Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvtaylp Structured version   Unicode version

Theorem dvtaylp 20278
 Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvtaylp.s
dvtaylp.f
dvtaylp.a
dvtaylp.n
dvtaylp.b
Assertion
Ref Expression
dvtaylp Tayl Tayl

Proof of Theorem dvtaylp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5734 . . . . . 6 fld
2 eqid 2435 . . . . . . . . 9 fld fld
32cnfldtopon 18809 . . . . . . . 8 fld TopOn
43toponunii 16989 . . . . . . 7 fld
54restid 13653 . . . . . 6 fld fldt fld
61, 5ax-mp 8 . . . . 5 fldt fld
76eqcomi 2439 . . . 4 fld fldt
8 cnex 9063 . . . . . 6
98prid2 3905 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4
11 toponmax 16985 . . . . 5 fld TopOn fld
123, 11mp1i 12 . . . 4 fld
13 fzfid 11304 . . . 4
14 dvtaylp.s . . . . . . . . . 10
1514adantr 452 . . . . . . . . 9
168a1i 11 . . . . . . . . . . 11
17 dvtaylp.f . . . . . . . . . . 11
18 dvtaylp.a . . . . . . . . . . 11
19 elpm2r 7026 . . . . . . . . . . 11
2016, 14, 17, 18, 19syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10
2120adantr 452 . . . . . . . . 9
22 elfznn0 11075 . . . . . . . . . 10
2322adantl 453 . . . . . . . . 9
24 dvnf 19805 . . . . . . . . 9
2515, 21, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . 8
26 0z 10285 . . . . . . . . . . . 12
27 dvtaylp.n . . . . . . . . . . . . . 14
28 peano2nn0 10252 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3029nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . 12
31 fzval2 11038 . . . . . . . . . . . 12
3226, 30, 31sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
3332eleq2d 2502 . . . . . . . . . 10
3433biimpa 471 . . . . . . . . 9
35 dvtaylp.b . . . . . . . . . 10
3614, 17, 18, 29, 35taylplem1 20271 . . . . . . . . 9
3734, 36syldan 457 . . . . . . . 8
3825, 37ffvelrnd 5863 . . . . . . 7
39 faccl 11568 . . . . . . . . 9
4023, 39syl 16 . . . . . . . 8
4140nncnd 10008 . . . . . . 7
4240nnne0d 10036 . . . . . . 7
4338, 41, 42divcld 9782 . . . . . 6
44433adant3 977 . . . . 5
45 simp3 959 . . . . . . 7
46 recnprss 19783 . . . . . . . . . . 11
4714, 46syl 16 . . . . . . . . . 10
4818, 47sstrd 3350 . . . . . . . . 9
49 dvnbss 19806 . . . . . . . . . . . 12
5014, 20, 29, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
51 fdm 5587 . . . . . . . . . . . 12
5217, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11
5350, 52sseqtrd 3376 . . . . . . . . . 10
5453, 35sseldd 3341 . . . . . . . . 9
5548, 54sseldd 3341 . . . . . . . 8
56553ad2ant1 978 . . . . . . 7
5745, 56subcld 9403 . . . . . 6
58223ad2ant2 979 . . . . . 6
5957, 58expcld 11515 . . . . 5
6044, 59mulcld 9100 . . . 4
61 0cn 9076 . . . . . . 7
6261a1i 11 . . . . . 6
6358nn0cnd 10268 . . . . . . . 8
6463adantr 452 . . . . . . 7
6557adantr 452 . . . . . . . 8
6658adantr 452 . . . . . . . . . 10
67 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
6867neneqad 2668 . . . . . . . . . 10
69 elnnne0 10227 . . . . . . . . . 10
7066, 68, 69sylanbrc 646 . . . . . . . . 9
71 nnm1nn0 10253 . . . . . . . . 9
7270, 71syl 16 . . . . . . . 8
7365, 72expcld 11515 . . . . . . 7
7464, 73mulcld 9100 . . . . . 6
7562, 74ifclda 3758 . . . . 5
7644, 75mulcld 9100 . . . 4
779a1i 11 . . . . 5
78593expa 1153 . . . . 5
79753expa 1153 . . . . 5
80573expa 1153 . . . . . . 7
81 ax-1cn 9040 . . . . . . . 8
8281a1i 11 . . . . . . 7
83 simpr 448 . . . . . . . 8
8423adantr 452 . . . . . . . 8
8583, 84expcld 11515 . . . . . . 7
86 c0ex 9077 . . . . . . . . 9
87 ovex 6098 . . . . . . . . 9
8886, 87ifex 3789 . . . . . . . 8
8988a1i 11 . . . . . . 7
90 simpr 448 . . . . . . . . 9
9177dvmptid 19835 . . . . . . . . 9
9255ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
9361a1i 11 . . . . . . . . 9
9455adantr 452 . . . . . . . . . 10
9577, 94dvmptc 19836 . . . . . . . . 9
9677, 90, 82, 91, 92, 93, 95dvmptsub 19845 . . . . . . . 8
9781subid1i 9364 . . . . . . . . 9
9897mpteq2i 4284 . . . . . . . 8
9996, 98syl6eq 2483 . . . . . . 7
100 dvexp2 19832 . . . . . . . 8
10123, 100syl 16 . . . . . . 7
102 oveq1 6080 . . . . . . 7
103 oveq1 6080 . . . . . . . . 9
104103oveq2d 6089 . . . . . . . 8
105104ifeq2d 3746 . . . . . . 7
10677, 77, 80, 82, 85, 89, 99, 101, 102, 105dvmptco 19850 . . . . . 6
10779mulid1d 9097 . . . . . . 7
108107mpteq2dva 4287 . . . . . 6
109106, 108eqtrd 2467 . . . . 5
11077, 78, 79, 109, 43dvmptcmul 19842 . . . 4
1117, 2, 10, 12, 13, 60, 76, 110dvmptfsum 19851 . . 3
112 1z 10303 . . . . . . 7
113112a1i 11 . . . . . 6
11426a1i 11 . . . . . 6
11527nn0zd 10365 . . . . . . 7
116115adantr 452 . . . . . 6
117 dvfg 19785 . . . . . . . 8
11814, 117syl 16 . . . . . . 7
11947, 17, 18dvbss 19780 . . . . . . . 8
120119, 18sstrd 3350 . . . . . . 7
121 1nn0 10229 . . . . . . . . . . . 12
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11
123 dvnadd 19807 . . . . . . . . . . 11
12414, 20, 122, 27, 123syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10
125 dvn1 19804 . . . . . . . . . . . . 13
12647, 20, 125syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
127126oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11
128127fveq1d 5722 . . . . . . . . . 10
12981a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
13027nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . 12
131129, 130addcomd 9260 . . . . . . . . . . 11
132131fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
133124, 128, 1323eqtr3d 2475 . . . . . . . . 9
134133dmeqd 5064 . . . . . . . 8
13535, 134eleqtrrd 2512 . . . . . . 7
13614, 118, 120, 27, 135taylplem2 20272 . . . . . 6
137 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
138137fveq1d 5722 . . . . . . . 8
139 fveq2 5720 . . . . . . . 8
140138, 139oveq12d 6091 . . . . . . 7
141 oveq2 6081 . . . . . . 7
142140, 141oveq12d 6091 . . . . . 6
143113, 114, 116, 136, 142fsumshft 12555 . . . . 5
144 elfznn 11072 . . . . . . . . . . . 12
145144adantl 453 . . . . . . . . . . 11
146145nnne0d 10036 . . . . . . . . . 10
147 ifnefalse 3739 . . . . . . . . . 10
148146, 147syl 16 . . . . . . . . 9
149148oveq2d 6089 . . . . . . . 8
150 simpll 731 . . . . . . . . . 10
151 nn0uz 10512 . . . . . . . . . . . . . 14
152121, 151eleqtri 2507 . . . . . . . . . . . . 13
153 fzss1 11083 . . . . . . . . . . . . 13
154152, 153ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
155154sseli 3336 . . . . . . . . . . 11
156155adantl 453 . . . . . . . . . 10
157150, 156, 43syl2anc 643 . . . . . . . . 9
158145nncnd 10008 . . . . . . . . 9
159 simplr 732 . . . . . . . . . . 11
16055ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
161159, 160subcld 9403 . . . . . . . . . 10
162145, 71syl 16 . . . . . . . . . 10
163161, 162expcld 11515 . . . . . . . . 9
164157, 158, 163mulassd 9103 . . . . . . . 8
165 facp1 11563 . . . . . . . . . . . . 13
166162, 165syl 16 . . . . . . . . . . . 12
16781a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
168158, 167npcand 9407 . . . . . . . . . . . . 13
169168fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12
170168oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12
171166, 169, 1703eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . 11
172171oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10
17323nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . 12
17438, 173, 41, 42div23d 9819 . . . . . . . . . . 11
175150, 156, 174syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
176150, 156, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
177 faccl 11568 . . . . . . . . . . . . . 14
178162, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
179178nncnd 10008 . . . . . . . . . . . 12
180178nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . 12
181176, 179, 158, 180, 146divcan5rd 9809 . . . . . . . . . . 11
18214ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
18320ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
184121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
185 dvnadd 19807 . . . . . . . . . . . . . . 15
186182, 183, 184, 162, 185syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14
187126ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
188187oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15
189188fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . . 14
190167, 158pncan3d 9406 . . . . . . . . . . . . . . 15
191190fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14
192186, 189, 1913eqtr3rd 2476 . . . . . . . . . . . . 13
193192fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . 12
194193oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11
195181, 194eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10
196172, 175, 1953eqtr3d 2475 . . . . . . . . 9
197196oveq1d 6088 . . . . . . . 8
198149, 164, 1973eqtr2d 2473 . . . . . . 7
199198sumeq2dv 12489 . . . . . 6
200 0p1e1 10085 . . . . . . . 8
201200oveq1i 6083 . . . . . . 7
202201sumeq1i 12484 . . . . . 6
203199, 202syl6eqr 2485 . . . . 5
204154a1i 11 . . . . . 6
20579an32s 780 . . . . . . . 8
206155, 205sylan2 461 . . . . . . 7
207157, 206mulcld 9100 . . . . . 6
208 eldif 3322 . . . . . . . . . 10
20969biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
21022, 209sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
211 nnuz 10513 . . . . . . . . . . . . . . . 16
212210, 211syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15
213 elfzuz3 11048 . . . . . . . . . . . . . . . 16
214213adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
215 elfzuzb 11045 . . . . . . . . . . . . . . 15
216212, 214, 215sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14
217216ex 424 . . . . . . . . . . . . 13
218217adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
219218necon1bd 2666 . . . . . . . . . . 11
220219impr 603 . . . . . . . . . 10
221208, 220sylan2b 462 . . . . . . . . 9
222 iftrue 3737 . . . . . . . . 9
223221, 222syl 16 . . . . . . . 8
224223oveq2d 6089 . . . . . . 7
225 eldifi 3461 . . . . . . . . 9
22643adantlr 696 . . . . . . . . 9
227225, 226sylan2 461 . . . . . . . 8
228227mul01d 9257 . . . . . . 7
229224, 228eqtrd 2467 . . . . . 6
230 fzfid 11304 . . . . . 6
231204, 207, 229, 230fsumss 12511 . . . . 5
232143, 203, 2313eqtr2rd 2474 . . . 4
233232mpteq2dva 4287 . . 3
234111, 233eqtrd 2467 . 2
235 eqid 2435 . . . 4 Tayl Tayl
23614, 17, 18, 29, 35, 235taylpfval 20273 . . 3 Tayl
237236oveq2d 6089 . 2 Tayl
238 eqid 2435 . . 3 Tayl Tayl
23914, 118, 120, 27, 135, 238taylpfval 20273 . 2 Tayl
240234, 237, 2393eqtr4d 2477 1 Tayl Tayl
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cvv 2948   cdif 3309   cin 3311   wss 3312  cif 3731  cpr 3807   cmpt 4258   cdm 4870  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cpm 7011  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  cicc 10911  cfz 11035  cexp 11374  cfa 11558  csu 12471   ↾t crest 13640  ctopn 13641  ℂfldccnfld 16695  TopOnctopon 16951   cdv 19742   cdvn 19743   Tayl ctayl 20261 This theorem is referenced by:  dvntaylp  20279 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-tsms 18148  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-dvn 19747  df-tayl 20263
 Copyright terms: Public domain W3C validator