )
265264oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) ) )
266256, 265syl5reqr 2436 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  y ) ) )
267 fveq2 5670 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
268 oveq2 6030 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )
26918, 37, 68, 70, 83, 85, 254, 266, 267, 268dvmptco 19727 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
27028, 29reccld 9717 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
27110, 270syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
272235, 38mulcld 9043 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
273271, 272, 106, 220divassd 9759 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
27410, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
275272, 38, 274divrec2d 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
276235, 38, 274divcan4d 9730 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  _i )
277275, 276eqtr3d 2423 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  _i )
278277oveq1d 6037 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
279273, 278eqtr3d 2423 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
280279mpteq2ia 4234 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
281269, 280syl6eq 2437 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
28219negcli 9302 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
283282a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  -u _i  e.  CC )
28418, 32, 34, 281, 283dvmptcmul 19719 . . 3  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
285284trud 1329 . 2  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
286282a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u _i  e.  CC )
287286, 235, 106, 220divassd 9759 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
28819, 19mulneg1i 9413 . . . . . . 7  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
289238negeqi 9233 . . . . . . 7  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
29023negnegi 9304 . . . . . . 7  |-  -u -u 1  =  1
291288, 289, 2903eqtri 2413 . . . . . 6  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
292291a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u _i  x.  _i )  =  1 )
293292oveq1d 6037 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
294287, 293eqtr3d 2423 . . 3  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u _i  x.  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
295294mpteq2ia 4234 . 2  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( _i  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
29615, 285, 2953eqtri 2413 1  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    i^i cin 3264    C_ wss 3265   {csn 3759   {cpr 3760   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ran crn 4821    |` cres 4822   -->wf 5392   -1-1-onto->wf1o 5395   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926   _ici 8927    + caddc 8928    x. cmul 8930    -oocmnf 9053   RR*cxr 9054    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225   -ucneg 9226    / cdiv 9611   NNcn 9934   2c2 9983   RR+crp 10546   (,)cioo 10850   (,]cioc 10851   ^cexp 11311   Recre 11831   sqrcsqr 11967   abscabs 11968   TopOpenctopn 13578   topGenctg 13594  ℂfldccnfld 16628  TopOnctopon 16884    _D cdv 19619   logclog 20321  arcsincasin 20571
This theorem is referenced by:  dvreacos  25983  areacirclem2  25984
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599  df-sin 12601  df-cos 12602  df-tan 12603  df-pi 12604  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-cmp 17374  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623  df-log 20323  df-cxp 20324  df-asin 20574
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