MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrunz Structured version   Unicode version

Theorem dvrunz 22023
Description: In a division ring the unit is different from the zero. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrunz.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
dvrunz.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
dvrunz.3  |-  X  =  ran  G
dvrunz.4  |-  Z  =  (GId `  G )
dvrunz.5  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
dvrunz  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)

Proof of Theorem dvrunz
StepHypRef Expression
1 dvrunz.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
2 fvex 5744 . . . 4  |-  (GId `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2508 . . 3  |-  Z  e. 
_V
43zrdivrng 22022 . 2  |-  -.  <. {
<. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
5 dvrunz.1 . . . . . . 7  |-  G  =  ( 1st `  R
)
6 dvrunz.2 . . . . . . 7  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
7 dvrunz.3 . . . . . . 7  |-  X  =  ran  G
85, 6, 7, 1drngoi 21997 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( R  e.  RingOps 
/\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp ) )
98simpld 447 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  R  e.  RingOps )
10 dvrunz.5 . . . . . 6  |-  U  =  (GId `  H )
115, 6, 1, 10, 7rngoueqz 22020 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  U  =  Z ) )
129, 11syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  U  =  Z ) )
135, 7, 1rngosn6 22018 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. ) )
149, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. ) )
15 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  ->  ( R  e.  DivRingOps  <->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
1615biimpd 200 . . . . . 6  |-  ( R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  ->  ( R  e.  DivRingOps  -> 
<. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
1714, 16syl6bi 221 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o  ->  ( R  e.  DivRingOps  -> 
<. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) ) )
1817pm2.43a 48 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o  ->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  e.  DivRingOps ) )
1912, 18sylbird 228 . . 3  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( U  =  Z  ->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
2019necon3bd 2640 . 2  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( -.  <. {
<. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z ) )
214, 20mpi 17 1  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   {csn 3816   <.cop 3819   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   ran crn 4881    |` cres 4882   ` cfv 5456   1stc1st 6349   2ndc2nd 6350   1oc1o 6719    ~~ cen 7108   GrpOpcgr 21776  GIdcgi 21777   RingOpscrngo 21965   DivRingOpscdrng 21995
This theorem is referenced by:  isdrngo2  26576  divrngpr  26665  isfldidl  26680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ablo 21872  df-ass 21903  df-exid 21905  df-mgm 21909  df-sgr 21921  df-mndo 21928  df-rngo 21966  df-drngo 21996
  Copyright terms: Public domain W3C validator