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Theorem dvres2lem 19313
Description: Lemma for dvres2 19315. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvres.t  |-  T  =  ( Kt  S )
dvres.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
dvres.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvres.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvres.b  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
dvres.y  |-  ( ph  ->  y  e.  CC )
dvres2lem.d  |-  ( ph  ->  x ( S  _D  F ) y )
dvres2lem.x  |-  ( ph  ->  x  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dvres2lem  |-  ( ph  ->  x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, F, y, z    x, S, y, z    x, T, y, z    z, K    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    G( x, y, z)    K( x, y)

Proof of Theorem dvres2lem
StepHypRef Expression
1 dvres.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( Kt  S )
2 dvres.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtop 18345 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
4 dvres.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 cnex 8863 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
6 ssexg 4197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
8 resttop 16947 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
93, 7, 8sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
101, 9syl5eqel 2400 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
11 inss1 3423 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
12 dvres.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
1311, 12syl5ss 3224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  S )
142cnfldtopon 18344 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 16948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 4, 15sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
171, 16syl5eqel 2400 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (TopOn `  S ) )
18 toponuni 16721 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. T )
1917, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. T
)
2013, 19sseqtrd 3248 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  U. T )
21 difss 3337 . . . . . . . 8  |-  ( U. T  \  B )  C_  U. T
2221a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. T  \  B )  C_  U. T
)
2320, 22unssd 3385 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) 
C_  U. T )
24 inundif 3566 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
2512, 19sseqtrd 3248 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. T )
26 ssdif 3345 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  U. T  ->  ( A  \  B )  C_  ( U. T  \  B
) )
27 unss2 3380 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  B ) 
C_  ( U. T  \  B )  ->  (
( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
2924, 28syl5eqssr 3257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
30 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  U. T  =  U. T
3130ntrss 16848 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) 
C_  U. T  /\  A  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  ->  ( ( int `  T ) `  A )  C_  (
( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
3210, 23, 29, 31syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  A )  C_  ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
33 dvres2lem.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  x ( S  _D  F ) y )
34 dvres.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
35 dvres.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
361, 2, 34, 4, 35, 12eldv 19301 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
3733, 36mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) )
3837simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  T ) `
 A ) )
3932, 38sseldd 3215 . . . 4  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  T ) `
 ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
40 dvres2lem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  x  e.  B )
41 elin 3392 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( ( int `  T ) `
 ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B )  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  /\  x  e.  B
) )
4239, 40, 41sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
43 dvres.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
4443, 19sseqtrd 3248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U. T )
45 inss2 3424 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
4645a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  B )
47 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( Tt  B )  =  ( Tt  B )
4830, 47restntr 16968 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Top  /\  B  C_  U. T  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  B )  -> 
( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
4910, 44, 46, 48syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
501oveq1i 5910 . . . . . . 7  |-  ( Tt  B )  =  ( ( Kt  S )t  B )
513a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
52 restabs 16952 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Kt  S )t  B )  =  ( Kt  B ) )
5351, 43, 7, 52syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  S )t  B )  =  ( Kt  B ) )
5450, 53syl5eq 2360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Tt  B )  =  ( Kt  B ) )
5554fveq2d 5567 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Tt  B ) )  =  ( int `  ( Kt  B ) ) )
5655fveq1d 5565 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
5749, 56eqtr3d 2350 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  T ) `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B )  =  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
5842, 57eleqtrd 2392 . 2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
59 limcresi 19288 . . . 4  |-  ( G lim
CC  x )  C_  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x )
6037simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  ( G lim
CC  x ) )
6159, 60sseldi 3212 . . 3  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x ) )
62 difss 3337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  ( A  i^i  B )
6362, 45sstri 3222 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  B
6463sseli 3210 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  ->  z  e.  B
)
65 fvres 5580 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
66 fvres 5580 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
6740, 66syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
6865, 67oveqan12rd 5920 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
) )
6968oveq1d 5915 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) )  =  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) )
7064, 69sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) )  =  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7170mpteq2dva 4143 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
7234reseq1i 4988 . . . . . 6  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )
73 ssdif 3345 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  A  ->  (
( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
) )
74 resmpt 5037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
)  ->  ( (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
7511, 73, 74mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7672, 75eqtri 2336 . . . . 5  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7771, 76syl6eqr 2366 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( G  |`  (
( A  i^i  B
)  \  { x } ) ) )
7877oveq1d 5915 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x )  =  ( ( G  |`  (
( A  i^i  B
)  \  { x } ) ) lim CC  x ) )
7961, 78eleqtrrd 2393 . 2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )
80 eqid 2316 . . 3  |-  ( Kt  B )  =  ( Kt  B )
81 eqid 2316 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )
8243, 4sstrd 3223 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
83 fresin 5448 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
8435, 83syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
8580, 2, 81, 82, 84, 46eldv 19301 . 2  |-  ( ph  ->  ( x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x ) ) ) )
8658, 79, 85mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    \ cdif 3183    u. cun 3184    i^i cin 3185    C_ wss 3186   {csn 3674   U.cuni 3864   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    |` cres 4728   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780    - cmin 9082    / cdiv 9468   ↾t crest 13374   TopOpenctopn 13375  ℂfldccnfld 16432   Topctop 16687  TopOnctopon 16688   intcnt 16810   lim CC climc 19265    _D cdv 19266
This theorem is referenced by:  dvres2  19315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-fz 10830  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-cnp 17014  df-xms 17937  df-ms 17938  df-limc 19269  df-dv 19270
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