Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvreasin Unicode version

Theorem dvreasin 24923
Description: Real derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvreasin  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem dvreasin
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 asinf 20168 . . . . . . 7  |- arcsin : CC --> CC
21a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
-> arcsin : CC --> CC )
3 ioossre 10712 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
4 ax-resscn 8794 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3188 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC
65a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  CC )
72, 6feqresmpt 5576 . . . . 5  |-  (  T. 
->  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  (arcsin `  x )
) )
87trud 1314 . . . 4  |-  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  x ) )
9 elioore 10686 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  RR )
109recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  CC )
11 asinval 20178 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (arcsin `  x )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1210, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (arcsin `  x )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1312mpteq2ia 4102 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  x ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
148, 13eqtri 2303 . . 3  |-  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1514oveq2i 5869 . 2  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
16 reex 8828 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1716prid1 3734 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
1817a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
19 ax-icn 8796 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
2019a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
21 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
2220, 21mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
23 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
2423a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
25 sqcl 11166 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
2624, 25subcld 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
2726sqrcld 11919 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2822, 27addcld 8854 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
29 asinlem 20164 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3028, 29logcld 19928 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3110, 30syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3231adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
33 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
3433a1i 10 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
35 cnex 8818 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3635prid2 3735 . . . . . . 7  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
3736a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
3810, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
39 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
40 asinlem3 20167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
Re `  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
42 rere 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
4342breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  <->  0  <_  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( Re `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  <->  0  <_  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4541, 44mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
4629adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
4739, 45, 46ne0gt0d 8956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
48 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
4948a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
5049, 39ltnled 8966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
5147, 50mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
)
5251ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
5310, 52syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
54 imor 401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
5553, 54sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
5655orcomd 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )
5756olcd 382 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
58 3ianor 949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )  <->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
59 3orrot 940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/ 
-.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )
60 3orass 937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  <-> 
( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
6158, 59, 603bitrri 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  ( (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
62 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e.  RR*
63 elioc2 10713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) ) )
6462, 48, 63mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
6561, 64xchbinxr 302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
6657, 65sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
6738, 66eldifd 3163 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
6867adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )
69 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
7069a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
71 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  y  e.  CC )
72 eldifn 3299 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  -.  y  e.  (  -oo (,] 0
) )
73 0xr 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
74 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
7548, 74ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  <  0
76 ubioc1 10705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  -oo  <  0 )  ->  0  e.  (  -oo (,] 0
) )
7762, 73, 75, 76mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  (  -oo (,] 0
)
78 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  0  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
7977, 78mpbiri 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  y  e.  (  -oo (,] 0
) )
8079necon3bi 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  y  =/=  0 )
8172, 80syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  y  =/=  0 )
8271, 81logcld 19928 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
8382adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
84 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
8584a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  /  y )  e. 
_V )
8610, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
8786adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( _i  x.  x
)  e.  CC )
8819a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  _i  e.  CC )
8910adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  x  e.  CC )
9023a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
1  e.  CC )
91 recn 8827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
9291adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
9323a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
9418dvmptid 19306 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
953a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  RR )
96 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9796tgioo2 18309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
98 iooretop 18275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9998a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
10018, 92, 93, 94, 95, 97, 96, 99dvmptres 19312 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  x ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  1 ) )
10119a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
10218, 89, 90, 100, 101dvmptcmul 19313 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
10319mulid1i 8839 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
104103mpteq2i 4103 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  _i )
105102, 104syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  _i ) )
10610, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
107106adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
108 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
109108a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( -u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
110 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
111110a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
1129resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
113111, 112resubcld 9211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
114110renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  RR
115114rexri 8884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  RR*
116110rexri 8884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
117 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
118115, 116, 117mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) )
11991abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
120110a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  1  e.  RR )
12191absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
122 0le1 9297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  1
123122a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  1 )
124119, 120, 121, 123lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
125 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
126125, 120absltd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
127 absresq 11787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
128 sq1 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
129128a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
130127, 129breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x ^ 2 )  <  1 ) )
131 resqcl 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
132131, 120posdifd 9359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
133130, 132bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
134124, 126, 1333bitr3d 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  <->  0  <  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
135134biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  ->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
1361353impib 1149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 )  -> 
0  <  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )
137118, 136sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )
138113, 137elrpd 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
139138adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
140 negex 9050 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  x.  x )  e.  _V
141140a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  -u ( 2  x.  x
)  e.  _V )
142 rpcn 10362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
143142sqrcld 11919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
144143adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
145 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V
146145a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V )
14723a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  1  e.  CC )
14891sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
149147, 148subcld 9157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
150149adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
151140a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  _V )
15248a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
15323a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
15418, 153dvmptc 19307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
155148adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
156 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  x )  e. 
_V
157156a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
2  x.  x )  e.  _V )
15896cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
159 toponmax 16666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
160158, 159mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
161 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
1624, 161mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
i^i  CC )  =  RR
163162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
16425adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
165156a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
2  x.  x )  e.  _V )
166 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN
167 dvexp 19302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
168166, 167ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) )
169 2m1e1 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  -  1 )  =  1
170169a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  -  1 )  =  1 )
171170oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( x ^
1 ) )
172 exp1 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
173171, 172eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  x )
174173oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( x ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
175174mpteq2ia 4102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
176168, 175eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
177176a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) ) )
17896, 18, 160, 163, 164, 165, 177dvmptres3 19305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 2  x.  x ) ) )
17918, 93, 152, 154, 155, 157, 178dvmptsub 19316 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) ) )
180 df-neg 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
2  x.  x )  =  ( 0  -  ( 2  x.  x
) )
181180mpteq2i 4103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  -u (
2  x.  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) )
182179, 181syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( 2  x.  x
) ) )
18318, 150, 151, 182, 95, 97, 96, 99dvmptres 19312 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  -u ( 2  x.  x ) ) )
184 dvsqr 20084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR+  |->  ( sqr `  y
) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )
185184a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR+  |->  ( sqr `  y ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) )
186 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
187186oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
2  x.  ( sqr `  y ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
188187oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
18918, 18, 139, 141, 144, 146, 183, 185, 186, 188dvmptco 19321 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x
) ) ) )
190 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
191190a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  e.  CC )
192191, 10mulneg2d 9233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  -u x
)  =  -u (
2  x.  x ) )
193192oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( 2  x.  x )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
19410negcld 9144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u x  e.  CC )
195 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  x  =  1 )
196 ubioo 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  1  e.  ( -u 1 (,) 1 )
197196a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  -.  1  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
198195, 197eqneltrd 2376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
199198con2i 112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  x  =  1 )
200 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  =  -u 1 )
201 lbioo 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  -u 1  e.  ( -u 1 (,) 1 )
202201a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u 1  ->  -.  -u 1  e.  ( -u
1 (,) 1 ) )
203200, 202eqneltrd 2376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  -u 1  ->  -.  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
204203con2i 112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  x  =  -u 1 )
205 ioran 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  <->  ( -.  x  =  1  /\  -.  x  =  -u 1
) )
206199, 204, 205sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
) )
20723a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  1  e.  CC )
20810sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
209208adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  e.  CC )
210207, 209subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
211 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
212210, 211sqr00d 11923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  =  0 )
213207, 209, 212subeq0d 9165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  1  =  ( x ^ 2 ) )
214128, 213syl5req 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
215214ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) ) )
216 sqeqor 11217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
21710, 23, 216sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1 ) ) )
218215, 217sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
219218necon3bd 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
220206, 219mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
221 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
222221a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  =/=  0 )
223194, 106, 191, 220, 222divcan5d 9562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
224191, 10mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
225224negcld 9144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
226190a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  2  e.  CC )
227226, 27mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
22810, 227syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
229191, 106, 222, 220mulne0d 9420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
230225, 228, 229divrec2d 9540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u ( 2  x.  x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u (
2  x.  x ) ) )
231193, 223, 2303eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
232231mpteq2ia 4102 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
233189, 232syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
23418, 87, 88, 105, 107, 109, 233dvmptadd 19309 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
23519a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  _i  e.  CC )
236235, 106mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
237236, 194, 106, 220divdird 9574 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
238 ixi 9397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
239238a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  _i )  =  -u 1 )
240239oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( -u 1  x.  x ) )
24120, 20, 21mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
242 mulm1 9221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
243240, 241, 2423eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
24410, 243syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u x  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
245244oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
246236, 194addcomd 9014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
247235, 86, 106adddid 8859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
248245, 246, 2473eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
249248oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
250235, 106, 220divcan4d 9542 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  _i )
251250oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  +  (
-u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
252237, 249, 2513eqtr3rd 2324 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
253252mpteq2ia 4102 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
254234, 253syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
255 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
256255dvlog 19998 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  / 
y ) )
257 logf1o 19922 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
258 f1of 5472 . . . . . . . . . 10  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
259257, 258mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
260 snssi 3759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 ) )
26177, 260ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 )
262 sscon 3310 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 )  -> 
( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
263261, 262mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
264259, 263feqresmpt 5576 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
|->  ( log `  y
) ) )
265264oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) ) )
266256, 265syl5reqr 2330 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  y ) ) )
267 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
268 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )
26918, 37, 68, 70, 83, 85, 254, 266, 267, 268dvmptco 19321 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
27028, 29reccld 9529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
27110, 270syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
272235, 38mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
273271, 272, 106, 220divassd 9571 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
27410, 29syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
275272, 38, 274divrec2d 9540 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
276235, 38, 274divcan4d 9542 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  _i )
277275, 276eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  _i )
278277oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
279273, 278eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
280279mpteq2ia 4102 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
281269, 280syl6eq 2331 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
28219negcli 9114 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
283282a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  -u _i  e.  CC )
28418, 32, 34, 281, 283dvmptcmul 19313 . . 3  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
285284trud 1314 . 2  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
286282a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u _i  e.  CC )
287286, 235, 106, 220divassd 9571 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
28819, 19mulneg1i 9225 . . . . . . 7  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
289238negeqi 9045 . . . . . . 7  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
29023negnegi 9116 . . . . . . 7  |-  -u -u 1  =  1
291288, 289, 2903eqtri 2307 . . . . . 6  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
292291a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u _i  x.  _i )  =  1 )
293292oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
294287, 293eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u _i  x.  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
295294mpteq2ia 4102 . 2  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( _i  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
29615, 285, 2953eqtri 2307 1  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   (,]cioc 10657   ^cexp 11104   Recre 11582   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    _D cdv 19213   logclog 19912  arcsincasin 20158
This theorem is referenced by:  dvreacos  24924  areacirclem2  24925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-asin 20161
  Copyright terms: Public domain W3C validator