MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrunz Unicode version

Theorem dvrunz 21153
Description: In a division ring the unit is different from the zero. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrunz.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
dvrunz.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
dvrunz.3  |-  X  =  ran  G
dvrunz.4  |-  Z  =  (GId `  G )
dvrunz.5  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
dvrunz  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)

Proof of Theorem dvrunz
StepHypRef Expression
1 dvrunz.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
2 fvex 5577 . . . 4  |-  (GId `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2386 . . 3  |-  Z  e. 
_V
43zrdivrng 21152 . 2  |-  -.  <. {
<. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
5 dvrunz.1 . . . . . . 7  |-  G  =  ( 1st `  R
)
6 dvrunz.2 . . . . . . 7  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
7 dvrunz.3 . . . . . . 7  |-  X  =  ran  G
85, 6, 7, 1drngoi 21127 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( R  e.  RingOps 
/\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp ) )
98simpld 445 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  R  e.  RingOps )
10 dvrunz.5 . . . . . 6  |-  U  =  (GId `  H )
115, 6, 1, 10, 7rngoueqz 21150 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  U  =  Z ) )
129, 11syl 15 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  U  =  Z ) )
135, 7, 1rngosn6 21148 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. ) )
149, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. ) )
15 eleq1 2376 . . . . . . 7  |-  ( R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  ->  ( R  e.  DivRingOps  <->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
1615biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  ->  ( R  e.  DivRingOps  -> 
<. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
1714, 16syl6bi 219 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o  ->  ( R  e.  DivRingOps  -> 
<. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) ) )
1817pm2.43a 45 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o  ->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  e.  DivRingOps ) )
1912, 18sylbird 226 . . 3  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( U  =  Z  ->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
2019necon3bd 2516 . 2  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( -.  <. {
<. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z ) )
214, 20mpi 16 1  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   _Vcvv 2822    \ cdif 3183   {csn 3674   <.cop 3677   class class class wbr 4060    X. cxp 4724   ran crn 4727    |` cres 4728   ` cfv 5292   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163   1oc1o 6514    ~~ cen 6903   GrpOpcgr 20906  GIdcgi 20907   RingOpscrngo 21095   DivRingOpscdrng 21125
This theorem is referenced by:  isdrngo2  25737  divrngpr  25826  isfldidl  25841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-1o 6521  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-grpo 20911  df-gid 20912  df-ablo 21002  df-ass 21033  df-exid 21035  df-mgm 21039  df-sgr 21051  df-mndo 21058  df-rngo 21096  df-drngo 21126
  Copyright terms: Public domain W3C validator