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Theorem dvtaylp 20153
Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvtaylp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvtaylp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvtaylp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvtaylp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dvtaylp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvtaylp  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B ) )  =  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B ) )

Proof of Theorem dvtaylp
Dummy variables  j 
k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5682 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  _V
2 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 18688 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
43toponunii 16920 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
54restid 13588 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  _V  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
61, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
76eqcomi 2391 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
8 cnex 9004 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
98prid2 3856 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
11 toponmax 16916 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
123, 11mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
13 fzfid 11239 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
14 dvtaylp.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1514adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
168a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
17 dvtaylp.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
18 dvtaylp.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
19 elpm2r 6970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
2016, 14, 17, 18, 19syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
2120adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
22 elfznn0 11015 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
2322adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
24 dvnf 19680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 k ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) --> CC )
2515, 21, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  k
) : dom  (
( S  D n F ) `  k
) --> CC )
26 0z 10225 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
27 dvtaylp.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
28 peano2nn0 10192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
3029nn0zd 10305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
31 fzval2 10978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )
3226, 30, 31sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )
3332eleq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <-> 
k  e.  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) ) )
3433biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )
35 dvtaylp.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
3614, 17, 18, 29, 35taylplem1 20146 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) )
3734, 36syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) )
3825, 37ffvelrnd 5810 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  e.  CC )
39 faccl 11503 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4023, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4140nncnd 9948 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
4240nnne0d 9976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
4338, 41, 42divcld 9722 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
44433adant3 977 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
45 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
46 recnprss 19658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4714, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
4818, 47sstrd 3301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
49 dvnbss 19681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) )  C_  dom  F )
5014, 20, 29, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  + 
1 ) )  C_  dom  F )
51 fdm 5535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
5217, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
5350, 52sseqtrd 3327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  + 
1 ) )  C_  A )
5453, 35sseldd 3292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
5548, 54sseldd 3292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
56553ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
5745, 56subcld 9343 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  -  B )  e.  CC )
58223ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  k  e.  NN0 )
5957, 58expcld 11450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x  -  B
) ^ k )  e.  CC )
6044, 59mulcld 9041 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) )  e.  CC )
61 0cn 9017 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
6261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  k  =  0 )  -> 
0  e.  CC )
6358nn0cnd 10208 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
6463adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  e.  CC )
6557adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( x  -  B )  e.  CC )
6658adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  e.  NN0 )
67 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  -.  k  = 
0 )
6867neneqad 2620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  =/=  0
)
69 elnnne0 10167 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  <->  ( k  e.  NN0  /\  k  =/=  0 ) )
7066, 68, 69sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  e.  NN )
71 nnm1nn0 10193 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
7270, 71syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( k  - 
1 )  e.  NN0 )
7365, 72expcld 11450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) )  e.  CC )
7464, 73mulcld 9041 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) )  e.  CC )
7562, 74ifclda 3709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
7644, 75mulcld 9041 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  e.  CC )
779a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
78593expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x  -  B
) ^ k )  e.  CC )
79753expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
80573expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  -  B )  e.  CC )
81 ax-1cn 8981 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
8281a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
83 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
8423adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  k  e.  NN0 )
8583, 84expcld 11450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  (
y ^ k )  e.  CC )
86 c0ex 9018 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
87 ovex 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( k  x.  ( y ^
( k  -  1 ) ) )  e. 
_V
8886, 87ifex 3740 . . . . . . . 8  |-  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^
( k  -  1 ) ) ) )  e.  _V
8988a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  _V )
90 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
9177dvmptid 19710 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
9255ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
9361a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
9455adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
9577, 94dvmptc 19711 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  B ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
9677, 90, 82, 91, 92, 93, 95dvmptsub 19720 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x  -  B ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) ) )
9781subid1i 9304 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  0 )  =  1
9897mpteq2i 4233 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
9996, 98syl6eq 2435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x  -  B ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
100 dvexp2 19707 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
k ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
10123, 100syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
k ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
102 oveq1 6027 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  (
y ^ k )  =  ( ( x  -  B ) ^
k ) )
103 oveq1 6027 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  (
y ^ ( k  -  1 ) )  =  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) )
104103oveq2d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  (
k  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
105104ifeq2d 3697 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
10677, 77, 80, 82, 85, 89, 99, 101, 102, 105dvmptco 19725 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( ( x  -  B ) ^
k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )  x.  1 ) ) )
10779mulid1d 9038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  ( if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  1 )  =  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
108107mpteq2dva 4236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) )  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) )
109106, 108eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( ( x  -  B ) ^
k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
11077, 78, 79, 109, 43dvmptcmul 19717 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) ) )
1117, 2, 10, 12, 13, 60, 76, 110dvmptfsum 19726 . . 3  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) ) )
112 1z 10243 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
113112a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  ZZ )
11426a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  ZZ )
11527nn0zd 10305 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
116115adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  N  e.  ZZ )
117 dvfg 19660 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
11814, 117syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
11947, 17, 18dvbss 19655 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  A
)
120119, 18sstrd 3301 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S
)
121 1nn0 10169 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
123 dvnadd 19682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( 1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  1 ) ) `  N )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( 1  +  N ) ) )
12414, 20, 122, 27, 123syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 1 ) ) `
 N )  =  ( ( S  D n F ) `  (
1  +  N ) ) )
125 dvn1 19679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  D n F ) `  1
)  =  ( S  _D  F ) )
12647, 20, 125syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  1
)  =  ( S  _D  F ) )
127126oveq2d 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  D n
( ( S  D n F ) `  1
) )  =  ( S  D n ( S  _D  F ) ) )
128127fveq1d 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 1 ) ) `
 N )  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  N ) )
12981a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
13027nn0cnd 10208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
131129, 130addcomd 9200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  +  N
)  =  ( N  +  1 ) )
132131fveq2d 5672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
1  +  N ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
133124, 128, 1323eqtr3d 2427 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  N )  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
134133dmeqd 5012 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 N )  =  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  + 
1 ) ) )
13535, 134eleqtrrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n
( S  _D  F
) ) `  N
) )
13614, 118, 120, 27, 135taylplem2 20147 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) )  e.  CC )
137 fveq2 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( S  D n
( S  _D  F
) ) `  j
)  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) )
138137fveq1d 5670 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `  B
)  =  ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B ) )
139 fveq2 5668 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )
140138, 139oveq12d 6038 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 j ) `  B )  /  ( ! `  j )
)  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
141 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( x  -  B
) ^ j )  =  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) )
142140, 141oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 ( k  - 
1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
143113, 114, 116, 136, 142fsumshft 12490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `  B
)  /  ( ! `
 j ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^
j ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
144 elfznn 11012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
145144adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
146145nnne0d 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  =/=  0 )
147 ifnefalse 3690 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =/=  0  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )
149148oveq2d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
150 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ph )
151 nn0uz 10452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
152121, 151eleqtri 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
153 fzss1 11023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
154152, 153ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
155154sseli 3287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
156155adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
157150, 156, 43syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
158145nncnd 9948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
159 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  x  e.  CC )
16055ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
161159, 160subcld 9343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
x  -  B )  e.  CC )
162145, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
163161, 162expcld 11450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) )  e.  CC )
164157, 158, 163mulassd 9044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  k )  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
165 facp1 11498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  -  1 ) )  x.  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )
166162, 165syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )
16781a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
168158, 167npcand 9347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
169168fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ! `  k ) )
170168oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ! `  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  x.  k ) )
171166, 169, 1703eqtr3d 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  =  ( ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  x.  k ) )
172171oveq2d 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  x.  k
)  /  ( ( ! `  ( k  -  1 ) )  x.  k ) ) )
17323nn0cnd 10208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
17438, 173, 41, 42div23d 9759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  k ) )
175150, 156, 174syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  k ) )
176150, 156, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  e.  CC )
177 faccl 11503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  e.  NN )
178162, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( k  -  1 ) )  e.  NN )
179178nncnd 9948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
180178nnne0d 9976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( k  -  1 ) )  =/=  0 )
181176, 179, 158, 180, 146divcan5rd 9749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  (
( ! `  (
k  -  1 ) )  x.  k ) )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) ) )
18214ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
18320ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
184121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  NN0 )
185 dvnadd 19682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( 1  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  1 ) ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( 1  +  ( k  -  1 ) ) ) )
186182, 183, 184, 162, 185syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  1
) ) `  (
k  -  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( 1  +  ( k  - 
1 ) ) ) )
187126ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  1
)  =  ( S  _D  F ) )
188187oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( S  D n ( ( S  D n F ) `  1 ) )  =  ( S  D n ( S  _D  F ) ) )
189188fveq1d 5670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  1
) ) `  (
k  -  1 ) )  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) )
190167, 158pncan3d 9346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
1  +  ( k  -  1 ) )  =  k )
191190fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  (
1  +  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `  k ) )
192186, 189, 1913eqtr3rd 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  k
)  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) )
193192fveq1d 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  =  ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `
 B ) )
194193oveq1d 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
195181, 194eqtrd 2419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  (
( ! `  (
k  -  1 ) )  x.  k ) )  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
196172, 175, 1953eqtr3d 2427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  k
)  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
197196oveq1d 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  k )  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 ( k  - 
1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
198149, 164, 1973eqtr2d 2425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `
 B )  / 
( ! `  (
k  -  1 ) ) )  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) )
199198sumeq2dv 12424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
200 0p1e1 10025 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
201200oveq1i 6030 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
202201sumeq1i 12419 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) )
203199, 202syl6eqr 2437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
204154a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
20579an32s 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
206155, 205sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
207157, 206mulcld 9041 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  e.  CC )
208 eldif 3273 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  -.  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
20969biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  NN )
21022, 209sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  NN )
211 nnuz 10453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
212210, 211syl6eleq 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
213 elfzuz3 10988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  k
) )
214213adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  k ) )
215 elfzuzb 10985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )
216212, 214, 215sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
217216ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
k  =/=  0  -> 
k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
218217adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  =/=  0  -> 
k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
219218necon1bd 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -.  k  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  -> 
k  =  0 ) )
220219impr 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  -.  k  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  k  = 
0 )
221208, 220sylan2b 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  k  = 
0 )
222 iftrue 3688 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  0 )
223221, 222syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  if (
k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  0 )
224223oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  0 ) )
225 eldifi 3412 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
22643adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
227225, 226sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
228227mul01d 9197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  0 )  =  0 )
229224, 228eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )  =  0 )
230 fzfid 11239 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
Fin )
231204, 207, 229, 230fsumss 12446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
232143, 203, 2313eqtr2rd 2426 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  j
) `  B )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ j
) ) )
233232mpteq2dva 4236 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) ) ) )
234111, 233eqtrd 2419 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) ) ) )
235 eqid 2387 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 ) ( S Tayl  F ) B )  =  ( ( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B )
23614, 17, 18, 29, 35, 235taylpfval 20148 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) ) )
237236oveq2d 6036 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) ) )
238 eqid 2387 . . 3  |-  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B )  =  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B )
23914, 118, 120, 27, 135, 238taylpfval 20148 . 2  |-  ( ph  ->  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F
) ) B )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  j
) `  B )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ j
) ) ) )
240234, 237, 2393eqtr4d 2429 1  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B ) )  =  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ifcif 3682   {cpr 3758    e. cmpt 4207   dom cdm 4818   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ^pm cpm 6955   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   [,]cicc 10851   ...cfz 10975   ^cexp 11309   !cfa 11493   sum_csu 12406   ↾t crest 13575   TopOpenctopn 13576  ℂfldccnfld 16626  TopOnctopon 16882    _D cdv 19617    D ncdvn 19618   Tayl ctayl 20136
This theorem is referenced by:  dvntaylp  20154
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-tsms 18077  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621  df-dvn 19622  df-tayl 20138
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