MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrunz Unicode version

Theorem dvrunz 21100
Description: In a division ring the unit is different from the zero. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrunz.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
dvrunz.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
dvrunz.3  |-  X  =  ran  G
dvrunz.4  |-  Z  =  (GId `  G )
dvrunz.5  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
dvrunz  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)

Proof of Theorem dvrunz
StepHypRef Expression
1 dvrunz.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
2 fvex 5539 . . . 4  |-  (GId `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2353 . . 3  |-  Z  e. 
_V
43zrdivrng 21099 . 2  |-  -.  <. {
<. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
5 dvrunz.1 . . . . . . 7  |-  G  =  ( 1st `  R
)
6 dvrunz.2 . . . . . . 7  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
7 dvrunz.3 . . . . . . 7  |-  X  =  ran  G
85, 6, 7, 1drngoi 21074 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( R  e.  RingOps 
/\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp ) )
98simpld 445 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  R  e.  RingOps )
10 dvrunz.5 . . . . . 6  |-  U  =  (GId `  H )
115, 6, 1, 10, 7rngoueqz 21097 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  U  =  Z ) )
129, 11syl 15 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  U  =  Z ) )
135, 7, 1rngosn6 21095 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. ) )
149, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. ) )
15 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  ->  ( R  e.  DivRingOps  <->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
1615biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  ->  ( R  e.  DivRingOps  -> 
<. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
1714, 16syl6bi 219 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o  ->  ( R  e.  DivRingOps  -> 
<. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) ) )
1817pm2.43a 45 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o  ->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  e.  DivRingOps ) )
1912, 18sylbird 226 . . 3  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( U  =  Z  ->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
2019necon3bd 2483 . 2  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( -.  <. {
<. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z ) )
214, 20mpi 16 1  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691   ` cfv 5255   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   1oc1o 6472    ~~ cen 6860   GrpOpcgr 20853  GIdcgi 20854   RingOpscrngo 21042   DivRingOpscdrng 21072
This theorem is referenced by:  isdrngo2  26589  divrngpr  26678  isfldidl  26693
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ablo 20949  df-ass 20980  df-exid 20982  df-mgm 20986  df-sgr 20998  df-mndo 21005  df-rngo 21043  df-drngo 21073
  Copyright terms: Public domain W3C validator