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Theorem dvres2lem 19260
Description: Lemma for dvres2 19262. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvres.t  |-  T  =  ( Kt  S )
dvres.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
dvres.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvres.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvres.b  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
dvres.y  |-  ( ph  ->  y  e.  CC )
dvres2lem.d  |-  ( ph  ->  x ( S  _D  F ) y )
dvres2lem.x  |-  ( ph  ->  x  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dvres2lem  |-  ( ph  ->  x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, F, y, z    x, S, y, z    x, T, y, z    z, K    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    G( x, y, z)    K( x, y)

Proof of Theorem dvres2lem
StepHypRef Expression
1 dvres.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( Kt  S )
2 dvres.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtop 18293 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
4 dvres.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 cnex 8818 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
6 ssexg 4160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
8 resttop 16891 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
93, 7, 8sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
101, 9syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
11 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
12 dvres.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
1311, 12syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  S )
142cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 16892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 4, 15sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
171, 16syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (TopOn `  S ) )
18 toponuni 16665 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. T )
1917, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. T
)
2013, 19sseqtrd 3214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  U. T )
21 difss 3303 . . . . . . . 8  |-  ( U. T  \  B )  C_  U. T
2221a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. T  \  B )  C_  U. T
)
2320, 22unssd 3351 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) 
C_  U. T )
24 inundif 3532 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
2512, 19sseqtrd 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. T )
26 ssdif 3311 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  U. T  ->  ( A  \  B )  C_  ( U. T  \  B
) )
27 unss2 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  B ) 
C_  ( U. T  \  B )  ->  (
( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
2924, 28syl5eqssr 3223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
30 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. T  =  U. T
3130ntrss 16792 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) 
C_  U. T  /\  A  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  ->  ( ( int `  T ) `  A )  C_  (
( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
3210, 23, 29, 31syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  A )  C_  ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
33 dvres2lem.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  x ( S  _D  F ) y )
34 dvres.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
35 dvres.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
361, 2, 34, 4, 35, 12eldv 19248 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
3733, 36mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) )
3837simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  T ) `
 A ) )
3932, 38sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  T ) `
 ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
40 dvres2lem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  x  e.  B )
41 elin 3358 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( ( int `  T ) `
 ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B )  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  /\  x  e.  B
) )
4239, 40, 41sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
43 dvres.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
4443, 19sseqtrd 3214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U. T )
45 inss2 3390 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
4645a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  B )
47 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Tt  B )  =  ( Tt  B )
4830, 47restntr 16912 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Top  /\  B  C_  U. T  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  B )  -> 
( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
4910, 44, 46, 48syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
501oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( Tt  B )  =  ( ( Kt  S )t  B )
513a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
52 restabs 16896 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Kt  S )t  B )  =  ( Kt  B ) )
5351, 43, 7, 52syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  S )t  B )  =  ( Kt  B ) )
5450, 53syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Tt  B )  =  ( Kt  B ) )
5554fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Tt  B ) )  =  ( int `  ( Kt  B ) ) )
5655fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
5749, 56eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  T ) `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B )  =  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
5842, 57eleqtrd 2359 . 2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
59 limcresi 19235 . . . 4  |-  ( G lim
CC  x )  C_  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x )
6037simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  ( G lim
CC  x ) )
6159, 60sseldi 3178 . . 3  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x ) )
62 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  ( A  i^i  B )
6362, 45sstri 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  B
6463sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  ->  z  e.  B
)
65 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
66 fvres 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
6740, 66syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
6865, 67oveqan12rd 5878 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
) )
6968oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) )  =  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) )
7064, 69sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) )  =  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7170mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
7234reseq1i 4951 . . . . . 6  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )
73 ssdif 3311 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  A  ->  (
( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
) )
74 resmpt 5000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
)  ->  ( (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
7511, 73, 74mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7672, 75eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7771, 76syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( G  |`  (
( A  i^i  B
)  \  { x } ) ) )
7877oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x )  =  ( ( G  |`  (
( A  i^i  B
)  \  { x } ) ) lim CC  x ) )
7961, 78eleqtrrd 2360 . 2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )
80 eqid 2283 . . 3  |-  ( Kt  B )  =  ( Kt  B )
81 eqid 2283 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )
8243, 4sstrd 3189 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
83 fresin 5410 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
8435, 83syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
8580, 2, 81, 82, 84, 46eldv 19248 . 2  |-  ( ph  ->  ( x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x ) ) ) )
8658, 79, 85mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735    - cmin 9037    / cdiv 9423   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   intcnt 16754   lim CC climc 19212    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvres2  19262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-cnp 16958  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216  df-dv 19217
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