Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres3a Structured version   Unicode version

Theorem dvres3a 19803
 Description: Restriction of a complex differentiable function to the reals. This version of dvres3 19802 assumes that is differentiable on its domain, but does not require to be differentiable on the whole real line. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvres3a.j fld
Assertion
Ref Expression
dvres3a

Proof of Theorem dvres3a
StepHypRef Expression
1 reldv 19759 . . 3
2 recnprss 19793 . . . . . 6
32ad2antrr 708 . . . . 5
4 simplr 733 . . . . . . 7
5 inss2 3564 . . . . . . 7
6 fssres 5612 . . . . . . 7
74, 5, 6sylancl 645 . . . . . 6
8 rescom 5173 . . . . . . . . 9
9 resres 5161 . . . . . . . . 9
108, 9eqtri 2458 . . . . . . . 8
11 ffn 5593 . . . . . . . . . 10
12 fnresdm 5556 . . . . . . . . . 10
134, 11, 123syl 19 . . . . . . . . 9
1413reseq1d 5147 . . . . . . . 8
1510, 14syl5eqr 2484 . . . . . . 7
1615feq1d 5582 . . . . . 6
177, 16mpbid 203 . . . . 5
18 inss1 3563 . . . . . 6
1918a1i 11 . . . . 5
203, 17, 19dvbss 19790 . . . 4
21 dmres 5169 . . . . 5
22 simprr 735 . . . . . 6
2322ineq2d 3544 . . . . 5
2421, 23syl5eq 2482 . . . 4
2520, 24sseqtr4d 3387 . . 3
26 relssres 5185 . . 3
271, 25, 26sylancr 646 . 2
28 dvfg 19795 . . . . 5
2928ad2antrr 708 . . . 4
30 ffun 5595 . . . 4
3129, 30syl 16 . . 3
32 ssid 3369 . . . . 5
3332a1i 11 . . . 4
34 dvres3a.j . . . . . 6 fld
3534cnfldtopon 18819 . . . . 5 TopOn
36 simprl 734 . . . . 5
37 toponss 16996 . . . . 5 TopOn
3835, 36, 37sylancr 646 . . . 4
39 dvres2 19801 . . . 4
4033, 4, 38, 3, 39syl22anc 1186 . . 3
41 funssres 5495 . . 3
4231, 40, 41syl2anc 644 . 2
4327, 42eqtr3d 2472 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   cin 3321   wss 3322  cpr 3817   cdm 4880   cres 4882   wrel 4885   wfun 5450   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991  ctopn 13651  ℂfldccnfld 16705  TopOnctopon 16961   cdv 19752 This theorem is referenced by:  dvnres  19819  dvmptres3  19844 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-limc 19755  df-dv 19756
 Copyright terms: Public domain W3C validator