Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocseg Unicode version

Theorem dya2iocseg 23581
 Description: For any point and any closed below, opened above interval of centered on that point, there is a closed below opened above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0
dya2ioc.1
dya2ioc.2
dya2iocseg.1 logb
dya2iocseg.2
Assertion
Ref Expression
dya2iocseg
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,)   (,)   (,)   (,,,)   (,)   (,)

Proof of Theorem dya2iocseg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . . . 7
2 dya2iocseg.1 . . . . . . . . . 10 logb
3 1re 8839 . . . . . . . . . . . . 13
43a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
5 2z 10056 . . . . . . . . . . . . . 14
6 uzid 10244 . . . . . . . . . . . . . 14
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
8 rnlogbcl 23405 . . . . . . . . . . . . 13 logb
97, 8mpan 651 . . . . . . . . . . . 12 logb
104, 9resubcld 9213 . . . . . . . . . . 11 logb
11 flcl 10929 . . . . . . . . . . 11 logb logb
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . 10 logb
132, 12syl5eqel 2369 . . . . . . . . 9
14 2rp 10361 . . . . . . . . . 10
15 rpexpcl 11124 . . . . . . . . . . 11
1615rpred 10392 . . . . . . . . . 10
1714, 16mpan 651 . . . . . . . . 9
1813, 17syl 15 . . . . . . . 8
1918adantl 452 . . . . . . 7
201, 19remulcld 8865 . . . . . 6
21 flcl 10929 . . . . . 6
2220, 21syl 15 . . . . 5
23 eqid 2285 . . . . 5
24 oveq1 5867 . . . . . . 7
2524eqeq2d 2296 . . . . . 6
2625rspcev 2886 . . . . 5
2722, 23, 26sylancl 643 . . . 4
28 nfv 1607 . . . . 5
29 ovex 5885 . . . . 5
30 eqeq1 2291 . . . . . 6
3130rexbidv 2566 . . . . 5
3228, 29, 31elabf 2915 . . . 4
3327, 32sylibr 203 . . 3
34 ovex 5885 . . . . . . . 8
3534rgen2w 2613 . . . . . . 7
36 dya2ioc.1 . . . . . . . 8
3736fnmpt2 6194 . . . . . . 7
3835, 37ax-mp 8 . . . . . 6
3938a1i 10 . . . . 5
40 ssid 3199 . . . . . 6
4140a1i 10 . . . . 5
42 dya2iocseg.2 . . . . . 6
4342curry2ima 23249 . . . . 5
4439, 13, 41, 43syl3anc 1182 . . . 4
4633, 45eleqtrrd 2362 . 2
47 fllelt 10931 . . . . . . . . . 10
4820, 47syl 15 . . . . . . . . 9
4948simpld 445 . . . . . . . 8
5022zred 10119 . . . . . . . . 9
5113adantl 452 . . . . . . . . . 10
5214, 51, 15sylancr 644 . . . . . . . . 9
5350, 20, 52lediv1d 10434 . . . . . . . 8
5449, 53mpbid 201 . . . . . . 7
551recnd 8863 . . . . . . . 8
5619recnd 8863 . . . . . . . 8
57 2cn 9818 . . . . . . . . . 10
5857a1i 10 . . . . . . . . 9
59 2ne0 9831 . . . . . . . . . 10
6059a1i 10 . . . . . . . . 9
6158, 60, 51expne0d 11253 . . . . . . . 8
62 divcan4 9451 . . . . . . . 8
6355, 56, 61, 62syl3anc 1182 . . . . . . 7
6454, 63breqtrd 4049 . . . . . 6
6548simprd 449 . . . . . . . 8
663a1i 10 . . . . . . . . . 10
6750, 66readdcld 8864 . . . . . . . . 9
6820, 67, 52ltdiv1d 10433 . . . . . . . 8
6965, 68mpbid 201 . . . . . . 7
7063, 69eqbrtrrd 4047 . . . . . 6
711, 64, 703jca 1132 . . . . 5
7250, 19, 61redivcld 9590 . . . . . 6
7367, 19, 61redivcld 9590 . . . . . . 7
