MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres2lem Structured version   Unicode version

Theorem dvres2lem 19799
Description: Lemma for dvres2 19801. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvres.t  |-  T  =  ( Kt  S )
dvres.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
dvres.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvres.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvres.b  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
dvres.y  |-  ( ph  ->  y  e.  CC )
dvres2lem.d  |-  ( ph  ->  x ( S  _D  F ) y )
dvres2lem.x  |-  ( ph  ->  x  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dvres2lem  |-  ( ph  ->  x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, F, y, z    x, S, y, z    x, T, y, z    z, K    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    G( x, y, z)    K( x, y)

Proof of Theorem dvres2lem
StepHypRef Expression
1 dvres.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( Kt  S )
2 dvres.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtop 18820 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
4 dvres.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 cnex 9073 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
6 ssexg 4351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
8 resttop 17226 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
93, 7, 8sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
101, 9syl5eqel 2522 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
11 inss1 3563 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
12 dvres.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
1311, 12syl5ss 3361 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  S )
142cnfldtopon 18819 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 17227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 4, 15sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
171, 16syl5eqel 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (TopOn `  S ) )
18 toponuni 16994 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. T )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. T
)
2013, 19sseqtrd 3386 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  U. T )
21 difssd 3477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. T  \  B )  C_  U. T
)
2220, 21unssd 3525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) 
C_  U. T )
23 inundif 3708 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
2412, 19sseqtrd 3386 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. T )
25 ssdif 3484 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  U. T  ->  ( A  \  B )  C_  ( U. T  \  B
) )
26 unss2 3520 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  B ) 
C_  ( U. T  \  B )  ->  (
( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
2724, 25, 263syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
2823, 27syl5eqssr 3395 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
29 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U. T  =  U. T
3029ntrss 17121 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) 
C_  U. T  /\  A  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  ->  ( ( int `  T ) `  A )  C_  (
( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
3110, 22, 28, 30syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  A )  C_  ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
32 dvres2lem.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  x ( S  _D  F ) y )
33 dvres.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
34 dvres.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
351, 2, 33, 4, 34, 12eldv 19787 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
3632, 35mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) )
3736simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  T ) `
 A ) )
3831, 37sseldd 3351 . . . 4  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  T ) `
 ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
39 dvres2lem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  x  e.  B )
40 elin 3532 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( ( int `  T ) `
 ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B )  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  /\  x  e.  B
) )
4138, 39, 40sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
42 dvres.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
4342, 19sseqtrd 3386 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U. T )
44 inss2 3564 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
4544a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  B )
46 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Tt  B )  =  ( Tt  B )
4729, 46restntr 17248 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Top  /\  B  C_  U. T  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  B )  -> 
( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
4810, 43, 45, 47syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
491oveq1i 6093 . . . . . . 7  |-  ( Tt  B )  =  ( ( Kt  S )t  B )
503a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
51 restabs 17231 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Kt  S )t  B )  =  ( Kt  B ) )
5250, 42, 7, 51syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  S )t  B )  =  ( Kt  B ) )
5349, 52syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Tt  B )  =  ( Kt  B ) )
5453fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Tt  B ) )  =  ( int `  ( Kt  B ) ) )
5554fveq1d 5732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
5648, 55eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  T ) `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B )  =  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
5741, 56eleqtrd 2514 . 2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
58 limcresi 19774 . . . 4  |-  ( G lim
CC  x )  C_  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x )
5936simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  ( G lim
CC  x ) )
6058, 59sseldi 3348 . . 3  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x ) )
61 difss 3476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  ( A  i^i  B )
6261, 44sstri 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  B
6362sseli 3346 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  ->  z  e.  B
)
64 fvres 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
65 fvres 5747 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
6639, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
6764, 66oveqan12rd 6103 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
) )
6867oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) )  =  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) )
6963, 68sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) )  =  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7069mpteq2dva 4297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
7133reseq1i 5144 . . . . . 6  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )
72 ssdif 3484 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  A  ->  (
( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
) )
73 resmpt 5193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
)  ->  ( (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
7411, 72, 73mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7571, 74eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7670, 75syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( G  |`  (
( A  i^i  B
)  \  { x } ) ) )
7776oveq1d 6098 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x )  =  ( ( G  |`  (
( A  i^i  B
)  \  { x } ) ) lim CC  x ) )
7860, 77eleqtrrd 2515 . 2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )
79 eqid 2438 . . 3  |-  ( Kt  B )  =  ( Kt  B )
80 eqid 2438 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )
8142, 4sstrd 3360 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
82 fresin 5614 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
8334, 82syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
8479, 2, 80, 81, 83, 45eldv 19787 . 2  |-  ( ph  ->  ( x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x ) ) ) )
8557, 78, 84mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {csn 3816   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    |` cres 4882   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990    - cmin 9293    / cdiv 9679   ↾t crest 13650   TopOpenctopn 13651  ℂfldccnfld 16705   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   intcnt 17083   lim CC climc 19751    _D cdv 19752
This theorem is referenced by:  dvres2  19801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-cnp 17294  df-xms 18352  df-ms 18353  df-limc 19755  df-dv 19756
  Copyright terms: Public domain W3C validator