MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrec Unicode version

Theorem dvrec 19304
Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvrec  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dvrec
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 19258 . . . 4  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC
2 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
32a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
4 eldifsn 3749 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
5 divcl 9430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
653expb 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
74, 6sylan2b 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
8 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) )
97, 8fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
10 difss 3303 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
1110a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )
123, 9, 11dvbss 19251 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
13 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
14 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1514cnfldtop 18293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
1614cnfldhaus 18294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
17 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
1814cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1918toponunii 16670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2019sncld 17099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  0  e.  CC )  ->  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2116, 17, 20mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
2219cldopn 16768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 0 }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
24 isopn3i 16819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( CC  \  {
0 } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( CC  \  { 0 } ) )
2515, 23, 24mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( CC 
\  { 0 } )
2613, 25syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
27 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  e.  CC )
2827adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  CC )
2928sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  ( y  x.  y
) )
3029oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( A  /  (
y  x.  y ) ) )
31 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  A  e.  CC )
32 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
3332adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  =/=  0 )
3431, 28, 28, 33, 33divdiv1d 9567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( A  /  y )  / 
y )  =  ( A  /  ( y  x.  y ) ) )
3530, 34eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( ( A  / 
y )  /  y
) )
3635negeqd 9046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  = 
-u ( ( A  /  y )  / 
y ) )
3731, 28, 33divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  y )  e.  CC )
3837, 28, 33divnegd 9549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( ( A  /  y )  /  y )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
3936, 38eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
4037negcld 9144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  y )  e.  CC )
41 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  =  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )
4241cdivcncf 18420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( A  /  y
)  e.  CC  ->  ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
4340, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  e.  ( ( CC  \  {
0 } ) -cn-> CC ) )
44 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( -u ( A  /  y
)  /  z )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
4543, 13, 44cnmptlimc 19240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( -u ( A  /  y )  / 
y )  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) lim CC  y ) )
4639, 45eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) lim CC  y
) )
47 cncff 18397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC )  ->  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
4843, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
4948limcdif 19226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) lim CC  y )  =  ( ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) ) lim CC  y ) )
50 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  ->  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
5150adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
5210, 51sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  e.  CC )
5327ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  y  e.  CC )
5452, 53subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  -  y )  e.  CC )
5537adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( A  /  y )  e.  CC )
56 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  =/=  0
)
5751, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  =/=  0 )
5855, 52, 57divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( A  /  y
)  /  z )  e.  CC )
59 mulneg12 9218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  -  y
)  e.  CC  /\  ( ( A  / 
y )  /  z
)  e.  CC )  ->  ( -u (
z  -  y )  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  -u (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
6054, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  -u ( ( A  / 
y )  /  z
) ) )
6153, 52, 58subdird 9236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  -  z
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( y  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) )  -  ( z  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) ) )
6252, 53negsubdi2d 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u (
z  -  y )  =  ( y  -  z ) )
6362oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( y  -  z )  x.  ( ( A  / 
y )  /  z
) ) )
64 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  ( A  /  x )  =  ( A  /  z
) )
65 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  /  z )  e. 
_V
6664, 8, 65fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  =  ( A  /  z ) )
6751, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  =  ( A  /  z
) )
68 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  A  e.  CC )
6932ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  y  =/=  0 )
7068, 53, 69divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
y  x.  ( A  /  y ) )  =  A )
7170oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  x.  ( A  /  y ) )  /  z )  =  ( A  /  z
) )
7253, 55, 52, 57divassd 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  x.  ( A  /  y ) )  /  z )  =  ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
7367, 71, 723eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  =  ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
74 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  y  ->  ( A  /  x )  =  ( A  /  y
) )
75 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  /  y )  e. 