7473rexrd 8883 . . . . . 6
75 elico2 10716 . . . . . 6
7672, 74, 75syl2anc 642 . . . . 5
7771, 76mpbird 223 . . . 4
78 sxbrsiga.0 . . . . . 6
79 dya2ioc.2 . . . . . 6
8078, 36, 79dya2iocival 23578 . . . . 5
8151, 22, 80syl2anc 642 . . . 4
8277, 81eleqtrrd 2362 . . 3
83 simpr 447 . . . . . . . 8
8483rpred 10392 . . . . . . 7
851, 84resubcld 9213 . . . . . 6
8685rexrd 8883 . . . . 5
871, 84readdcld 8864 . . . . . 6
8887rexrd 8883 . . . . 5
8919, 61rereccld 9589 . . . . . . . 8
901, 89resubcld 9213 . . . . . . 7
91 dya2ub 23577 . . . . . . . . . 10 logb
9283, 91syl 15 . . . . . . . . 9 logb
932oveq2i 5871 . . . . . . . . . . 11 logb
9493oveq2i 5871 . . . . . . . . . 10 logb
9594breq1i 4032 . . . . . . . . 9 logb
9692, 95sylibr 203 . . . . . . . 8
9789, 84, 1, 96ltsub2dd 9387 . . . . . . 7
9855, 56mulcld 8857 . . . . . . . . . 10
99 ax-1cn 8797 . . . . . . . . . . 11
10099a1i 10 . . . . . . . . . 10
10198, 100, 56, 61divsubdird 9577 . . . . . . . . 9
10263oveq1d 5875 . . . . . . . . 9
103101, 102eqtrd 2317 . . . . . . . 8
10420, 66resubcld 9213 . . . . . . . . . 10
10520, 67, 66, 65ltsub1dd 9386 . . . . . . . . . . 11
10650recnd 8863 . . . . . . . . . . . 12
107106, 100pncand 9160 . . . . . . . . . . 11
108105, 107breqtrd 4049 . . . . . . . . . 10
109104, 50, 108ltled 8969 . . . . . . . . 9
110104, 50, 52lediv1d 10434 . . . . . . . . 9
111109, 110mpbid 201 . . . . . . . 8
112103, 111eqbrtrrd 4047 . . . . . . 7
11385, 90, 72, 97, 112ltletrd 8978 . . . . . 6
11485, 72, 113ltled 8969 . . . . 5
1151, 89readdcld 8864 . . . . . . 7
11650, 20, 66, 49leadd1dd 9388 . . . . . . . . 9
11720, 66readdcld 8864 . . . . . . . . . 10
11867, 117, 52lediv1d 10434 . . . . . . . . 9
119116, 118mpbid 201 . . . . . . . 8
120 divdir 9449 . . . . . . . . . 10
12198, 100, 56, 61, 120syl112anc 1186 . . . . . . . . 9
12263oveq1d 5875 . . . . . . . . 9
123121, 122eqtrd 2317 . . . . . . . 8
124119, 123breqtrd 4049 . . . . . . 7
12589, 84, 1, 96ltadd2dd 8977 . . . . . . 7
12673, 115, 87, 124, 125lelttrd 8976 . . . . . 6
12773, 87, 126ltled 8969 . . . . 5
128 icossico 23265 . . . . 5
12986, 88, 114, 127, 128syl22anc 1183 . . . 4
13081, 129eqsstrd 3214 . . 3
13182, 130jca 518 . 2
132 eleq2 2346 . . . 4
133 sseq1 3201 . . . 4
134132, 133anbi12d 691 . . 3
135134rspcev 2886 . 2
13646, 131, 135syl2anc 642 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1625   wcel 1686  cab 2271   wne 2448  wral 2545  wrex 2546  cvv 2790   wss 3154  csn 3642   class class class wbr 4025   cmpt 4079   cxp 4689  ccnv 4690   crn 4692   cres 4693  cima 4694   ccom 4695   wfn 5252  cfv 5257  (class class class)co 5860   cmpt2 5862  c1st 6122  cc 8737  cr 8738  cc0 8739  c1 8740   caddc 8742   cmul 8744  cxr 8868   clt 8869   cle 8870   cmin 9039   cdiv 9425  c2 9797  cz 10026  cuz 10232  crp 10356  cioo 10658  cico 10660  cfl 10926  cexp 11106  ctg 13344  logbclogb 23392 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-cxp 19917  df-logb 23393
 Copyright terms: Public domain W3C validator