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Theorem dvtaylp 19765
Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvtaylp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvtaylp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvtaylp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvtaylp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dvtaylp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvtaylp  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B ) )  =  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B ) )

Proof of Theorem dvtaylp
Dummy variables  j 
k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  _V
2 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 18308 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
43toponunii 16686 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
54restid 13354 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  _V  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
61, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
76eqcomi 2300 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
8 cnex 8834 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
98prid2 3748 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
109a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
11 toponmax 16682 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
123, 11mp1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
13 fzfid 11051 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
14 dvtaylp.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1514adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
168a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
17 dvtaylp.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
18 dvtaylp.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
19 elpm2r 6804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
2016, 14, 17, 18, 19syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
2120adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
22 elfznn0 10838 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
2322adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
24 dvnf 19292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 k ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) --> CC )
2515, 21, 23, 24syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  k
) : dom  (
( S  D n F ) `  k
) --> CC )
26 0z 10051 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
27 dvtaylp.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
28 peano2nn0 10020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
3029nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
31 fzval2 10801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )
3226, 30, 31sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )
3332eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <-> 
k  e.  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) ) )
3433biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )
35 dvtaylp.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
3614, 17, 18, 29, 35taylplem1 19758 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) )
3734, 36syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) )
3825, 37ffvelrnd 5682 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  e.  CC )
39 faccl 11314 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4023, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4140nncnd 9778 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
4240nnne0d 9806 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
4338, 41, 42divcld 9552 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
44433adant3 975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
45 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
46 recnprss 19270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4714, 46syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
4818, 47sstrd 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
49 dvnbss 19293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) )  C_  dom  F )
5014, 20, 29, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  + 
1 ) )  C_  dom  F )
51 fdm 5409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
5217, 51syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
5350, 52sseqtrd 3227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  + 
1 ) )  C_  A )
5453, 35sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
5548, 54sseldd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
56553ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
5745, 56subcld 9173 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  -  B )  e.  CC )
58223ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  k  e.  NN0 )
5957, 58expcld 11261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x  -  B
) ^ k )  e.  CC )
6044, 59mulcld 8871 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) )  e.  CC )
61 0cn 8847 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
6261a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  k  =  0 )  -> 
0  e.  CC )
6358nn0cnd 10036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
6463adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  e.  CC )
6557adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( x  -  B )  e.  CC )
6658adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  e.  NN0 )
67 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  -.  k  = 
0 )
68 df-ne 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =/=  0  <->  -.  k  =  0 )
6967, 68sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  =/=  0
)
70 elnnne0 9995 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  <->  ( k  e.  NN0  /\  k  =/=  0 ) )
7166, 69, 70sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  e.  NN )
72 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
7371, 72syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( k  - 
1 )  e.  NN0 )
7465, 73expcld 11261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) )  e.  CC )
7564, 74mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) )  e.  CC )
7662, 75ifclda 3605 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
7744, 76mulcld 8871 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  e.  CC )
789a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
79593expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x  -  B
) ^ k )  e.  CC )
80763expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
81573expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  -  B )  e.  CC )
82 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
8382a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
84 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
8523adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  k  e.  NN0 )
8684, 85expcld 11261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  (
y ^ k )  e.  CC )
87 c0ex 8848 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
88 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( k  x.  ( y ^
( k  -  1 ) ) )  e. 
_V
8987, 88ifex 3636 . . . . . . . 8  |-  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^
( k  -  1 ) ) ) )  e.  _V
9089a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  _V )
91 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
9278dvmptid 19322 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
9355ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
9461a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
9555adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
9678, 95dvmptc 19323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  B ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
9778, 91, 83, 92, 93, 94, 96dvmptsub 19332 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x  -  B ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) ) )
9882subid1i 9134 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  0 )  =  1
9998mpteq2i 4119 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
10097, 99syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x  -  B ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
101 dvexp2 19319 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
k ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
10223, 101syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
k ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
103 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  (
y ^ k )  =  ( ( x  -  B ) ^
k ) )
104 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  (
y ^ ( k  -  1 ) )  =  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) )
105104oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  (
k  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
106105ifeq2d 3593 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
10778, 78, 81, 83, 86, 90, 100, 102, 103, 106dvmptco 19337 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( ( x  -  B ) ^
k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )  x.  1 ) ) )
10880mulid1d 8868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  ( if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  1 )  =  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
109108mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) )  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) )
110107, 109eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( ( x  -  B ) ^
k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
11178, 79, 80, 110, 43dvmptcmul 19329 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) ) )
1127, 2, 10, 12, 13, 60, 77, 111dvmptfsum 19338 . . 3  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) ) )
113 1z 10069 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
114113a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  ZZ )
11526a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  ZZ )
11627nn0zd 10131 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
117116adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  N  e.  ZZ )
118 dvfg 19272 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
11914, 118syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
12047, 17, 18dvbss 19267 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  A
)
121120, 18sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S
)
122 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
123122a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
124 dvnadd 19294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( 1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  1 ) ) `  N )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( 1  +  N ) ) )
12514, 20, 123, 27, 124syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 1 ) ) `
 N )  =  ( ( S  D n F ) `  (
1  +  N ) ) )
126 dvn1 19291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  D n F ) `  1
)  =  ( S  _D  F ) )
12747, 20, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  1
)  =  ( S  _D  F ) )
128127oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  D n
( ( S  D n F ) `  1
) )  =  ( S  D n ( S  _D  F ) ) )
129128fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 1 ) ) `
 N )  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  N ) )
13082a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
13127nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
132130, 131addcomd 9030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  +  N
)  =  ( N  +  1 ) )