_V
7674, 8, 75fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
)  =  ( A  /  y ) )
7776ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y )  =  ( A  /  y
) )
7855, 52, 57divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( A  / 
y ) )
7977, 78eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y )  =  ( z  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
8073, 79oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  =  ( ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) )  -  ( z  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) ) ) )
8161, 63, 803eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) ) )
8255, 52, 57divnegd 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u (
( A  /  y
)  /  z )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )
8382oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( z  -  y
)  x.  -u (
( A  /  y
)  /  z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) )
8460, 81, 833eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  =  ( ( z  -  y
)  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) )
8584oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) )  =  ( ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )  /  ( z  -  y ) ) )
8685idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) )  =  ( ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )  /  ( z  -  y ) ) )
8755negcld 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u ( A  /  y )  e.  CC )
8887, 52, 57divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( A  /  y
)  /  z )  e.  CC )
8988idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( A  /  y
)  /  z )  e.  CC )
9052idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  e.  CC )
9153idi 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  y  e.  CC )
9290, 91subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  -  y )  e.  CC )
93 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  ->  z  =/=  y )
9493adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  =/=  y )
95 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( z  -  y )  =  0  <-> 
z  =  y ) )
9652, 53, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( z  -  y
)  =  0  <->  z  =  y ) )
9796necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( z  -  y
)  =/=  0  <->  z  =/=  y ) )
9894, 97mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  -  y )  =/=  0 )
9989, 92, 98divcan3d 9541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )  /  ( z  -  y ) )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )
10086, 99eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) )  =  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )
101100mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) )  =  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) )
102 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  C_  ( CC  \  { 0 } )
103 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) 
C_  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) )
104102, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )
105101, 104syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) )  =  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) ) )
106105oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) ) ) lim CC  y )  =  ( ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) ) lim CC  y ) )
10749, 106eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) lim CC  y )  =  ( ( z  e.  ( ( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) 
|->  ( ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim
CC  y ) )
10846, 107eleqtrd 2359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim CC  y ) )
10919restid 13338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
11015, 109ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
111110eqcomi 2287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
112 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  /  (
z  -  y ) ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) ) )
1132a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  CC  C_  CC )
1149adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC )
11510a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( CC  \  { 0 } ) 
C_  CC )
116111, 14, 112, 113, 114, 115eldv 19248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y
( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) )  <->  ( y  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) )  /\  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim CC  y ) ) ) )
11726, 108, 116mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) )
118 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
119 negex 9050 . . . . . . . . . 10  |-  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e. 
_V
120118, 119breldm 4883 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
121117, 120syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
122121ex 423 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) ) )
123122ssrdv 3185 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  dom  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
12412, 123eqssd 3196 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( CC  \  { 0 } ) )
125124feq2d 5380 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : dom  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC  <->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC ) )
1261, 125mpbii 202 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
127 ffn 5389 . . 3  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC 
->  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
128126, 127syl 15 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
129 negex 9050 . . . 4  |-  -u ( A  /  ( x ^
2 ) )  e. 
_V
130129rgenw 2610 . . 3  |-  A. x  e.  ( CC  \  {
0 } ) -u ( A  /  (
x ^ 2 ) )  e.  _V
131 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) )
132131fnmpt 5370 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( CC  \  { 0 } )
-u ( A  / 
( x ^ 2 ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
133130, 132mp1i 11 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) )  Fn  ( CC  \  {
0 } ) )
134 ffun 5391 . . . . 5  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) : dom  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC  ->  Fun  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
1351, 134mp1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  Fun  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
136 funbrfv 5561 . . . 4  |-  ( Fun  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  ->  ( y ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) -u ( A  /  (
y ^ 2 ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) ) )
137135, 117, 136sylc 56 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) )
138 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
139138oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  /  ( x ^
2 ) )  =  ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
140139negeqd 9046 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) )  = 
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) ) )
141140, 131, 119fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y )  =  -u ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
142141adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y )  =  -u ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
143137, 142eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y ) )
144128, 133, 143eqfnfvd 5625 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    |` cres 4691   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   ^cexp 11104   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631   Clsdccld 16753   intcnt 16754   Hauscha 17036   -cn->ccncf 18380   lim CC climc 19212    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvexp3  19325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-t1 17042  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator