Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrunz Structured version   Unicode version

Theorem dvrunz 22023
 Description: In a division ring the unit is different from the zero. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrunz.1
dvrunz.2
dvrunz.3
dvrunz.4 GId
dvrunz.5 GId
Assertion
Ref Expression
dvrunz

Proof of Theorem dvrunz
StepHypRef Expression
1 dvrunz.4 . . . 4 GId
2 fvex 5744 . . . 4 GId
31, 2eqeltri 2508 . . 3
43zrdivrng 22022 . 2
5 dvrunz.1 . . . . . . 7
6 dvrunz.2 . . . . . . 7
7 dvrunz.3 . . . . . . 7
85, 6, 7, 1drngoi 21997 . . . . . 6
98simpld 447 . . . . 5
10 dvrunz.5 . . . . . 6 GId
115, 6, 1, 10, 7rngoueqz 22020 . . . . 5
129, 11syl 16 . . . 4
135, 7, 1rngosn6 22018 . . . . . . 7
149, 13syl 16 . . . . . 6
15 eleq1 2498 . . . . . . 7
1615biimpd 200 . . . . . 6
1714, 16syl6bi 221 . . . . 5
1817pm2.43a 48 . . . 4
1912, 18sylbird 228 . . 3
2019necon3bd 2640 . 2
214, 20mpi 17 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958   cdif 3319  csn 3816  cop 3819   class class class wbr 4214   cxp 4878   crn 4881   cres 4882  cfv 5456  c1st 6349  c2nd 6350  c1o 6719   cen 7108  cgr 21776  GIdcgi 21777  crngo 21965  cdrng 21995 This theorem is referenced by:  isdrngo2  26576  divrngpr  26665  isfldidl  26680 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ablo 21872  df-ass 21903  df-exid 21905  df-mgm 21909  df-sgr 21921  df-mndo 21928  df-rngo 21966  df-drngo 21996
 Copyright terms: Public domain W3C validator