133132fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
1  +  N ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
134125, 129, 1333eqtr3d 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  N )  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
135134dmeqd 4897 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 N )  =  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  + 
1 ) ) )
13635, 135eleqtrrd 2373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n
( S  _D  F
) ) `  N
) )
13714, 119, 121, 27, 136taylplem2 19759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) )  e.  CC )
138 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( S  D n
( S  _D  F
) ) `  j
)  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) )
139138fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `  B
)  =  ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B ) )
140 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )
141139, 140oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 j ) `  B )  /  ( ! `  j )
)  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
142 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( x  -  B
) ^ j )  =  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) )
143141, 142oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 ( k  - 
1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
144114, 115, 117, 137, 143fsumshft 12258 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `  B
)  /  ( ! `
 j ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^
j ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
145 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
146145adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
147146nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  =/=  0 )
148 ifnefalse 3586 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =/=  0  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )
149147, 148syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )
150149oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
151 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ph )
152 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
153122, 152eleqtri 2368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
154 fzss1 10846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
155153, 154ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
156155sseli 3189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
157156adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
158151, 157, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
159146nncnd 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
160 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  x  e.  CC )
16155ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
162160, 161subcld 9173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
x  -  B )  e.  CC )
163146, 72syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
164162, 163expcld 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) )  e.  CC )
165158, 159, 164mulassd 8874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  k )  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
166 facp1 11309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  -  1 ) )  x.  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )
167163, 166syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )
16882a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
169159, 168npcand 9177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
170169fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ! `  k ) )
171169oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ! `  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  x.  k ) )
172167, 170, 1713eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  =  ( ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  x.  k ) )
173172oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  x.  k
)  /  ( ( ! `  ( k  -  1 ) )  x.  k ) ) )
17423nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
17538, 174, 41, 42div23d 9589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  k ) )
176151, 157, 175syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  k ) )
177151, 157, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  e.  CC )
178 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  e.  NN )
179163, 178syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( k  -  1 ) )  e.  NN )
180179nncnd 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
181179nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( k  -  1 ) )  =/=  0 )
182177, 180, 159, 181, 147divcan5rd 9579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  (
( ! `  (
k  -  1 ) )  x.  k ) )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) ) )
18314ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
18420ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
185122a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  NN0 )
186 dvnadd 19294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( 1  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  1 ) ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( 1  +  ( k  -  1 ) ) ) )
187183, 184, 185, 163, 186syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  1
) ) `  (
k  -  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( 1  +  ( k  - 
1 ) ) ) )
188127ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  1
)  =  ( S  _D  F ) )
189188oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( S  D n ( ( S  D n F ) `  1 ) )  =  ( S  D n ( S  _D  F ) ) )
190189fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  1
) ) `  (
k  -  1 ) )  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) )
191168, 159pncan3d 9176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
1  +  ( k  -  1 ) )  =  k )
192191fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  (
1  +  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `  k ) )
193187, 190, 1923eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  k
)  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) )
194193fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  =  ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `
 B ) )
195194oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
196182, 195eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  (
( ! `  (
k  -  1 ) )  x.  k ) )  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
197173, 176, 1963eqtr3d 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  k
)  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
198197oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  k )  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 ( k  - 
1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
199150, 165, 1983eqtr2d 2334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `
 B )  / 
( ! `  (
k  -  1 ) ) )  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) )
200199sumeq2dv 12192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
201 0p1e1 9855 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
202201oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
203202sumeq1i 12187 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) )
204200, 203syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
205155a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
20680an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
207156, 206sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
208158, 207mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  e.  CC )
209 eldif 3175 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  -.  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
21070biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  NN )
21122, 210sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  NN )
212 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
213211, 212syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
214 elfzuz3 10811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  k
) )
215214adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  k ) )
216 elfzuzb 10808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )
217213, 215, 216sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
218217ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
k  =/=  0  -> 
k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
219218adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  =/=  0  -> 
k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
220219necon1bd 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -.  k  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  -> 
k  =  0 ) )
221220impr 602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  -.  k  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  k  = 
0 )
222209, 221sylan2b 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  k  = 
0 )
223 iftrue 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  0 )
224222, 223syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  if (
k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  0 )
225224oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  0 ) )
226 eldifi 3311 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
22743adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
228226, 227sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
229228mul01d 9027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  0 )  =  0 )
230225, 229eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )  =  0 )
231 fzfid 11051 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
Fin )
232205, 208, 230, 231fsumss 12214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
233144, 204, 2323eqtr2rd 2335 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  j
) `  B )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ j
) ) )
234233mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) ) ) )
235112, 234eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) ) ) )
236 eqid 2296 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 ) ( S Tayl  F ) B )  =  ( ( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B )
23714, 17, 18, 29, 35, 236taylpfval 19760 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) ) )
238237oveq2d 5890 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) ) )
239 eqid 2296 . . 3  |-  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B )  =  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B )
24014, 119, 121, 27, 136, 239taylpfval 19760 . 2  |-  ( ph  ->  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F
) ) B )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  j
) `  B )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ j
) ) ) )
241235, 238, 2403eqtr4d 2338 1  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B ) )  =  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ifcif 3578   {cpr 3654    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^pm cpm 6789   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   [,]cicc 10675   ...cfz 10798   ^cexp 11120   !cfa 11304   sum_csu 12174   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393  TopOnctopon 16648    _D cdv 19229    D ncdvn 19230   Tayl ctayl 19748
This theorem is referenced by:  dvntaylp  19766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tsms 17825  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-dvn 19234  df-tayl 19750
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